Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Toán 11 (Cánh diều) Bài tập cuối chương 7 trang 76

    Với giải bài tập Toán lớp 11 Bài tập cuối chương 7 trang 76 sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11.

    1 572 26/12/2023
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Giải Toán 11 Bài tập cuối chương 7 trang 76

    Bài tập

    Giải Toán 11 trang 76 Tập 2

    Bài 1 trang 76 Toán 11 Tập 2: Cho u = u(x), v = v(x) là hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Phát biểu nào sau đây là đúng?

    A. (uv)' = u'v'.

    B. (uv)' = uv'.

    C. (uv)' = u'v.

    D. (uv)' = u'v + uv'.

    Lời giải:

    Đáp án đúng là: D

    Ta có: (uv)' = u'v + uv'.

    Bài 2 trang 76 Toán 11 Tập 2: Cho u = u(x), v = v(x) là hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Phát biểu nào sau đây là đúng?

    A. uv'=u'v' với v = v(x) ≠ 0, v' = v'(x) ≠ 0.

    B. uv'=u'v−uv'v với v = v(x) ≠ 0.

    C. uv'=u'v−uv'v2với v = v(x) ≠ 0.

    D. uv'=u'v−uv'v'với v = v(x) ≠ 0, v' = v' (x) ≠ 0.

    Lời giải:

    Đáp án đúng là: C

    Ta có uv'=u'v−uv'v2 với v = v(x) ≠ 0.

    Bài 3 trang 76 Toán 11 Tập 2: Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:

    a) y = (x2 + 2x)(x3 – 3x); b) y=1−2x+5; c) y=4x+5;

    d) y = sinxcosx; e) y = xex; g) y = ln2x.

    Lời giải:

    a) Xét hàm số y = (x2 + 2x)(x3 – 3x), ta có:

    y' = (x2 + 2x)'(x3 – 3x) + (x2 + 2x)(x3 – 3x)'

    = (2x + 2)(x3 – 3x) + (x2 + 2x)(3x2 – 3)

    = 2x4 – 6x2 + 2x3 – 6x + 3x4 – 3x2 + 6x3 – 6x

    = 5x4 + 8x3 – 9x2 – 12x.

    b) Xét hàm số y=1−2x+5, ta có:

    y'=1−2x+5'=−−2x+5'−2x+52=−−2−2x+52=2−2x+52.

    c) Xét hàm số y=4x+5, ta có:

    y'=4x+5'=4x+5'24x+5=424x+5=24x+5.

    d) Xét hàm số y = sinxcosx

    Cách 1.

    y' = (sinxcosx)' = (sinx)'.cosx + sinx.(cosx)'

    = cosx.cosx + sinx.(–sinx)

    = cos2x – sin2x = cos2x.

    Cách 2.

    Ta có y=sinxcosx=12sin2x.

    Suy ra y'=12sin2x'=122x'⋅cos2x=12⋅2⋅cos2x=cos2x.

    y'=cosx⋅cosx−sinx⋅sinx=cosx2−sinx2=cos2x

    e) Xét hàm số y = xex, ta có:

    y' = (xex)' = (x)' . ex + x . (ex)' = ex + xex.

    g) Xét hàm số y = ln2x, ta có:

    y'=ln2x'=2lnx⋅lnx'=2lnx⋅1x=2lnxx.

    Bài 4 trang 76 Toán 11 Tập 2: Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:

    a) y = 2x4 – 3x3 + 5x2; b) y=23−x; c) y = sin2xcosx;

    d) y = e–2x+3; e) y = ln(x + 1); g) y = ln(ex + 1).

    Lời giải:

    a) Xét hàm số y = 2x4 – 3x3 + 5x2, ta có:

    y' = 8x3 – 9x2 + 10x;

    y'' = 24x2 – 18x + 10.

    b) Xét hàm số y=23−x, ta có:

    y'=23−x'=−2⋅3−x'3−x2=−2⋅−13−x2=23−x2;

    y''=23−x2'=−2⋅3−x2'3−x4=−2⋅2⋅3−x⋅3−x'3−x4=−4⋅−13−x3=43−x3.

    c) Xét hàm số y = sin2xcosx, ta có:

    y' = (sin2xcosx)' = (sin2x)'.cosx + sin2x.(cosx)'

    = 2cos2x.cosx – sin2x.sinx

    =2⋅12cosx+cos3x−12cosx−cos3x

    =cosx+cos3x−12cosx+12cos3x

    =12cosx+32cos3x.

    y''=12cosx+32cos3x'=12−sinx+32⋅3⋅−sin3x=−12sinx−92sin3x.

    d) Xét hàm số y = e–2x + 3, ta có:

    y' = (e–2x + 3)' = (–2x + 3)' . e–2x + 3 = –2e–2x+3;

    y'' = (–2e–2x+3)' = –2.(–2x + 3)'.e–2x+3 = 4e–2x+3.

    e) Xét hàm số y = ln(x + 1), ta có:

    y'=lnx+1'=x+1'x+1=1x+1;

    y''=1x+1'=−x+1'x+12=−1x+12.

    g) Xét hàm số y = ln(ex + 1), ta có:

    y'=lnex+1'=ex+1'ex+1=exex+1;

    y''=exex+1'=ex'⋅ex+1−ex⋅ex+1'ex+12

    =ex⋅ex+1−ex⋅exex+12=e2x+ex−e2xex+12=exex+12.

    Bài 5 trang 76 Toán 11 Tập 2: Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức v(t) = 2t + t2, trong đó t > 0, t tính bằng giây và v(t) tính bằng m/s. Tìm gia tốc tức thời của chất điểm:

    a) Tại thời điểm t = 3 (s);

    b) Tại thời điểm mà vận tốc của chất điểm bằng 8 m/s.

    Lời giải:

    Vận tốc của chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức v(t) = t2 + 2t.

    a) Gia tốc tức thời của chất điểm: a(t) = v'(t) = 2t + 2.

    Gia tốc tức thời của chất điểm tại t = 3 (s) là:

    a(3) = 2 . 3 + 2 = 8 (m/s2).

    b) Để vận tốc của chất điểm bằng 8 m/s thì: t2 + 2t = 8

    Suy ra t2 + 2t – 8 = 0

    Do đó t = 2 (thỏa mãn) hoặc t = –4 (không thỏa mãn)

    Tại t = 2 thì a(2) = 2 . 2 + 2 = 6 (m/s2).

    Vậy tại thời điểm vận tốc của chất điểm bằng 8 m/s thì gia tốc tức thời là 6 m/s2.

    Bài 6 trang 76 Toán 11 Tập 2: Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát, có phương trình chuyển động x=4cosπt−2π3+3, trong đó t tính bằng giây và x tính bằng centimet.

    a) Tìm vận tốc tức thời và gia tốc tức thời của con lắc tại thời điểm t (s).

    b) Tìm thời điểm mà vận tốc tức thời của con lắc bằng 0.

    Lời giải:

    a) Vận tốc tức thời của con lắc là:

    vt=4cosπt−2π3+3'=4⋅πt−2π3'⋅−sinπt−2π3=−4πsinπt−2π3.

    Gia tốc tức thời của con lắc là:

    at=−4πsinπt−2π3'=−4π⋅πt−2π3'⋅cosπt−2π3=−4π2cosπt−2π3.

    b) Để vận tốc tức thời của con lắc bằng 0 thì

    −4πsinπt−2π3=0

    ⇔sinπt−2π3=0

    ⇔πt−2π3=kπ   k∈ℤ

    ⇔t−23=k   k∈ℤ

    ⇔t=k+23   k∈ℤ

    Ta có t > 0 nên k+23>0, tức k>−23

    Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1; 2; …} hay k ∈ ℕ*.

    Vậy tại thời điểm t=k+23   k∈ℕ* thì vận tốc tức thời của con lắc bằng 0.

    Xem thêm Lời giải bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

    Bài 3: Đạo hàm cấp hai

    Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

    Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

    Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

    Bài 5: Khoảng cách

    Tham khảo các loạt bài Toán 11 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 572 26/12/2023
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: