Luyện tập 3 trang 103 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài 5: Khoảng cách

Luyện tập 3 trang 103 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA = a, góc giữa SA và mp(ABC) là 60°. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh SA và SB. Chứng minh MN // (ABC) và tính d(MN, (ABC)).

Lời giải:

Xét ∆SAB có: M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB nên MN là đường trung bình của ∆SAB. Do đó MN // AB.

Hơn nữa AB ⊂ (ABC) nên MN // (ABC).

Suy ra d(MN, (ABC)) = d(M, (ABC)).

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) hay SH ⊥ (ABC).

Trong (SAH) kẻ MK // SH (K ∈ AH).

Mà SH ⊥ (ABC) suy ra MK ⊥ (ABC).

Khi đó, d(M, (ABC)) = MK.

Vì SH ⊥ (ABC) nên HA là hình chiếu của SA trên (ABC).

Suy ra góc góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng $\widehat{SAH}=60°.$

Ta có: SH ⊥ (ABC) và AH ⊂ (ABC) nên SH ⊥ AH.

Xét tam giác SAH vuông tại H (do SH ⊥ AH) có:

⦁ $\sin \widehat{SAH}=\frac{SH}{SA},$suy ra $SH=SA.\sin \widehat{SAH}=a.\sin 60°=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

⦁ M là trung điểm của SA và MK // SH nên K là trung điểm của AH, do đó MK là đường trung bình của ∆SAH.

Suy ra $MK=\frac{1}{2}SH=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}.$

Vậy $d\left(MN,\left(ABC\right)\right)=d\left(M,\left(ABC\right)\right)=MK=\frac{a\sqrt{3}}{4}.$