Giải Toán 11 trang 109 Tập 1 Cánh diều

Với giải bài tập Toán 11 trang 109 trong Bài 4: Hai mặt phẳng song song sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 109.

1 514 02/11/2023


Giải Toán 11 trang 109 Tập 1

Luyện tập 4 trang 109 Toán 11 Tập 1Bạn Minh cho rằng: Nếu a, b là hai cát tuyến bất kì cắt ba mặt phẳng song song (P), (Q), (R) lần lượt tại các điểm A, B, C và A’, B’, C’ thì   

Phát biểu của bạn Minh có đúng không? Vì sao?

Lời giải:

Luyện tập 4 trang 109 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Theo định lí Thalès, nếu a, b là hai cát tuyến bất kì cắt ba mặt phẳng song song (P), (Q), (R) lần lượt tại các điểm A, B, C và A’, B’, C’ thì ABA'B'=BCB'C'=CAC'A' .

Do đó ABA'B'=ACA'C' .

Theo bài, bạn Minh phát biểu rằng ABBC=ACA'C'

Mà do BCA'B'  nên phát biểu của bạn Minh là sai.

Bài 1 trang 109 Toán 11 Tập 1: Bạn Chung cho rằng: Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) luôn song song với (Q). Phát biểu của bạn Chung có đúng không? Vì sao?

Lời giải:

Phát biểu của bạn Chung không đúng vì trong trường hợp này, để (P) // (Q) thì hai đường thẳng a và b trong mặt phẳng (P) cần thêm điều kiện cắt nhau tại một điểm.

Chẳng hạn: xét trường hợp hai đường thẳng a và b song song với nhau trong mp(P) (hình vẽ).

Bài 1 trang 109 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Do a // (Q) nên tồn tại đường thẳng c nằm trên (Q) sao cho c // a.

Do a // b và c // a nên a // b // c.

Ta có: b // c mà c ⊂ (Q) nên b // (Q).

Trong hình vẽ trên, tuy a // (Q) và b // (Q) nhưng (P) không song song với (Q).

Bài 2 trang 109 Toán 11 Tập 1:Trong mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ bốn đường thẳng a, b, c, d đôi một song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng (P). Một mặt phẳng cắt a, b, c, d lần lượt tại bốn điểm A’, B’, C, D’. Chứng minh rằng A’B’C’D’ là hình bình hành.

Lời giải:

Bài 2 trang 109 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

• Ta có: AB // CD (do ABCD là hình bình hành).

Mà CD ⊂ mp(CDD’C’) nên AB // (CDD’C’).

Lại có a // d nên A’A // D’D

Mà D’D ⊂ mp(CDD’C’) nên A’A // (CDD’C’).

Ta có: AB // (CDD’C’);

           A’A // (CDD’C’);

           AB, A’A cắt nhau tại A và cùng nằm trong (ABB’A’)

Do đó (ABB’A’) // (CDD’C’).

Ta có: (ABB’A’) // (CDD’C’);

           (ABB’A’) ∩ (Q) = A’B’;

           (CDD’C’) ∩ (Q) = C’D’.

Do đó A’B’ // C’D’.

• Tương tự, (ADD’A’) // (BCC’B);

                 (ADD’A’) ∩ (Q) = A’D’;

                 (BCC’B) ∩ (Q) = B’C’.

Do đó A’D’ // B’C’.

Tứ giác A’B’C’D’ có A’B’ // C’D’ và A’D’ // B’C’ nên A’B’C’D là hình bình hành.

Bài 3 trang 109 Toán 11 Tập 1: Cho tứ diện ABCD. Lấy G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ADB.

a) Chứng minh rằng (G1G2G3) // (BCD).

b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (G1G2G3) với mặt phẳng (ABD).

Lời giải:

a)

Bài 3 trang 109 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, DB.

Trong mp(ABC), xét ABC có G1 là trọng tâm của tam giác nên AG1AM=23 ;

Trong mp(ACD), xét ACD có G2 là trọng tâm của tam giác nên AG2AN=23 ;

Trong mp(ABD), xét ABD có G3 là trọng tâm của tam giác nên AG3AP=23 .

Trong mp(AMP), xét AMP có AG1AM=AG3AP=23  nên G1G3­ // MP (theo định lí Thalès đảo).

Mà MP ⊂ (BCD) nên G1G3­ // (BCD).

Chứng minh tương tự ta cũng có AG2AN=AG3AP=23  nên G2G3 // NP (theo định lí Thalès đảo).

Mà NP ⊂ (BCD) nên G2G3­ // (BCD).

Ta có: G1G3­ // (BCD);

           G2G3­ // (BCD);

           G1G3, G2G3 cắt nhau tại G3 và cùng nằm trong mp(G1G2G3).

Do đó (G1G2G3) // (BCD).

b)

Bài 3 trang 109 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Ta có: B, D cùng thuộc hai mặt phẳng (ABD) và (BCD) nên (ABD) ∩ (BCD) = BD.

Giả sử (ABD) ∩ (G1G2G3) = d.

Ta có: (G1G2G3) // (BCD);

           (ABD) ∩ (BCD) = BD;

           (ABD) ∩ (G1G2G3) = d.

Suy ra d // BD.

Mà G3 ∈ (ABD) và G3 ∈ (G1G2G3) nên G là giao điểm của (G1G2G3) và (ABD).

Do đó giao tuyến d của hai mặt phẳng (G1G2G3) và (ABD) đi qua điểm G3 và song song với BD, cắt AB, AD lần lượt tại I và K.

Vậy (G1G2G3) ∩ (ABD) = IK.

Bài 4 trang 109 Toán 11 Tập 1: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.

a) Chứng minh rằng (AFD) // (BEC).

b) Gọi M là trọng tâm của tam giác ABE. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (AFD). Lấy N là giao điểm của (P) và AC. Tính ANNC .

Lời giải:

a)

Bài 4 trang 109 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Ta có: BE // AF (do ABEF là hình bình hành);

            AF ⊂ (AFD)

Do đó BE // (AFD).

Ta cũng có: BC // AD (do ABCD là hình bình hành)

                    AD ⊂ (AFD)

Do đó BC // (AFD).

Do BE // (AFD);

      BC // (AFD);

      BE, BC cắt nhau tại điểm B và cùng nằm trong mp(BEC)

Suy ra (AFD) // (BEC).

b)

Bài 4 trang 109 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

+) Do (AFD) song song với (P) nên tồn tại hai đường thẳng trong (AFD) song song với (P).

• Trong mp(ABEF), qua điểm M vẽ đường thẳng song song với AF, đường thẳng này cắt AB, EF lần lượt tại I, J.

Khi đó IJ // AF, mà AF ⊂ (AFD) nên IJ // (AFD).

• Trong mp(ABCD), qua điểm I vẽ đường thẳng song song với AD, cắt CD tại K.

Khi đó IK // AD, mà AD ⊂ (AFD) nên IK // (AFD).

• Ta có: IJ // (AFD);

             IK // (AFD);

             IJ, IK cắt nhau tại điểm I và cùng nằm trong mp(IJK).

Do đó (IJK) // (AFD).

Mà M ∈ IJ, IJ ⊂ (IJK) nên mp (P) đi qua M và song song với (AFD) chính là mp(IJK).

+) Trong mp(ABCD), AC cắt IK tại N, khi đó N là giao điểm của AC và (P).

Trong mp(ABCD), xét DABC có IN // BC (do IK // AD // BC) nên theo định lí Thalès ta có: .

Trong mp(ABEF), xét DABF có IM // AF nên theo định lí Thalès ta có: ANNC=AIIB .

Gọi O là tâm hình bình hành ABEF. Khi đó O là trung điểm của FB nên FO = OB.

Do M là trọng tâm của ABE nên MB=23OB  và OM=13OB .

Ta có: ANNC=AIIB=FMMB=FO+OMMB=OB+13OB23OB=43OB23OB=2 .

Vậy AMNC=2.

Xem thêm lời giải bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Giải Toán 11 trang 105 Tập 1

Giải Toán 11 trang 106 Tập 1

Giải Toán 11 trang 107 Tập 1

Giải Toán 11 trang 108 Tập 1

Giải Toán 11 trang 109 Tập 1

1 514 02/11/2023


Xem thêm các chương trình khác: