Bài 3 trang 76 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài tập cuối chương 7 trang 76

Bài 3 trang 76 Toán 11 Tập 2: Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) y = (x² + 2x)(x³ – 3x); b) $y=\frac{1}{-2x+5};$ c) $y=\sqrt{4x+5};$

d) y = sinxcosx; e) y = xe^x; g) y = ln²x.

Lời giải:

a) Xét hàm số y = (x² + 2x)(x³ – 3x), ta có:

y' = (x² + 2x)'(x³ – 3x) + (x² + 2x)(x³ – 3x)'

= (2x + 2)(x³ – 3x) + (x² + 2x)(3x² – 3)

= 2x⁴ – 6x² + 2x³ – 6x + 3x⁴ – 3x² + 6x³ – 6x

= 5x⁴ + 8x³ – 9x² – 12x.

b) Xét hàm số $y=\frac{1}{-2x+5},$ ta có:

$y^{\text{'}}={\left(\frac{1}{-2x+5}\right)}^{\text{'}}=-\frac{{\left(-2x+5\right)}^{\text{'}}}{{\left(-2x+5\right)}^2}=-\frac{-2}{{\left(-2x+5\right)}^2}=\frac{2}{{\left(-2x+5\right)}^2}.$

c) Xét hàm số $y=\sqrt{4x+5},$ ta có:

$y^{\text{'}}={\left(\sqrt{4x+5}\right)}^{\text{'}}=\frac{{\left(4x+5\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{4x+5}}=\frac{4}{2\sqrt{4x+5}}=\frac{2}{\sqrt{4x+5}}.$

d) Xét hàm số y = sinxcosx

Cách 1.

y' = (sinxcosx)' = (sinx)'.cosx + sinx.(cosx)'

= cosx.cosx + sinx.(–sinx)

= cos²x – sin²x = cos2x.

Cách 2.

Ta có $y=sinxcosx=\frac{1}{2}\sin 2x.$

Suy ra $y^{\text{'}}={\left(\frac{1}{2}\sin 2x\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{2}{\left(2x\right)}^{\text{'}}\cdot \cos 2x=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot \cos 2x=\cos 2x.$

$y^{\text{'}}=\cos x\cdot \cos x-\sin x\cdot \sin x={\left(\cos x\right)}^2-{\left(\sin x\right)}^2=\cos 2x$

e) Xét hàm số y = xe^x, ta có:

y' = (xe^x)' = (x)' . e^x + x . (e^x)' = e^x + xe^x.

g) Xét hàm số y = ln²x, ta có:

$y^{\text{'}}={\left(l{n}^{2}x\right)}^{\text{'}}=2\ln x\cdot {\left(\ln x\right)}^{\text{'}}=2\ln x\cdot \frac{1}{x}=\frac{2\ln x}{x}.$