Toán 11 Bài 3 (Cánh diều): Đạo hàm cấp hai
Với giải bài tập Toán lớp 11 Bài 3: Đạo hàm cấp hai sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 Bài 3.
Giải Toán 11 Bài 3: Đạo hàm cấp hai
Đại lượng đặc trưng cho sự giảm vận tốc thể hiện kiến thức gì trong toán học?
Lời giải:
Để trả lời được câu hỏi trên, chúng ta cùng tìm hiểu bài học này.
I. Định nghĩa
Hoạt động 1 trang 73 Toán 11 Tập 2:Xét hàm số y = x3 – 4x2 + 5.
Lời giải:
a) Từ y = x3 – 4x2 + 5 ta có y' = 3x2 – 8x.
b) Đạo hàm của hàm số y' là (3x2 – 8x)' = 6x – 8
Luyện tập trang 73 Toán 11 Tập 2: Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số y = sin3x
Lời giải:
Từ y = sin3x ta có y' = (sin3x)' = 3cos3x.
Do đó y'' = (3cos3x)' = 3.3.(– sin3x) = –9sin3x
II. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp 2
a) Tính vận tốc tức thời v(t) tại thời điểm t0 = 4 (s); t1 = 4,1 (s).
b) Tính tỉ số trong khoảng thời gian ∆t = t1 – t0.
Lời giải:
a) Vận tốc tức thời: (m/s).
Tại thời điểm t0 = 4 (s) thì v(4) ≈ 9,8 . 4 = 39,2 (m/s);
Tại thời điểm t1 = 4,1 (s) thì v(4,1) ≈ 9,8 . 4,1 = 40,18 (m/s).
b) Ta có
Bài 1 trang 75 Toán 11 Tập 2: Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:
Lời giải:
a) Xét hàm số xác định với mọi
Với ta có:
Suy ra
b) Xét hàm số y = log3x xác định với mọi x > 0.
Với x > 0, ta có:
Suy ra
c) Xét hàm số y = 2x, ta có: y' = (2x)' = 2x.ln2
Suy ra y'' = (2x.ln2)' = ln2.2x.ln2 = 2x.ln22.
Bài 2 trang 75 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:
a) y = 3x2 – 4x + 5 tại điểm x0 = –2;
b) y = log3(2x + 1) tại điểm x0 = 3;
c) y = e4x + 3 tại điểm x0 = 1;
Lời giải:
a) Xét hàm số y = 3x2 – 4x + 5, ta có:
y' = 6x – 4;
y'' = 6.
Do đó: y''(–2) = 6.
b) Xét hàm số y = log3(2x + 1), ta có:
Do đó:
c) Xét hàm số y = e4x + 3, ta có:
y' = (e4x + 3)' = (4x + 3)'. e4x + 3 = 4e4x + 3;
y'' = (4e4x + 3)' = 4.(4x + 3)'.e4x + 3 = 16e4x + 3.
Do đó: y''(1) = 16e4.1 + 3 = 16e7.
d) Xét hàm số ta có:
e) Xét hàm số ta có:
Do đó:
a) Tính vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t0 = 2 (s).
b) Tính gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t0 = 2 (s).
Lời giải:
Xét hàm số
a) Vận tốc tức thời của vật: v(t) = s'(t) = gt.
Tại thời điểm t0 = 2 (s) có: v(2) ≈ 9,8 . 2 = 19,6 (m/s).
b) Gia tốc tức thời của vật: a(t) = v'(t) = g.
Tại thời điểm t0 = 2 (s) có: a(2) ≈ 9,8 (m/s2).
b) Tại thời điểm mà s(t) = 7 (m)
Lời giải:
Xét hàm số s(t) = t3 – 3t2 + 8t + 1.
Suy ra v(t) = s'(t) = 3t2 – 6t + 8;
a(t) = v'(t) = 6t – 6.
a) Vận tốc tức thời tại thời điểm t = 3 (s) là v(3) = 3.32 – 6.3 + 8 = 17 (m/s).
Gia tốc tức thời tại thời điểm t = 3 (s) là a(3) = 6.3 – 6 = 12 (m/s2).
b) Tại thời điểm s(t) = 7 thì t3 – 3t2 + 8t + 1 = 7
Do đó t3 – 3t2 + 8t – 6 = 0.
Suy ra t = 1 (s)
Vận tốc tức thời tại thời điểm t = 1 (s) là v(1) = 3.12 – 6.1 + 8 = 5 (m/s).
Gia tốc tức thời tại thời điểm t = 1 (s) là a(1) = 6.1 – 6 = 0 (m/s2).
a) Tìm phương trình theo thời gian của vận tốc tức thời và gia tốc tức thời của con lắc.
Lời giải:
a) Phương trình vận tốc tức thời của con lắc là:
v(t) = x'(t) = (4sint)' = 4cost.
Phương trình gia tốc tức thời của con lắc là:
a(t) = v'(t) = (4cost)' = 4(–sint) = –4sint.
b) Vận tốc tức thời của con lắc tại (s) là:
Gia tốc tức thời của con lắc tại (s)là:
(m/s2).
Do vận tốc tức thời tại thời điểm (s) mang giá trị âm nên con lắc lúc này đang di chuyển theo chiều âm của trục Ox.
Lý thuyết Đạo hàm cấp hai
1. Định nghĩa
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm y’ = f’(x) tại mọi điểm . Nếu hàm số y’ = f’(x) tiếp tục có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y’ tại x là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại x, kí hiệu là y” hoặc f”(x).
2. Ý nghĩa cơ học
Đạo hàm cấp hai s”(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s = s(t) tại thời điểm t.
Sơ đồ tư duy Đạo hàm cấp hai
Xem thêm Lời giải bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm
Bài tập cuối chương 7 trang 76
Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc
Xem thêm các chương trình khác:
- Soạn văn lớp 11 Cánh diều (hay nhất)
- Văn mẫu lớp 11 - Cánh diều
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 11 – Cánh diều
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn 11 - Cánh diều
- Giải SBT Ngữ văn 11 – Cánh diều
- Bố cục tác phẩm Ngữ văn 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Ngữ văn 11 – Cánh diều
- Nội dung chính tác phẩm Ngữ văn lớp 11 – Cánh diều
- Soạn văn 11 Cánh diều (ngắn nhất)
- Giải sgk Tiếng Anh 11 – ilearn Smart World
- Giải sbt Tiếng Anh 11 - ilearn Smart World
- Trọn bộ Từ vựng Tiếng Anh 11 ilearn Smart World đầy đủ nhất
- Giải sgk Vật lí 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Vật lí 11 – Cánh diều
- Giải sbt Vật lí 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Vật lí 11 – Cánh diều
- Giải sgk Hóa học 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Hóa học 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Hóa 11 - Cánh diều
- Giải sbt Hóa học 11 – Cánh diều
- Giải sgk Sinh học 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Sinh học 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Sinh học 11 – Cánh diều
- Giải sbt Sinh học 11 – Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục Kinh tế và Pháp luật 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Kinh tế pháp luật 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Kinh tế pháp luật 11 – Cánh diều
- Giải sbt Kinh tế pháp luật 11 – Cánh diều
- Giải sgk Lịch sử 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Lịch sử 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Lịch sử 11 - Cánh diều
- Giải sbt Lịch sử 11 – Cánh diều
- Giải sgk Địa lí 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Địa lí 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Địa lí 11 - Cánh diều
- Giải sbt Địa lí 11 – Cánh diều
- Giải sgk Công nghệ 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Công nghệ 11 - Cánh diều
- Giải sbt Công nghệ 11 – Cánh diều
- Giải sgk Tin học 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Tin học 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Tin học 11 - Cánh diều
- Giải sbt Tin học 11 – Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng an ninh 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Giáo dục quốc phòng 11 – Cánh diều
- Giải sbt Giáo dục quốc phòng 11 – Cánh diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 11 – Cánh diều