Toán 11 Bài 4 (Cánh diều): Hai mặt phẳng song song

Với giải bài tập Toán lớp 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 Bài 4.

1 1,826 17/09/2024


Giải Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Giải Toán 11 trang 105 Tập 1

Câu hỏi khởi động trang 105 Toán 11 Tập 1: Trong cuộc sống, chúng ta bắt gặp rất nhiều đồ dùng, vật thể gợi nên hình ảnh của các mặt phẳng song song, chẳng hạn như giá để đồ (Hình 58).

Câu hỏi khởi động trang 105 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Làm thế nào để nhận ra được hai mặt phẳng song song? Hai mặt phẳng song song thì có tính chất gì?

Lời giải:

Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

– Hai mặt phẳng song song nếu chúng không có điểm chung.

– Dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng song song: Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).

– Tính chất về hai mặt phẳng song song: Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.

I. Hai mặt phẳng song song

Hoạt động 1 trang 105 Toán 11 Tập 1: Trong không gian cho hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q).

Nếu (P) và (Q) có một điểm chung thì chúng có bao nhiêu điểm chung? Các điểm chung đó có tính chất gì?

Lời giải:

Hoạt động 1 trang 105 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Nếu (P) và (Q) có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung. Các điểm chung đó cùng nằm trên một đường thẳng.

Luyện tập 1 trang 105 Toán 11 Tập 1: Nêu ví dụ trong thực tiễn minh hoạ hình ảnh hai mặt phẳng song song.

Lời giải:

Gợi ý ví dụ trong thực tiễn minh họa hình ảnh hai mặt phẳng song song: các mặt sàn của ngôi nhà; các mặt bậc cầu thang; mặt bàn và nền nhà; …

Giải Toán 11 trang 106 Tập 1

Hoạt động 2 trang 106 Toán 11 Tập 1: Cho hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q). Mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và a, b cùng song song với mặt phẳng (Q) (Hình 61). Hai mặt phẳng (P) và (Q) có điểm chung hay không?

Lời giải:

Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) có một điểm chung thì chúng có đường thẳng chung d.

Ta có: a // (Q);

a ⊂ (P);

(P) ∩ (Q) = d.

Suy ra a // d.

Tương tự ta cũng có b // d.

Mà a, b, d cùng nằm trong mặt phẳng (P) nên a // b // d, điều này mâu thuẫn với giả thiết a, b cắt nhau trong (P).

Vậy hai mặt phẳng (P) và (Q) không có điểm chung hay (P) // (Q).

Luyện tập 2 trang 106 Toán 11 Tập 1: Cho tứ diện ABCD. Các điểm M, N, P, I, J, K lần lượt là trung điểm của BC, CD, DB, AM, AN, AP. Chứng minh rằng (IJK) // (BCD).

Lời giải:

Luyện tập 2 trang 106 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Trong mặt phẳng (AMP), xét AMP có I, K lần lượt là trung điểm của AM, AP nên IK là đường trung bình

Do đó IK // MP.

Mà MP ⊂ (BCD) nên IK // (BCD).

Trong mặt phẳng (ANP), xét ANP có J, K lần lượt là trung điểm của AN, AP nên JK là đường trung bình

Do đó JK // NP.

Mà NP (BCD) nên JK // (BCD).

Ta có: IK // (BCD);

JK // (BCD);

IK, JK cắt nhau tại điểm K và cùng nằm trong mặt phẳng (IJK).

Suy ra (IJK) // (BCD).

Hoạt động 3 trang 106, 107 Toán 11 Tập 1: Cho mặt phẳng (Q) và điểm M nằm ngoài mặt phẳng (Q).

a) Trong mặt phẳng (Q) vẽ hai đường thẳng a’, b’ cắt nhau. Qua điểm M kẻ các đường thẳng a và b lần lượt song song với a’, b’. Gọi (P) là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng (cắt nhau) a và b (Hình 63). Mặt phẳng (P) có song song với mặt phẳng (Q) hay không?

Hoạt động 3 trang 106, 107 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

b) Xét mặt phẳng (R) đi qua điểm M và song song với mặt phẳng (Q). Hai mặt phẳng (R) và (P) có trùng nhau hay không?

Lời giải:

a) Ta có: a // a’ mà a’ ⊂ (Q) nên a // (Q);

b // b’ mà b’ ⊂ (Q) nên b // (Q).

Do a // (Q);

b // (Q);

a, b cắt nhau tại M và cùng nằm trong mặt phẳng (P)

Suy ra (P) // (Q).

b) Do (R) // (Q) nên trong mp(R) tồn tại hai đường thẳng a’’, b’’ đi qua M và lần lượt song song với a’, b’ trong mp(Q).

Ta có: a // a’, a’’ // a’ nên a // a’’.

Mà a’’ ∈ (R), do đó a // (R)

Do hai mặt phẳng (P) và (R) có một điểm chung nên chúng có đường thẳng chung d.

Ta có: a // (R);

a ⊂ (P);

(P) ∩ (R) = d.

Suy ra a // d.

Mà a, d cùng nằm trong mặt phẳng (P) và cùng đi qua điểm M nên đường thẳng a chính là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (R).

Chứng minh tương tự ta cũng có đường thằng b cũng là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (R).

Như vậy, hai mặt phẳng (P) và (R) có hai giao tuyến a và b nên (P) và (R) là hai mặt phẳng trùng nhau.

Giải Toán 11 trang 107 Tập 1

Hoạt động 4 trang 107 Toán 11 Tập 1: Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến a.

a) Mặt phẳng (R) có cắt mặt phẳng (Q) hay không? Tại sao?

b) Trong trường hợp mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyến b, hãy nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa hai giao tuyến a và b (Hình 64).

Hoạt động 4 trang 107 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Lời giải:

a) Do (P) // (Q) và (R) ∩ (P) = a nên (R) // (Q) hoặc (R) cắt (Q).

Giả sử (R) // (Q).

Khi đó qua đường thẳng a có hai mặt phẳng song song với (Q) là mặt phẳng (P) và (R) nên hai mặt phẳng này trùng nhau, điều này mâu thuẫn với giả thiết (R) cắt (P).

Vậy (R) cắt Q.

b) Ta có: a ⊂ (P); b ⊂ (Q) mà (P) // (Q) nên a và b không có điểm chung.

Lại có hai đường thẳng a và b cùng nằm trên mp(R)

Do đó a // b.

Giải Toán 11 trang 108 Tập 1

Luyện tập 3 trang 108 Toán 11 Tập 1: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Đường thẳng a cắt hai mặt phẳng trên theo thứ tự tại A, B. Đường thẳng b song song với đường thẳng a và cắt hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt tại A’, B’. Chứng minh rằng AB = A’B’.

Lời giải:

Luyện tập 3 trang 108 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Giả sử (R) = (a, b).

Ta có: A ∈ (R) và A ∈ (P) nên A là giao điểm của hai mặt phẳng (R) và (P).

A’ ∈ (R) và A’ ∈ (P) nên A’ là giao điểm của hai mặt phẳng (R) và (P).

Do đó (R) ∩ (P) = AA’.

Tương tự ta cũng có (R) ∩ (Q) = BB’.

Do (P) // (Q);

(R) ∩ (P) = AA’;

(R) ∩ (Q) = BB’

Suy ra AA’ // BB’

Trong mp(R), xét tứ giác ABB’A’ có: AA’ // BB’ và AB // A’B’ (do a // b)

Suy ra ABB’A’ là hình bình hành

Do đó AB = A’B’.

III. Định lí Thales

Hoạt động 5 trang 108 Toán 11 Tập 1: Cho ba mặt phẳng song song (P), (Q), (R). Hai cát tuyến bất kì a và a’ cắt ba mặt phẳng song song lần lượt tại các điểm A, B, C và A’, B’, C’. Gọi B1 là giao điểm của AC’ với mặt phẳng (Q) (Hình 66).

Hoạt động 5 trang 108 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

a) Nêu vị trí tương đối của BB1 và CC’; B1B’ và AA’.

b) Có nhận xét gì về các tỉ số: ABAB1,BCB1C'CAC'A;AB1A'B',B1C'B'C'C'AC'A' .

c) Từ kết quả câu a) và câu b), so sánh các tỉ số ABA'B',BCB'C'CAC'A' .

Lời giải:

a) Ta có: B ∈ (ACC’) và B ∈ (Q) nên B là giao điểm của (ACC’) và (Q);

1 ∈ (ACC’) và B1 ∈ (Q) nên B1 là giao điểm của (ACC’) và (Q).

Do đó (ACC’) ∩ (Q) = BB1.

Tương tự, ta có (ACC’) ∩ (R) = CC’.

Ta có: (Q) // (R);

(ACC’) ∩ (Q) = BB1;

(ACC’) ∩ (R) = CC’.

Suy ra BB1 // CC’.

Chứng minh tương tự ta cũng có: (P) // (Q);

(AA’C’) ∩ (P) = AA’;

(AA’C’) ∩ (Q) = B1B’.

Suy ra B1B’ // AA’.

b) Trong mp(ACC’), xét DACC’ có: BB1 // CC’ nên theo định lí Thalès ta có:

ABAC=AB1AC' , suy ra ABAB1=CAC'A ;

BCAC=B1C'AC' , suy ra BCB1C'=CAC'A .

Do đó ABAB1=BCB1C'=CAC'A .

Trong mặt phẳng (AA’C’), xét AA’C’có: B1B’ // AA’ nên theo định lí Thalès ta có:

AB1AC'=A'B'A'C' , suy ra AB1A'B'=C'AC'A' ;

B1C'AC'=B'C'A'C' , suy ra B1C'B'C'=C'AC'A' .

Do đó AB1A'B'=B1C'B'C'=C'AC'A' .

c) Theo chứng minh ở câu b ta có:

ABAC=AB1AC'AB1AC'=A'B'A'C' nên ABAC=A'B'A'C'=AB1AC'

Do đó ABA'B'=CAC'A'.

BCAC=B1C'AC'B1C'AC'=B'C'A'C' nên BCAC=B'C'A'C'=B1C'AC'

Do đó BCB'C'=CAC'A' .

Vậy ABA'B'=BCB'C'=CAC'A' .

Giải Toán 11 trang 109 Tập 1

Luyện tập 4 trang 109 Toán 11 Tập 1: Bạn Minh cho rằng: Nếu a, b là hai cát tuyến bất kì cắt ba mặt phẳng song song (P), (Q), (R) lần lượt tại các điểm A, B, C và A’, B’, C’ thì

Phát biểu của bạn Minh có đúng không? Vì sao?

Lời giải:

Luyện tập 4 trang 109 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Theo định lí Thalès, nếu a, b là hai cát tuyến bất kì cắt ba mặt phẳng song song (P), (Q), (R) lần lượt tại các điểm A, B, C và A’, B’, C’ thì ABA'B'=BCB'C'=CAC'A' .

Do đó ABA'B'=ACA'C' .

Theo bài, bạn Minh phát biểu rằng ABBC=ACA'C'

Mà do BCA'B' nên phát biểu của bạn Minh là sai.

Bài 1 trang 109 Toán 11 Tập 1: Bạn Chung cho rằng: Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) luôn song song với (Q). Phát biểu của bạn Chung có đúng không? Vì sao?

Lời giải:

Phát biểu của bạn Chung không đúng vì trong trường hợp này, để (P) // (Q) thì hai đường thẳng a và b trong mặt phẳng (P) cần thêm điều kiện cắt nhau tại một điểm.

Chẳng hạn: xét trường hợp hai đường thẳng a và b song song với nhau trong mp(P) (hình vẽ).

Bài 1 trang 109 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Do a // (Q) nên tồn tại đường thẳng c nằm trên (Q) sao cho c // a.

Do a // b và c // a nên a // b // c.

Ta có: b // c mà c ⊂ (Q) nên b // (Q).

Trong hình vẽ trên, tuy a // (Q) và b // (Q) nhưng (P) không song song với (Q).

Bài 2 trang 109 Toán 11 Tập 1:Trong mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ bốn đường thẳng a, b, c, d đôi một song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng (P). Một mặt phẳng cắt a, b, c, d lần lượt tại bốn điểm A’, B’, C, D’. Chứng minh rằng A’B’C’D’ là hình bình hành.

Lời giải:

Bài 2 trang 109 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

• Ta có: AB // CD (do ABCD là hình bình hành).

Mà CD ⊂ mp(CDD’C’) nên AB // (CDD’C’).

Lại có a // d nên A’A // D’D

Mà D’D ⊂ mp(CDD’C’) nên A’A // (CDD’C’).

Ta có: AB // (CDD’C’);

A’A // (CDD’C’);

AB, A’A cắt nhau tại A và cùng nằm trong (ABB’A’)

Do đó (ABB’A’) // (CDD’C’).

Ta có: (ABB’A’) // (CDD’C’);

(ABB’A’) ∩ (Q) = A’B’;

(CDD’C’) ∩ (Q) = C’D’.

Do đó A’B’ // C’D’.

• Tương tự, (ADD’A’) // (BCC’B);

(ADD’A’) ∩ (Q) = A’D’;

(BCC’B) ∩ (Q) = B’C’.

Do đó A’D’ // B’C’.

Tứ giác A’B’C’D’ có A’B’ // C’D’ và A’D’ // B’C’ nên A’B’C’D là hình bình hành.

Bài 3 trang 109 Toán 11 Tập 1: Cho tứ diện ABCD. Lấy G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ADB.

a) Chứng minh rằng (G1G2G3) // (BCD).

b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (G1G2G3) với mặt phẳng (ABD).

Lời giải:

a)

Bài 3 trang 109 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, DB.

Trong mp(ABC), xét ABC có G1 là trọng tâm của tam giác nên AG1AM=23 ;

Trong mp(ACD), xét ACD có G2 là trọng tâm của tam giác nên AG2AN=23 ;

Trong mp(ABD), xét ABD có G3 là trọng tâm của tam giác nên AG3AP=23 .

Trong mp(AMP), xét AMP có AG1AM=AG3AP=23 nên G1G3­ // MP (theo định lí Thalès đảo).

Mà MP ⊂ (BCD) nên G1G3­ // (BCD).

Chứng minh tương tự ta cũng có AG2AN=AG3AP=23 nên G2G3 // NP (theo định lí Thalès đảo).

Mà NP ⊂ (BCD) nên G2G3­ // (BCD).

Ta có: G1G3­ // (BCD);

G2G3­ // (BCD);

G1G3, G2G3 cắt nhau tại G3 và cùng nằm trong mp(G1G2G3).

Do đó (G1G2G3) // (BCD).

b)

Bài 3 trang 109 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Ta có: B, D cùng thuộc hai mặt phẳng (ABD) và (BCD) nên (ABD) ∩ (BCD) = BD.

Giả sử (ABD) ∩ (G1G2G3) = d.

Ta có: (G1G2G3) // (BCD);

(ABD) ∩ (BCD) = BD;

(ABD) ∩ (G1G2G3) = d.

Suy ra d // BD.

Mà G3 ∈ (ABD) và G3 ∈ (G1G2G3) nên G là giao điểm của (G1G2G3) và (ABD).

Do đó giao tuyến d của hai mặt phẳng (G1G2G3) và (ABD) đi qua điểm G3 và song song với BD, cắt AB, AD lần lượt tại I và K.

Vậy (G1G2G3) ∩ (ABD) = IK.

Bài 4 trang 109 Toán 11 Tập 1: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.

a) Chứng minh rằng (AFD) // (BEC).

b) Gọi M là trọng tâm của tam giác ABE. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (AFD). Lấy N là giao điểm của (P) và AC. Tính ANNC .

Lời giải:

a)

Bài 4 trang 109 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Ta có: BE // AF (do ABEF là hình bình hành);

AF ⊂ (AFD)

Do đó BE // (AFD).

Ta cũng có: BC // AD (do ABCD là hình bình hành)

AD ⊂ (AFD)

Do đó BC // (AFD).

Do BE // (AFD);

BC // (AFD);

BE, BC cắt nhau tại điểm B và cùng nằm trong mp(BEC)

Suy ra (AFD) // (BEC).

b)

Bài 4 trang 109 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

+) Do (AFD) song song với (P) nên tồn tại hai đường thẳng trong (AFD) song song với (P).

• Trong mp(ABEF), qua điểm M vẽ đường thẳng song song với AF, đường thẳng này cắt AB, EF lần lượt tại I, J.

Khi đó IJ // AF, mà AF ⊂ (AFD) nên IJ // (AFD).

• Trong mp(ABCD), qua điểm I vẽ đường thẳng song song với AD, cắt CD tại K.

Khi đó IK // AD, mà AD ⊂ (AFD) nên IK // (AFD).

• Ta có: IJ // (AFD);

IK // (AFD);

IJ, IK cắt nhau tại điểm I và cùng nằm trong mp(IJK).

Do đó (IJK) // (AFD).

Mà M ∈ IJ, IJ ⊂ (IJK) nên mp (P) đi qua M và song song với (AFD) chính là mp(IJK).

+) Trong mp(ABCD), AC cắt IK tại N, khi đó N là giao điểm của AC và (P).

Trong mp(ABCD), xét DABC có IN // BC (do IK // AD // BC) nên theo định lí Thalès ta có: .

Trong mp(ABEF), xét DABF có IM // AF nên theo định lí Thalès ta có: ANNC=AIIB .

Gọi O là tâm hình bình hành ABEF. Khi đó O là trung điểm của FB nên FO = OB.

Do M là trọng tâm của ABE nên MB=23OBOM=13OB .

Ta có: ANNC=AIIB=FMMB=FO+OMMB=OB+13OB23OB=43OB23OB=2 .

Vậy AMNC=2.

Lý thuyết Hai mặt phẳng song song

I. Hai mặt phẳng song song

Hai mặt (P)(Q) được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung. Kí hiệu(P)// (Q) hay (Q)//(P).

 (ảnh 1)

*Nhận xét: Hai mặt (P)(Q) có diểm chung. Khi đó, chúng cắt nhau theo một đường thẳng.

 (ảnh 2)

II. Điều kiện và tính chất

  • Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau a,b và a,b cùng song song với mặt phẳng phẳng (Q)thì (P)song song với (Q)

 (ảnh 3)

  • Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.

* Hệ quả:

- Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (Q) thì có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song song với mặt phẳng (Q)

- Nếu 2 mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ 3 thì song song với nhau.

  • Cho hai mặt phẳng (P)(Q) song song. Nếu mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (P)thì cũng cắt mặt phẳng (Q)và hai giao tuyến song song với nhau.

 (ảnh 4)

III. Định lí Thalès

 (ảnh 5)

Nếu a, b là hai cát tuyến bất kì cắt 3 mặt phẳng song song (P) , (Q)(R) lần lượt tại các điểm A, B, C và A’, B’, C’ thì

ABAB=BCBC=ACAC

Xem thêm lời giải bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 1: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian

Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Bài 5: Hình lăng trụ và hình hộp

Bài 6: Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian

1 1,826 17/09/2024


Xem thêm các chương trình khác: