Bài 1 trang 75 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài 3: Đạo hàm cấp hai

Bài 1 trang 75 Toán 11 Tập 2: Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:

a)$y=\frac{1}{2x+3};$

b) y = log₃x;

c) y = 2^x.

Lời giải:

a) Xét hàm số $y=\frac{1}{2x+3}$ xác định với mọi $x\ne -\frac{3}{2}$

Với $x\ne -\frac{3}{2}$ta có:

$y^{\text{'}}=-\frac{{\left(2x+3\right)}^{\text{'}}}{{\left(2x+3\right)}^2}=-\frac{2}{{\left(2x+3\right)}^2}$

Suy ra $y^{\text{'}\text{'}}={\left[-\frac{2}{{\left(2x+3\right)}^2}\right]}^{\text{'}}=2\cdot \frac{{\left[{\left(2x+3\right)}^2\right]}^{\text{'}}}{{\left(2x+3\right)}^4}$

$=2\cdot \frac{2\cdot {\left(2x+3\right)}^{\text{'}}\cdot \left(2x+3\right)}{{\left(2x+3\right)}^4}$

$=2\cdot \frac{2\cdot 2\cdot \left(2x+3\right)}{{\left(2x+3\right)}^4}=\frac{8}{{\left(2x+3\right)}^3}.$

b) Xét hàm số y = log₃x xác định với mọi x > 0.

Với x > 0, ta có: $y^{\text{'}}={\left(lo{g}_{3}x\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{x\ln 3}$

Suy ra $y^{\text{'}\text{'}}={\left(\frac{1}{x\ln 3}\right)}^{\text{'}}=-\frac{{\left(x\ln 3\right)}^{\text{'}}}{{\left(x\ln 3\right)}^2}=-\frac{\ln 3}{x^2{\ln }^{2}3}=\frac{-1}{x^2\ln 3}.$

c) Xét hàm số y = 2^x, ta có: y' = (2^x)' = 2^x.ln2

Suy ra y'' = (2^x.ln2)' = ln2.2^x.ln2 = 2^x.ln²2.