Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Toán 11 Bài 3 (Cánh diều): Đạo hàm cấp hai

    Với giải bài tập Toán lớp 11 Bài 3: Đạo hàm cấp hai sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 Bài 3.

    1 563 17/09/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Giải Toán 11 Bài 3: Đạo hàm cấp hai

    Giải Toán 11 trang 73 Tập 2

    Câu hỏi khởi động trang 73 Toán 11 Tập 2: Khi tham gia giao thông, một ô tô đang chạy với vận tốc 54 km/h (Hình 6) thì tài xế thấy một vật cản phía trước. Để tránh va chạm vật cản, người tài xế đã hãm phanh, ô tô giảm vận tốc cho đến khi dừng hẳn.

    Câu hỏi khởi động trang 73 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán 11

    Đại lượng đặc trưng cho sự giảm vận tốc thể hiện kiến thức gì trong toán học?

    Lời giải:

    Để trả lời được câu hỏi trên, chúng ta cùng tìm hiểu bài học này.

    I. Định nghĩa

    Hoạt động 1 trang 73 Toán 11 Tập 2:Xét hàm số y = x3 – 4x2 + 5.

    a) Tìm y'.

    b) Tìm đạo hàm của hàm số y'

    Lời giải:

    a) Từ y = x3 – 4x2 + 5 ta có y' = 3x2 – 8x.

    b) Đạo hàm của hàm số y' là (3x2 – 8x)' = 6x – 8

    Luyện tập trang 73 Toán 11 Tập 2: Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số y = sin3x

    Lời giải:

    Từ y = sin3x ta có y' = (sin3x)' = 3cos3x.

    Do đó y'' = (3cos3x)' = 3.3.(– sin3x) = –9sin3x

    II. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp 2

    Giải Toán 11 trang 74 Tập 2

    Hoạt động 2 trang 74 Toán 11 Tập 2: Một vật rơi tự do theo phương thẳng đứng có phương trình chuyển động s=12gt2,trong đó g là gia tốc rơi tự do, g ≈ 9,8 m/s2.

    a) Tính vận tốc tức thời v(t) tại thời điểm t0 = 4 (s); t1 = 4,1 (s).

    b) Tính tỉ số ΔvΔt trong khoảng thời gian ∆t = t1 – t0.

    Lời giải:

    a) Vận tốc tức thời: vt=s't=12gt2'=gt (m/s).

    Tại thời điểm t0 = 4 (s) thì v(4) ≈ 9,8 . 4 = 39,2 (m/s);

    Tại thời điểm t1 = 4,1 (s) thì v(4,1) ≈ 9,8 . 4,1 = 40,18 (m/s).

    b) Ta có ΔvΔt=v4,1−v4t1−t0=40,18−39,24,1−4=9,8.

    Giải Toán 11 trang 75 Tập 2

    Bài 1 trang 75 Toán 11 Tập 2: Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:

    a)y=12x+3;

    b) y = log3x;

    c) y = 2x.

    Lời giải:

    a) Xét hàm số y=12x+3 xác định với mọi x≠−32

    Với x≠−32ta có:

    y'=−2x+3'2x+32=−22x+32

    Suy ra y''=−22x+32'=2⋅2x+32'2x+34

    =2⋅2⋅2x+3'⋅2x+32x+34

    =2⋅2⋅2⋅2x+32x+34=82x+33.

    b) Xét hàm số y = log3x xác định với mọi x > 0.

    Với x > 0, ta có: y'=log3x'=1xln3

    Suy ra y''=1xln3'=−xln3'xln32=−ln3x2ln23=−1x2ln3.

    c) Xét hàm số y = 2x, ta có: y' = (2x)' = 2x.ln2

    Suy ra y'' = (2x.ln2)' = ln2.2x.ln2 = 2x.ln22.

    Bài 2 trang 75 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:

    a) y = 3x2 – 4x + 5 tại điểm x0 = –2;

    b) y = log3(2x + 1) tại điểm x0 = 3;

    c) y = e4x + 3 tại điểm x0 = 1;

    d) y=sin2x+π3 tại điểm x0=π6;

    e) y=cos3x−π6 tại điểm x0 = 0.

    Lời giải:

    a) Xét hàm số y = 3x2 – 4x + 5, ta có:

    y' = 6x – 4;

    y'' = 6.

    Do đó: y''(–2) = 6.

    b) Xét hàm số y = log3(2x + 1), ta có:

    y'=log32x+1'=2x+1'2x+1ln3=22x+1ln3;

    y''=22x+1ln3'=−2⋅2x+1ln3'2x+3ln32=−2ln3⋅22x+32ln23=−42x+32ln3.

    Do đó: y''3=−42⋅3+32ln3=−472⋅ln3=−449ln3

    c) Xét hàm số y = e4x + 3, ta có:

    y' = (e4x + 3)' = (4x + 3)'. e4x + 3 = 4e4x + 3;

    y'' = (4e4x + 3)' = 4.(4x + 3)'.e4x + 3 = 16e4x + 3.

    Do đó: y''(1) = 16e4.1 + 3 = 16e7.

    d) Xét hàm số y=sin2x+π3,ta có:

    y'=sin2x+π3'=2x+π3'⋅cos2x+π3=2cos2x+π3;

    y''=2cos2x+π3'=2⋅2x+π3'⋅−sin2x+π3=−4sin2x+π3.

    y''π6=−4sin2⋅π6+π3=−4sin2π3=−4⋅32=−23.

    e) Xét hàm số y=cos3x−π6, ta có:

    y'=cos3x−π6=3x−π6'⋅−sin3x−π6=−3sin3x−π6;

    y''=−3sin3x−π6'=−33x−π6'⋅cos3x−π6=−9cos3x−π6.

    Do đó: y''0=−9cos0−π6=−9cos−π6=−9⋅32=−932.

    Bài 3 trang 75 Toán 11 Tập 2: Một vật rơi tự do theo phương thẳng đứng có phương trình chuyển động trong đó g là gia tốc rơi tự do, g ≈ 9,8 m/s2.

    a) Tính vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t0 = 2 (s).

    b) Tính gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t0 = 2 (s).

    Lời giải:

    Xét hàm số st=12gt2.

    a) Vận tốc tức thời của vật: v(t) = s'(t) = gt.

    Tại thời điểm t0 = 2 (s) có: v(2) ≈ 9,8 . 2 = 19,6 (m/s).

    b) Gia tốc tức thời của vật: a(t) = v'(t) = g.

    Tại thời điểm t0 = 2 (s) có: a(2) ≈ 9,8 (m/s2).

    Bài 4 trang 75 Toán 11 Tập 2: Một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t) = t3 – 3t2 + 8t + 1, trong đó t > 0, t tính bằng giây và s(t) tính bằng mét. Tính vận tốc tức thời, gia tốc tức thời của chất điểm:

    a) Tại thời điểm t = 3 (s);

    b) Tại thời điểm mà s(t) = 7 (m)

    Lời giải:

    Xét hàm số s(t) = t3 – 3t2 + 8t + 1.

    Suy ra v(t) = s'(t) = 3t2 – 6t + 8;

    a(t) = v'(t) = 6t – 6.

    a) Vận tốc tức thời tại thời điểm t = 3 (s) là v(3) = 3.32 – 6.3 + 8 = 17 (m/s).

    Gia tốc tức thời tại thời điểm t = 3 (s) là a(3) = 6.3 – 6 = 12 (m/s2).

    b) Tại thời điểm s(t) = 7 thì t3 – 3t2 + 8t + 1 = 7

    Do đó t3 – 3t2 + 8t – 6 = 0.

    Suy ra t = 1 (s)

    Vận tốc tức thời tại thời điểm t = 1 (s) là v(1) = 3.12 – 6.1 + 8 = 5 (m/s).

    Gia tốc tức thời tại thời điểm t = 1 (s) là a(1) = 6.1 – 6 = 0 (m/s2).

    Bài 5 trang 75 Toán 11 Tập 2: Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát như Hình 7, có phương trình chuyển động x(t) = 4sint, trong đó t tính bằng giây và x(t) tính bằng centimet.

    Bài 5 trang 75 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán 11

    a) Tìm phương trình theo thời gian của vận tốc tức thời và gia tốc tức thời của con lắc.

    b) Tính vận tốc tức thời và gia tốc tức thời của con lắc tại thời điểm t=2π3(s). Tại thời điểm đó, con lắc đi theo chiều dương hay chiều âm của trục Ox?

    Lời giải:

    a) Phương trình vận tốc tức thời của con lắc là:

    v(t) = x'(t) = (4sint)' = 4cost.

    Phương trình gia tốc tức thời của con lắc là:

    a(t) = v'(t) = (4cost)' = 4(–sint) = –4sint.

    b) Vận tốc tức thời của con lắc tại t=2π3(s) là:

    v2π3=4cos2π3=4⋅−12=−2 (m/s).

    Gia tốc tức thời của con lắc tại t=2π3(s)là:

    a2π3=–4sin2π3=−4⋅32=−23(m/s2).

    Do vận tốc tức thời tại thời điểm t=2π3(s) mang giá trị âm nên con lắc lúc này đang di chuyển theo chiều âm của trục Ox.

    Lý thuyết Đạo hàm cấp hai

    1. Định nghĩa

    Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm y’ = f’(x) tại mọi điểm x∈(a;b). Nếu hàm số y’ = f’(x) tiếp tục có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y’ tại x là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại x, kí hiệu là y” hoặc f”(x).

    2. Ý nghĩa cơ học

    Đạo hàm cấp hai s”(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s = s(t) tại thời điểm t.

    Sơ đồ tư duy Đạo hàm cấp hai

    Lý thuyết Đạo hàm cấp hai (Cánh diều 2024) hay, chi tiết | Toán lớp 11 (ảnh 1)

    Xem thêm Lời giải bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

    Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm

    Bài tập cuối chương 7 trang 76

    Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc

    Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

    Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

    Tham khảo các loạt bài Toán 11 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 563 17/09/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: