Toán 11 (Cánh diều) Bài tập cuối chương 1 trang 41

Với giải bài tập Toán lớp 11 Bài tập cuối chương 1 trang 41 sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11.

1 5,575 02/11/2023

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 11 Bài tập cuối chương 1 trang 41

Giải Toán 11 trang 41 Tập 1

Bài 1 trang 41 Toán 11 Tập 1: Hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng:

B. $(- \frac{3 π}{2}; - \frac{π}{2})$ .

C. $(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Cách 1. Dựa vào đồ thị hàm số:

Đồ thị hàm số y = sinx (hình vẽ):

Bài 1 trang 41 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Quan sát đồ thị trên, ta thấy hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng $(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ .

Cách 2. Dùng tính chất của hàm số y = sinx:

Hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảng $(- \frac{π}{2} + k 2 π; \frac{π}{2} + k 2 π)$ với k ∈ ℤ.

Do đó hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng $(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ .

Bài 2 trang 41 Toán 11 Tập 1: Hàm số nghịch biến trên khoảng (π; 2π) là:

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Cách 1. Dùng đồ thị hàm số:

Xét đồ thị hàm số y = sinx:

Bài 2 trang 41 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Xét đồ thị hàm số y = cosx:

Bài 2 trang 41 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Xét đồ thị hàm số y = tanx:

Bài 2 trang 41 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Xét đồ thị hàm số y = cotx:

Bài 2 trang 41 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Quan sát các đồ thị trên, ta thấy hàm số y = cotx nghịch biến trên khoảng (π; 2π).

Cách 2. Dùng tính chất của hàm số lượng giác:

Do (π; 2π) = (0 + π; π + π)

Mà hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng (kπ; π + kπ) với k ∈ ℤ.

Do đó hàm số y = cotx nghịch biến trên khoảng (π; 2π).

Bài 3 trang 41 Toán 11 Tập 1: Nếu tan(a + b) = 3, tan(a – b) = ‒3 thì tan2a bằng:

B. $\frac{3}{5}$ .

D. - $\frac{3}{4}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có:

tan2a = tan[(a + b) + (a – b)]

$= \frac{\tan (a + b) + \tan (a - b)}{1 - \tan (a + b) \tan (a - b)} = \frac{3 + (- 3)}{1 - 3. (- 3)} = 0$ .

Bài 4 trang 41 Toán 11 Tập 1: Nếu cosa = $\frac{1}{4}$ thì cos2a bằng:

A. $\frac{7}{8}$ .

B. - $\frac{7}{8}$ .

C. $\frac{15}{16}$ .

D. - $\frac{15}{16}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: cos2a = 2cos²a – 1 = $2. {(\frac{1}{4})}^{2} - 1 = 2. \frac{1}{16} - 1 = - \frac{7}{8}$ .

Bài 5 trang 41 Toán 11 Tập 1: Nếu cosa = $\frac{3}{5}$ và cosb = $- \frac{4}{5}$ thì cos(a + b)cos(a – b) bằng:

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng, ta có:

cos (a+b)cos(a-b) = $\frac{1}{2}$ [cos(a+b+a-b) + cos(a+b-a+b)]

= $\frac{1}{2}$ [cos2a + cos2b]

Ta lại có:

cos2a = 2cos²a – 1 = $2. {(\frac{3}{5})}^{2} - 1 = 2. \frac{9}{25} - 1 = - \frac{7}{25}$ ;

cos2b = 2cos²b – 1 = $2. {(- \frac{4}{5})}^{2} - 1 = 2. \frac{16}{25} - 1 = \frac{7}{25}$ ;

Do đó cos(a+b)cos(a-b) = $\frac{1}{2}$ [cos2a + cos2b] = $\frac{1}{2}$ . $(- \frac{7}{25} + \frac{7}{25})$ =0.

Bài 6 trang 41 Toán 11 Tập 1: Nếu sina = $- \frac{\sqrt{2}}{3}$ thì sin $(a + \frac{π}{4}) + \sin (a - \frac{π}{4})$ bằng:

A. $\frac{2}{3}$ .

B. $\frac{1}{3}$ .

C. - $\frac{2}{3}$ .

D. - $\frac{1}{3}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích, ta có:

sin $(a + \frac{π}{4}) + \sin (a - \frac{π}{4})$

= 2sin $(\frac{a + \frac{π}{4} + a - \frac{π}{4}}{2}) \cos (\frac{a + \frac{π}{4} - a + \frac{π}{4}}{2})$

= 2sinacos $\frac{π}{4} = 2. (- \frac{\sqrt{2}}{3}) . \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{2}{3}$ .

Bài 7 trang 41 Toán 11 Tập 1: Số nghiệm của phương trình cosx = 0 trên đoạn [0; 10π] là:

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Cách 1. Giải phương trình lượng giác

cosx = 0

$\Leftrightarrow$ x = $\frac{π}{2}$ +k $π$ (k ∈ ℤ)

Do x ∈ [0; 10π] nên ta có: 0 $\leq$ $\frac{π}{2}$ +k $π$ $\leq$ 10 $π$

$\Leftrightarrow$ 0 $\leq$ $\frac{π}{2}$ +k $\leq$ 10 $\Leftrightarrow$ - $\frac{1}{2}$ $\leq$ k $\leq$ $\frac{19}{2}$

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1; 2; …; 9}, khi đó ta tìm được 10 giá trị của x.

Vậy phương trình cosx = 0 có 10 nghiệm trên đoạn [0; 10π].

Cách 2. Dùng đồ thị hàm số

Bài 7 trang 41 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Quan sát đồ thị ta thấy đồ thị hàm số y = cosx cắt trục hoành tại 10 điểm A, B, C, …, K trên đoạn [0; 10π].

Vậy phương trình cosx = 0 có 10 nghiệm trên đoạn [0; 10π].

Bài 8 trang 41 Toán 11 Tập 1: Số nghiệm của phương trình sinx = 0 trên đoạn [0; 10π] là:

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Cách 1. Giải phương trình lượng giác

sinx = 0

$\Leftrightarrow$ x = kπ (k ∈ ℤ)

Do x ∈ [0; 10π] nên ta có: 0 ≤ kπ ≤ 10π

$\Leftrightarrow$ 0 ≤ k ≤ 10

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1; 2; …; 10}, khi đó ta tìm được 11 giá trị của x.

Vậy phương trình sinx = 0 có 11 nghiệm trên đoạn [0; 10π].

Cách 2. Dùng đồ thị hàm số

Bài 8 trang 41 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Quan sát đồ thị ta thấy đồ thị hàm số y = sinx cắt trục hoành tại 11 điểm A ≡ O, B, C, …, M trên đoạn [0; 10π].

Vậy phương trình sinx = 0 có 11 nghiệm trên đoạn [0; 10π].

Bài 9 trang 41 Toán 11 Tập 1: Phương trình cotx = ‒1 có nghiệm là:

A. $- \frac{π}{4} + k π (k \in ℤ)$ .

B. $\frac{π}{4} + k π (k \in ℤ)$ .

C. $\frac{π}{4} + k 2 π (k \in ℤ)$ .

D. - $\frac{π}{4} + k 2 π (k \in ℤ)$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: cotx = ‒1

$\Leftrightarrow x = - \frac{π}{4} + k π (k \in ℤ)$ .

Bài 10 trang 41 Toán 11 Tập 1: Số nghiệm của phương trình sin $(x + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ trên đoạn [0; π] là:

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Cách 1. Giải phương trình lượng giác:

Ta có:

$\sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{4}) = \sin \frac{π}{4}$

Bài 10 trang 41 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

• Do x ∈ [0; π] nên từ (1) ta có:

0 ≤ k2π ≤ π

$\Leftrightarrow$ 0 ≤ 2k ≤ 1

$\Leftrightarrow$ 0 ≤ k ≤ $\frac{1}{2}$

Mà k ∈ ℤ nên k = 0, khi đó ta tìm được 1 giá trị của x (x = 0) trong trường hợp này.

• Do x ∈ [0; π] nên từ (2) ta có:

0 ≤ $\frac{π}{2}$ +k2 $π$ ≤ $π$

$\Leftrightarrow$ 0 ≤ $\frac{1}{2}$ +2k ≤ 1

$\Leftrightarrow - \frac{1}{2} \leq 2 k \leq \frac{1}{2} \Leftrightarrow - \frac{1}{4} \leq k \leq \frac{1}{4}$

Mà k ∈ ℤ nên k = 0, khi đó ta tìm được 1 giá trị của x $(x = \frac{π}{2})$ trong trường hợp này.

Vậy phương trình sin $(x + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ có hai nghiệm trên đoạn [0; π].

Cách 2. Dùng đồ thị hàm số

Đặt x+ $\frac{π}{4} = α$ . Khi đó ta có phương trình sin $α = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Xét đường thẳng y = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ và đồ thị hàm số y = sinα trên đoạn [0; π]:

Bài 10 trang 41 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Từ đồ thị hàm số trên ta thấy đường thẳng y = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ cắt đồ thị số y = sinα trên đoạn [0; π] tại hai điểm có hoành độ lần lượt là $α_{1} = \frac{π}{4}$ và $α_{2} = \frac{3 π}{4}$ .

Mà x+ $\frac{π}{4} = α$ , khi đó ta sẽ tìm được 2 giá trị x là x₁ = 0 và $x_{2} = \frac{π}{2}$ .

Vậy phương trình sin $(x + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ có hai nghiệm trên đoạn [0; π].

Xem thêm lời giải bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài 1: Dãy số

Bài 2: Cấp số cộng

Bài 3: Cấp số nhân

Bài tập cuối chương 2

1 5,575 02/11/2023

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác: