Toán 11 Bài 5 (Cánh diều): Khoảng cách

Giải Toán 11 Bài 5: Khoảng cách

Giải Toán 11 trang 100 Tập 2

Câu hỏi khởi động trang 100 Toán 11 Tập 2: Hình 58 mô tả cách đo chiều cao của một người khi kiểm tra sức khỏe. Coi mặt bản sắt người đó đứng lên là mặt phẳng (P), mặt bản sắt áp vào đầu người đó là mặt phẳng (Q) song song với (P).

Chiều cao của người đó gợi nên khái niệm nào trong hình học liên quan đến hai mặt phẳng song song (P) và (Q)?

Lời giải:

Khi coi mặt bản sắt người đó đứng lên là mặt phẳng (P), mặt bản sắt áp vào đầu người đó là mặt phẳng (Q) song song với (P) thì chiều cao của người đó gợi nên khái niệm khoảng cách giữa hai mặt phẳng song (P) và (Q).

II. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Giải Toán 11 trang 101 Tập 2

Hoạt động 1 trang 101 Toán 11 Tập 2:Khi lắp thiết bị cho nhà bạn Nam, bác thợ khoan tường tại vị trí M trên tường có độ cao so với nền nhà là MH = 80 cm. Quan sát Hình 61, nền nhà gợi nên mặt phẳng (P), cho biết độ dài đoạn thẳng MH gợi nên khái niệm gì trong hình học liên quan đến điểm M và mặt phẳng (P).

Lời giải:

Do bác thợ khoan tường tại vị trí M trên tường có độ cao so với nền nhà là MH = 80 cm nên độ dài đoạn thẳng MH chính là khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng nền nhà.

Như vậy, độ dài đoạn thẳng MH gợi nên khái niệm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong hình học

Luyện tập 1 trang 101 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), AI ⊥ BC (I ∈ BC), AH ⊥ SI (H ∈ SI). Chứng minh rằng khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng AH.

Lời giải:

Do SA ⊥ (ABC) và BC ⊂ (ABC) nên SA ⊥ BC.

Ta có: BC ⊥ SA, BC ⊥ AI và SA ∩ AI = A trong (SAI).

Suy ra BC ⊥ (SAI).

Mà AH ⊂ (SAI) nên BC ⊥ AH.

Ta có: AH ⊥ BC, AH ⊥ SI và BC ∩ SI = I trong (SBC).

Suy ra AH ⊥ (SBC).

Ta thấy H ∈ (SBC) và AH ⊥ (SBC) nên khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng AH.

III. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Giải Toán 11 trang 102 Tập 2

Hoạt động 2 trang 102 Toán 11 Tập 2: Trong Hình 64, hai mép của con đường gợi nên hình ảnh hai đường thẳng song song Δ và ∆’. Xét điểm A trên đường thẳng Δ.

a) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng Δ’ có phụ thuộc vào vị trí của điểm A trên đường thẳng Δ hay không? Vì sao?

b) Khoảng cách đó gợi nên khái niệm gì trong hình học liên quan đến hai đường thẳng song song Δ và Δ’?

Lời giải:

a) Gọi B là điểm thuộc Δ sao cho điểm B khác điểm A.

Kẻ AH ⊥ ∆’, BK ⊥ Δ’, với H, K ∈ Δ’.

Suy ra AH // BK (vì cùng vuông góc với Δ’).

Ta có: AH ⊥ ∆’ và H ∈ ∆’ ⇒ d(A, Δ’) = AH. (1)

BK ⊥ ∆’ và K ∈ ∆’ ⇒ d(B, Δ’) = BK. (2)

Xét tứ giác ABKH có:

AB // HK (do Δ // Δ’);

AH // BK.

Suy ra ABKH là hình bình hành,

Do đó AH = BK. (3)

Từ (1), (2), (3) ta có: d(A, Δ’) = d(B, Δ’).

Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng Δ’ không phụ thuộc vào vị trí của điểm A trên đường thẳng Δ.

b) Do Δ // Δ’ nên khoảng cách từ điểm A bất kì (với A thuộc đường thẳng Δ) đến đường thẳng Δ’ gợi nên khái niệm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song trong hình học.

Luyện tập 2 trang 102 Toán 11 Tập 2: Người ta dựng các cột đèn vuông góc với mặt đường, trong đó mỗi cột đèn gợi nên hình ảnh một đường thẳng. Khoảng cách giữa hai chân cột đèn liên tiếp đo được là 5 m. Tại sao có thể nói khoảng cách giữa hai cột đèn đó là 5 m?

Lời giải:

Giả sử: Hai cột đèn liên tiếp được dựng vuông góc với mặt đường, chúng lần lượt gợi nên hình ảnh hai đường thẳng Δ và Δ’. Như vậy khoảng cách giữa hai cột đèn liên tiếp chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng Δ và Δ’.

Vì các cột đèn được dựng thẳng đứng và vuông góc với mặt đường nên đường thẳng mà hai cột đèn đó gợi lên là song song với nhau, tức là Δ song song với Δ’.

Khi đó, đoạn thẳng nối hai chân cột đèn liên tiếp chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song Δ và Δ’.

Vậy ta có thể nói khoảng cách giữa hai cột đèn liên tiếp đó là 5 m.

IV. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Hoạt động 3 trang 102 Toán 11 Tập 2: Trong Hình 67, thanh gỗ dọc phía trên các cột và mặt đường hành lang gợi nên hình ảnh đường thẳng Δ và mặt phẳng (P) song song với nhau, chiều cao của chiếc cột có đỉnh cột A là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P).

a) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) có phụ thuộc vào vị trí của điểm A trên đường thẳng Δ hay không? Vì sao?

b) Khoảng cách đó gợi nên khái niệm nào trong hình học liên quan đến đường thẳng Δ và mặt phẳng (P)?

Lời giải:

a) Lấy B là điểm thuộc đường thẳng Δ sao cho điểm B khác điểm A.

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A và B trên mặt phẳng (P) hay AH ⊥ (P), BK ⊥ (P).

Suy ra d(A, (P)) = AH và d(B, (P)) = BK.

Vì AH ⊥ (P) và BK ⊥ (P) nên AH // BK. (1)

Khi đó, hai đường thẳng AH và BK sẽ xác định một mặt phẳng là mặt phẳng (ABKH).

Ta có H, K cùng thuộc hai mặt phẳng (ABKH) và (P) nên HK = (ABKH) ∩ (P).

Do ∆ // (P) và A, B là hai điểm thuộc ∆ nên AB // (P).

Ta có: AB // (P), AB ⊂ (ABKH), HK = (ABKH) ∩ (P).

Suy ra AB // HK. (2)

Từ (1) và (2) ta có ABKH là hình bình hành.

Suy ra AH = BK hay d(A, (P)) = d(B, (P)).

Vậy khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) không phụ thuộc vào vị trí của điểm A trên đường thẳng Δ.

b) Vì đường thẳng Δ và mặt phẳng (P) song song với nhau nên khoảng cách từ điểm A (A ∈ ∆) đến mặt phẳng (P) gợi nên khái niệm khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song trong hình học.

Giải Toán 11 trang 103 Tập 2

Luyện tập 3 trang 103 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA = a, góc giữa SA và mp(ABC) là 60°. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh SA và SB. Chứng minh MN // (ABC) và tính d(MN, (ABC)).

Lời giải:

Xét ∆SAB có: M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB nên MN là đường trung bình của ∆SAB. Do đó MN // AB.

Hơn nữa AB ⊂ (ABC) nên MN // (ABC).

Suy ra d(MN, (ABC)) = d(M, (ABC)).

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) hay SH ⊥ (ABC).

Trong (SAH) kẻ MK // SH (K ∈ AH).

Mà SH ⊥ (ABC) suy ra MK ⊥ (ABC).

Khi đó, d(M, (ABC)) = MK.

Vì SH ⊥ (ABC) nên HA là hình chiếu của SA trên (ABC).

Suy ra góc góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng $\widehat{SAH}=60°.$

Ta có: SH ⊥ (ABC) và AH ⊂ (ABC) nên SH ⊥ AH.

Xét tam giác SAH vuông tại H (do SH ⊥ AH) có:

⦁ $\sin \widehat{SAH}=\frac{SH}{SA},$suy ra $SH=SA.\sin \widehat{SAH}=a.\sin 60°=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

⦁ M là trung điểm của SA và MK // SH nên K là trung điểm của AH, do đó MK là đường trung bình của ∆SAH.

Suy ra $MK=\frac{1}{2}SH=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}.$

Vậy $d\left(MN,\left(ABC\right)\right)=d\left(M,\left(ABC\right)\right)=MK=\frac{a\sqrt{3}}{4}.$

V. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Hoạt động 4 trang 103 Toán 11 Tập 2:a) Trong Hình 70, sàn nhà và trần nhà của căn phòng gợi nên hình ảnh hai mặt phẳng song song (P), (Q). Chiều cao của căn phòng là 3 m.

Chiều cao đó gợi nên khái niệm gì trong hình học liên quan đến hai mặt phẳng song song (P), (Q)?

b) Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Xét điểm I tuỳ ý trong mặt phẳng (P), lấy K là hình chiếu của I trên (Q) (Hình 71). Khoảng cách IK từ điểm I đến mặt phẳng (Q) có phụ thuộc vào vị trí của điểm I trong mặt phẳng (P) hay không? Vì sao?

Lời giải:

a) Vì sàn nhà và trần nhà của căn phòng gợi nên hình ảnh hai mặt phẳng song song (P), (Q) và ta biết chiều cao của căn phòng là 3 m.

Vậy nên chiều cao của căn phòng đó gợi nên khái niệm khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song trong hình học.

b)

Trên mặt phẳng (P) lấy điểm J khác I.

Gọi H là hình chiếu của J trên (Q) nên JH ⊥ (Q).

Suy ra d(J, (Q)) = JH.

Do K là hình chiếu của I trên (Q) nên IK ⊥ (Q).

Suy ra d(I, (Q)) = IK.

Ta có: JH ⊥ (Q) và IK ⊥ (Q) nên JH //IK. (1)

Khi đó, hai đường thẳng JH và IK sẽ xác định một mặt phẳng là mặt phẳng (ABKH).

Ta thấy:

· I và J là hai điểm chung của hai mặt phẳng (IJHK) và (P).

Suy ra IJ = (IJHK) ∩ (P).

· H và K là hai điểm chung của hai mặt phẳng (IJHK) và (Q).

Suy ra HK = (IJHK) ∩ (Q).

Ta có: (P) // (Q);

IJ = (IJHK) ∩ (P);

HK = (IJHK) ∩ (Q).

Suy ra IJ // HK. (2)

Từ (1), (2) ta có IJHK là hình bình hành.

Suy ra IK = JH hay d(I, (Q)) = d(J, (Q)).

Vậy khoảng cách IK từ điểm I đến mặt phẳng (Q) không phụ thuộc vào vị trí của điểm I trong mặt phẳng (P).

Giải Toán 11 trang 104 Tập 2

Luyện tập 4 trang 104 Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng a, góc giữa đường thẳng AA’ và mặt phẳng (ABC) bằng 60°. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A’B’C’).

Lời giải:

Vì ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ nên (ABC) // (A’B’C’).

Suy ra d((ABC), (A’B’C’)) = d(A’, (ABC)). (1)

Gọi H là hình chiếu của A’ trên (ABC), tức là A’H ⊥ (ABC).

Suy ra d(A’, (ABC)) = A’H. (2)

Do A’H ⊥ (ABC) nên HA là hình chiếu của A’A trên (ABC).

Suy ra góc giữa đường thẳng A’A và mặt phẳng (ABC) bằng $\widehat{A^{\text{'}}AH}=60°.$

Ta có: A’H ⊥ (ABC) và AH ⊂ (ABC) nên A’H ⊥ AH.

Xét tam giác A’HA vuông tại H (vì A’H ⊥ AH) có:

$\sin \widehat{A^{\text{'}}AH}=\frac{A^{\text{'}}H}{A{A}^{\text{'}}}\Rightarrow A^{\text{'}}H=A{A}^{\text{'}}.\sin \widehat{A^{\text{'}}AH}=a.\sin 60°=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Kết hợp với (1) và (2) ta có: $d\left(\left(ABC\right),\left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)\right)=d\left(A^{\text{'}},\left(ABC\right)\right)=A^{\text{'}}H=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A’B’C’) bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

VI. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Hoạt động 5 trang 104 Toán 11 Tập 2: Trong Hình 73, khuôn cửa phía trên và mép cánh cửa phía dưới gợi nên hình ảnh hai đường thẳng a và b chéo nhau, hai bản lề của cánh cửa nằm trên đường thẳng c.

Quan sát Hình 73 và cho biết đường thẳng c có vừa cắt, vừa vuông góc với cả hai đường thẳng a và b hay không.

Lời giải:

Quan sát Hình 73 ta thấy đường thẳng c lần lượt vuông góc với đường thẳng a tại H và vuông góc với đường thẳng b tại K.

Như vậy, đường thẳng c vừa cắt, vừa vuông góc với cả hai đường thẳng a và b.

Giải Toán 11 trang 106 Tập 2

Luyện tập 5 trang 106 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ (ABC). Tính d(SA, BC).

Lời giải:

Gọi I là trung điểm của BC.

Xét ∆ABC đều có: AI là đường trung tuyến (do I là trung điểm của BC).

Suy ra AI ⊥ BC.

Do SA ⊥ (ABC) và AI ⊂ (ABC) nên SA ⊥ AI.

Ta có: AI ⊥ SA và AI ⊥ BC.

Suy ra đoạn thẳng AI là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SA và BC.

Từ đó ta có d(SA, BC) = AI.

Xét ∆ABC đều cạnh a, có I là trung điểm của BC nên $BI=\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}.$

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABI vuông tại I (do AI ⊥ BC) có:

AB² = AI² + BI²

Suy ra $AI=\sqrt{A{B}^2-B{I}^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Vậy $d\left(SA,BC\right)=AI=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Bài tập

Bài 1 trang 106 Toán 11 Tập 2: Hình 76 gợi nên hình ảnh hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Cột gỗ cao 4,2 m. Khoảng cách giữa (P) và (Q) là bao nhiêu mét?

Lời giải:

Do hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau nên khoảng cách giữa (P) và (Q) bằng chiều cao của cột gỗ.

Vậy khoảng cách giữa (P) và (Q) bằng 4,2 m.

Bài 2 trang 106 Toán 11 Tập 2:Cho hình tứ diện ABCD có AB = a, BC = b, BD = c, $\widehat{ABC}=\widehat{ABD}=\widehat{BCD}=90°.$ Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, AD (Hình 77).

a) Tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB.

b) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC).

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD.

Lời giải:

a) Vì $\widehat{ABC}=90°$ nên CB ⊥ AB.

Suy ra d(C, AB) = CB = b.

Vậy khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB bằng b.

b) Vì $\widehat{ABD}=90°$ nên AB ⊥ BD.

Ta có: AB ⊥ CB, AB ⊥ BD và CB ∩ BD = B trong (BCD).

Suy ra AB ⊥ (BCD).

Mà CD ⊂ (BCD) nên AB ⊥ CD.

Vì $\widehat{BCD}=90°$ nên CD ⊥ BC.

Ta có: CD ⊥ AB, CD ⊥ BC và AB ∩ BC = B trong (ABC).

Suy ra CD ⊥ (ABC).

Khi đó d(D, (ABC)) = CD.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác BCD vuông tại C có:

BD² = BC² + CD²

Suy ra $CD=\sqrt{B{D}^2-B{C}^2}=\sqrt{c^2-b^2}.$

Do đó $d\left(D,\left(ABC\right)\right)=CD=\sqrt{c^2-b^2}.$

Vậy khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC) bằng $\sqrt{c^2-b^2}.$

c) Ta có: BC ⊥ AB (theo câu a) và BC ⊥ CD (theo câu b).

Suy ra đoạn thẳng BC là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD.

Do đó d(AB, CD) = BC = b.

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng b.

Bài 3 trang 106 Toán 11 Tập 2: Với giả thiết ở Bài tập 2, hãy:

a) Chứng minh rằng MN // BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và BC.

b) Chứng minh rằng MP // (BCD). Tính khoảng cách từ đường thẳng MP đến mặt phẳng (BCD).

c) Chứng minh rằng (MNP) // (BCD). Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (MNP) và (BCD).

Lời giải:

a) Xét ∆ABC có: M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC nên MN là đường trung bình của ∆ABC.

Do đó MN // BC.

Do đó d(MN, BC) = d(M, BC).

Mà AB ⊥ BC (theo câu a Bài tập 2) nên MB ⊥ BC, do đó d(M, BC) = MB.

Khi đó, $d\left(MN,BC\right)=MB=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}$ (do M là trung điểm của AB).

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và BC bằng $\frac{a}{2}.$

d) Xét ∆ABD có: M, P lần lượt là trung điểm của AB và AD nên MP là đường trung bình của ∆ABD.

Do đó MP // BD.

Mà BD ⊂ (BCD) nên MP // (BCD).

Suy ra d(MP, (BCD)) = d(M, (BCD)).

Ta có: AB ⊥ (BCD) (theo câu b Bài tập 2) mà M ∈ AB nên MB ⊥ (ABC).

Suy ra $d\left(M,\left(BCD\right)\right)=MB=\frac{a}{2}.$

Nên $d\left(MP,\left(BCD\right)\right)=d\left(M,\left(BCD\right)\right)=\frac{a}{2}.$

Vậy khoảng cách từ đường thẳng MP đến mặt phẳng (BCD) bằng $\frac{a}{2}.$

c) Do MN // BC và BC ⊂ (BCD) nên MN // (BCD).

Ta có: MN // (BCD), MP // (BCD) và MN ∩ MP = M trong (MNP).

Suy ra (MNP) // (BCD).

Do đó $d\left(\left(MNP\right),\left(BCD\right)\right)=d\left(M,\left(BCD\right)\right)=MB=\frac{a}{2}.$

Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng (MNP) và (BCD) bằng $\frac{a}{2}.$

Bài 4 trang 106 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a (Hình 78).

a) Tính khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng CD.

b) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAB).

c) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).

Lời giải:

a) Do SA ⊥ (ABCD) và CD ⊂ (ABCD) nên SA ⊥ CD.

Vì ABCD là hình vuông nên CD ⊥ AD.

Ta có: CD ⊥ SA, CD ⊥ AD và SA ∩ AD = A trong (SAD).

Suy ra CD ⊥ (SAD).

Mà SD ⊂ (SAD) nên CD ⊥ SD.

Suy ra d(S, CD) = SD.

Do SA ⊥ (ABCD) và AD ⊂ (ABCD) nên SA ⊥ AD.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác SAD vuông tại A (do SA ⊥ AD) có:

SD² = SA² + AD² = a² + a² = 2a².

Suy ra $SD=a\sqrt{2}.$

Do đó $d\left(S,CD\right)=SD=a\sqrt{2}.$

Vậy khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng CD bằng $a\sqrt{2}.$

b) Vì ABCD là hình vuông nên AD ⊥ AB.

Ta có: AD ⊥ SA (theo câu a), AD ⊥ AB và SA ∩ AB = A trong (SAB).

Suy ra AD ⊥ (SAB).

Khi đó d(D, (SAB)) = AD = a.

Vậy khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAB) bằng a.

c) Kẻ AH ⊥ SD (H ∈ SD).

Do CD ⊥ (SAD) (theo câu a) và AH ⊂ (SAD) nên CD ⊥ AH.

Ta có: AH ⊥ CD, AH ⊥ SD và CD ∩ SD = D trong (SCD).

Suy ra AH ⊥ (SCD).

Khi đó d(A, (SCD)) = AH.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SAD vuông tại A, đường cao AH có:

$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{D}^2}$$=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{2}{a^2}$

Suy ra $AH=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Do đó $d\left(A,\left(SCD\right)\right)=AH=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Vậy khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Bài 5 trang 106 Toán 11 Tập 2: Với giả thiết ở Bài tập 4, hãy:

a) Chứng minh rằng BC // (SAD) và tính khoảng cách giữa BC và mặt phẳng (SAD).

b) Chứng minh rằng BD ⊥ (SAC) và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.

Lời giải:

a) Do ABCD là hình vuông nên BC // AD.

Mà AD ⊂ (SAD) nên BC // (SAD).

Khi đó, d(BC, (SAD)) = d(C, (SAD)) = CD = a.

(vì theo câu a, CD ⊥ (SAD))

Vậy khoảng cách giữa BC và mặt phẳng (SAD) bằng a.

b) Vì ABCD là hình vuông nên BD ⊥ AC.

Do SA ⊥ (ABCD) và BD ⊂ (ABCD) nên SA ⊥ BD.

Ta có: BD ⊥ SA, BD ⊥ AC và SA ∩ AC = A trong (SAC).

Suy ra BD ⊥ (SAC).

Gọi O = AC ∩ BD, kẻ OK ⊥ SC (K ∈ SC).

Do BD ⊥ (SAC) và OK ⊂ (SAC) nên BD ⊥ OK.

Ta có: OK ⊥ SC và OK ⊥ BD.

Từ đó ta có đoạn thẳng OK là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng BD và SC nên d(BD, SC) = OK.

Do ABCD là hình vuông nên $\widehat{ABC}=90°,$ do đó tam giác ABC vuông tại B.

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác ABC vuông tại B có:

AC² = AB² + BC² = a² + a² = 2a².

Suy ra $AC=a\sqrt{2}.$

Do O = AC ∩ BD và AC, BD là hai đường chéo của hình vuông ABCD.

Suy ra O là trung điểm của AC nên $OC=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Do SA ⊥ (ABCD) và AC ⊂ (ABCD) nên SA ⊥ AC.

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác SAC vuông tại A (do SA ⊥ AC) có:

SC² = SA² + AC².

Do đó $SC=\sqrt{a^2+{\left(a\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{a^2+2a^2}=a\sqrt{3}.$

Xét ∆SAC và ∆OKC có:

$\widehat{SAC}=\widehat{OKC}=90°;$

$\widehat{OCK}$ là góc chung

Do đó ∆SAC ᔕ ∆OKC (g.g).

Suy ra $\frac{SA}{OK}=\frac{SC}{OC}$ (tỉ số đồng dạng)

Nên $OK=\frac{SA.OC}{SC}=\frac{a.\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{6}.$

Khi đó $d\left(BD,SC\right)=OK=\frac{a\sqrt{6}}{6}.$

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC $\frac{a\sqrt{6}}{6}.$

Lý thuyết Khoảng cách

1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ và điểm $M$ không thuộc $\mathrm{\Delta }$. Gọi $H$ là hình chiếu của điểm $M$ trên đường thẳng $\mathrm{\Delta }$. Độ dài đoạn thẳng MH gọi là khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $\mathrm{\Delta }$, kí hiệu $d(M,\mathrm{\Delta })$.

Chú ý: Khi điểm $M$ thuộc đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ thì $d(M,\mathrm{\Delta })=0.$

2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho mặt phẳng $(P)$ và điểm $M$ không thuộc mặt phẳng $(P)$. Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ trên mặt phẳng $(P)$. Độ dài đoạn thẳng MH gọi là khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(P)$, kí hiệu $d(M,(P))$.

Chú ý: Khi điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(P)$ thì $d(M,(P))=0.$

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song $\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia, kí hiệu $d\left(\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{\prime }}\right)$.

Ví dụ: Trong hình dưới đây, ta có: $d\left(\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{\prime }}\right)=AB$ với $A\in \mathrm{\Delta }$, $B\in {\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{\prime }},AB\mathrm{\perp }\mathrm{\Delta },AB\mathrm{\perp }{\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{\prime }}$ và $\mathrm{\Delta }//{\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{\prime }}$.

4. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Cho đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ song song với mặt phẳng $(P)$. Khoảng cách giữa đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ và mặt phẳng $(P)$ là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đến mặt phẳng $(P)$, kí hiệu $d(\mathrm{\Delta },(P))$.

Ví dụ: Trong hình dưới đây, ta có: $d(\mathrm{\Delta },(P))=M{M}^{\mathrm{\prime }}=h$, trong đó $M\in \mathrm{\Delta },M^{\mathrm{\prime }}\in (P),M{M}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\perp }(P)$ và $\mathrm{\Delta }//(P)$.

5. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(P),(Q)$ là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia, kí hiệu $d((P),(Q))$.

Ví dụ: Trong hình dưới đây, ta có: $d((P),(Q))=IK=h$ với $I\in (P),K\in (Q),IK\mathrm{\perp }(P),IK\mathrm{\perp }(Q)$ và $(P)//(Q)$.

6. Khoảng cách giữa hai đưò̀ng thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau.

- Đường thẳng c vừa vuông góc, vừa cắt cả hai đường thẳng a và b được gọi là đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

- Đoạn thẳng có hai đầu mút là giao điểm của đường thẳng c với hai đường thẳng a, b được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

- Độ dài đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng a, b gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng đó, kí hiệu $d(a,b)$.

Ví dụ: Trong hình dưới đây, ta có: $d(a,b)=HK$ với HK là đoạn vuông góc chung của $a$ và $b$.

Sơ đồ tư duy Khoảng cách

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối

Bài tập cuối chương 8 trang 116

Chủ đề 2: Tính thể tích một số hình khối trong thực tiễn