Giải Toán 11 trang 76 Tập 2 Cánh diều

Với giải bài tập Toán 11 trang 76 Tập 2 trong Bài tập cuối chương 7 trang 76 sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 76 Tập 2.

1 188 26/12/2023

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 11 trang 76 Tập 2

Bài 1 trang 76 Toán 11 Tập 2: Cho u = u(x), v = v(x) là hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. (uv)' = u'v'.

B. (uv)' = uv'.

C. (uv)' = u'v.

D. (uv)' = u'v + uv'.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: (uv)' = u'v + uv'.

Bài 2 trang 76 Toán 11 Tập 2: Cho u = u(x), v = v(x) là hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. ${(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u'}{v^{'}}$ với v = v(x) ≠ 0, v' = v'(x) ≠ 0.

B. ${(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v}$ với v = v(x) ≠ 0.

C. ${(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$ với v = v(x) ≠ 0.

D. ${(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{'}}$ với v = v(x) ≠ 0, v' = v' (x) ≠ 0.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có ${(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$ với v = v(x) ≠ 0.

Bài 3 trang 76 Toán 11 Tập 2: Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) y = (x² + 2x)(x³ – 3x); b) $y = \frac{1}{- 2 x + 5};$ c) $y = \sqrt{4 x + 5};$

d) y = sinxcosx; e) y = xe^x; g) y = ln²x.

Lời giải:

a) Xét hàm số y = (x² + 2x)(x³ – 3x), ta có:

y' = (x² + 2x)'(x³ – 3x) + (x² + 2x)(x³ – 3x)'

= (2x + 2)(x³ – 3x) + (x² + 2x)(3x² – 3)

= 2x⁴ – 6x² + 2x³ – 6x + 3x⁴ – 3x² + 6x³ – 6x

= 5x⁴ + 8x³ – 9x² – 12x.

b) Xét hàm số $y = \frac{1}{- 2 x + 5},$ ta có:

$y^{'} = {(\frac{1}{- 2 x + 5})}^{'} = - \frac{{(- 2 x + 5)}^{'}}{{(- 2 x + 5)}^{2}} = - \frac{- 2}{{(- 2 x + 5)}^{2}} = \frac{2}{{(- 2 x + 5)}^{2}} .$

c) Xét hàm số $y = \sqrt{4 x + 5},$ ta có:

$y^{'} = {(\sqrt{4 x + 5})}^{'} = \frac{{(4 x + 5)}^{'}}{2 \sqrt{4 x + 5}} = \frac{4}{2 \sqrt{4 x + 5}} = \frac{2}{\sqrt{4 x + 5}} .$

d) Xét hàm số y = sinxcosx

Cách 1.

y' = (sinxcosx)' = (sinx)'.cosx + sinx.(cosx)'

= cosx.cosx + sinx.(–sinx)

= cos²x – sin²x = cos2x.

Cách 2.

Ta có $y = s i n x c o s x = \frac{1}{2} \sin 2 x .$

Suy ra $y^{'} = {(\frac{1}{2} \sin 2 x)}^{'} = \frac{1}{2} {(2 x)}^{'} \cdot \cos 2 x = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \cos 2 x = \cos 2 x .$

$y^{'} = \cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot \sin x = {(\cos x)}^{2} - {(\sin x)}^{2} = \cos 2 x$

e) Xét hàm số y = xe^x, ta có:

y' = (xe^x)' = (x)' . e^x + x . (e^x)' = e^x + xe^x.

g) Xét hàm số y = ln²x, ta có:

$y^{'} = {(l n^{2} x)}^{'} = 2 \ln x \cdot {(\ln x)}^{'} = 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 \ln x}{x} .$

Bài 4 trang 76 Toán 11 Tập 2: Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:

a) y = 2x⁴ – 3x³ + 5x²; b) $y = \frac{2}{3 - x};$ c) y = sin2xcosx;

d) y = e^–2x+3; e) y = ln(x + 1); g) y = ln(e^x + 1).

Lời giải:

a) Xét hàm số y = 2x⁴ – 3x³ + 5x², ta có:

y' = 8x³ – 9x² + 10x;

y'' = 24x² – 18x + 10.

b) Xét hàm số $y = \frac{2}{3 - x},$ ta có:

$y^{'} = {(\frac{2}{3 - x})}^{'} = - \frac{2 \cdot {(3 - x)}^{'}}{{(3 - x)}^{2}} = - \frac{2 \cdot (- 1)}{{(3 - x)}^{2}} = \frac{2}{{(3 - x)}^{2}};$

$y^{''} = {[\frac{2}{{(3 - x)}^{2}}]}^{'} = - \frac{2 \cdot {[{(3 - x)}^{2}]}^{'}}{{(3 - x)}^{4}} = - \frac{2 \cdot 2 \cdot (3 - x) \cdot {(3 - x)}^{'}}{{(3 - x)}^{4}} = \frac{- 4 \cdot (- 1)}{{(3 - x)}^{3}} = \frac{4}{{(3 - x)}^{3}} .$

c) Xét hàm số y = sin2xcosx, ta có:

y' = (sin2xcosx)' = (sin2x)'.cosx + sin2x.(cosx)'

= 2cos2x.cosx – sin2x.sinx

$= 2 \cdot \frac{1}{2} (\cos x + \cos 3 x) - \frac{1}{2} (\cos x - \cos 3 x)$

$= \cos x + \cos 3 x - \frac{1}{2} \cos x + \frac{1}{2} \cos 3 x$

$= \frac{1}{2} \cos x + \frac{3}{2} \cos 3 x .$

${y^{'}}^{'} = {(\frac{1}{2} \cos x + \frac{3}{2} \cos 3 x)}^{'} = \frac{1}{2} (- \sin x) + \frac{3}{2} \cdot 3 \cdot (- \sin 3 x) = - \frac{1}{2} \sin x - \frac{9}{2} \sin 3 x .$

d) Xét hàm số y = e^{–2x + 3}, ta có:

y' = (e^{–2x + 3})' = (–2x + 3)' . e^{–2x + 3} = –2e^–2x+3;

y'' = (–2e^–2x+3)' = –2.(–2x + 3)'.e^–2x+3 = 4e^–2x+3.

e) Xét hàm số y = ln(x + 1), ta có:

$y^{'} = {[l n (x + 1)]}^{'} = \frac{{(x + 1)}^{'}}{x + 1} = \frac{1}{x + 1};$

${y^{'}}^{'} = {(\frac{1}{x + 1})}^{'} = - \frac{{(x + 1)}^{'}}{{(x + 1)}^{2}} = - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} .$

g) Xét hàm số y = ln(e^x + 1), ta có:

$y^{'} = {[l n (e^{x} + 1)]}^{'} = \frac{{(e^{x} + 1)}^{'}}{e^{x} + 1} = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1};$

${y^{'}}^{'} = {(\frac{e^{x}}{e^{x} + 1})}^{'} = \frac{{(e^{x})}^{'} \cdot (e^{x} + 1) - e^{x} \cdot {(e^{x} + 1)}^{'}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

$= \frac{e^{x} \cdot (e^{x} + 1) - e^{x} \cdot e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}} = \frac{e^{2 x} + e^{x} - e^{2 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}} = \frac{e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}} .$

Bài 5 trang 76 Toán 11 Tập 2: Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức v(t) = 2t + t², trong đó t > 0, t tính bằng giây và v(t) tính bằng m/s. Tìm gia tốc tức thời của chất điểm:

a) Tại thời điểm t = 3 (s);

b) Tại thời điểm mà vận tốc của chất điểm bằng 8 m/s.

Lời giải:

Vận tốc của chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức v(t) = t² + 2t.

a) Gia tốc tức thời của chất điểm: a(t) = v'(t) = 2t + 2.

Gia tốc tức thời của chất điểm tại t = 3 (s) là:

a(3) = 2 . 3 + 2 = 8 (m/s²).

b) Để vận tốc của chất điểm bằng 8 m/s thì: t² + 2t = 8

Suy ra t² + 2t – 8 = 0

Do đó t = 2 (thỏa mãn) hoặc t = –4 (không thỏa mãn)

Tại t = 2 thì a(2) = 2 . 2 + 2 = 6 (m/s²).

Vậy tại thời điểm vận tốc của chất điểm bằng 8 m/s thì gia tốc tức thời là 6 m/s².

Bài 6 trang 76 Toán 11 Tập 2: Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát, có phương trình chuyển động $x = 4 \cos (π t - \frac{2 π}{3}) + 3,$ trong đó t tính bằng giây và x tính bằng centimet.

a) Tìm vận tốc tức thời và gia tốc tức thời của con lắc tại thời điểm t (s).

b) Tìm thời điểm mà vận tốc tức thời của con lắc bằng 0.

Lời giải:

a) Vận tốc tức thời của con lắc là:

$v (t) = {[4 \cos (π t - \frac{2 π}{3}) + 3]}^{'} = 4 \cdot {(π t - \frac{2 π}{3})}^{'} \cdot [- \sin (π t - \frac{2 π}{3})] = - 4 π \sin (π t - \frac{2 π}{3}) .$

Gia tốc tức thời của con lắc là:

$a (t) = {[- 4 π \sin (π t - \frac{2 π}{3})]}^{'} = - 4 π \cdot {(π t - \frac{2 π}{3})}^{'} \cdot \cos (π t - \frac{2 π}{3}) = - 4 π^{2} \cos (π t - \frac{2 π}{3}) .$

b) Để vận tốc tức thời của con lắc bằng 0 thì

$- 4 π \sin (π t - \frac{2 π}{3}) = 0$

$\Leftrightarrow \sin (π t - \frac{2 π}{3}) = 0$

$\Leftrightarrow π t - \frac{2 π}{3} = k π (k \in ℤ)$

$\Leftrightarrow t - \frac{2}{3} = k (k \in ℤ)$

$\Leftrightarrow t = k + \frac{2}{3} (k \in ℤ)$

Ta có t > 0 nên $k + \frac{2}{3} > 0,$ tức $k > - \frac{2}{3}$

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1; 2; …} hay k ∈ ℕ*.

Vậy tại thời điểm $t = k + \frac{2}{3} (k \in ℕ *)$ thì vận tốc tức thời của con lắc bằng 0.

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Giải Toán 11 trang 76 Tập 2

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 1 trang 76 Toán 11 Tập 2: Cho u = u(x), v = v(x) là hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Phát biểu nào sau đây là đúng...

Bài 2 trang 76 Toán 11 Tập 2: Cho u = u(x), v = v(x) là hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Phát biểu nào sau đây là đúng...

Bài 3 trang 76 Toán 11 Tập 2: Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau: a) y = (x² + 2x)(x³ – 3x); b) $y = \frac{1}{- 2 x + 5};$ c) $y = \sqrt{4 x + 5};$ ...

Bài 4 trang 76 Toán 11 Tập 2: Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau: a) y = 2x⁴ – 3x³ + 5x²; b) $y = \frac{2}{3 - x};$ c) y = sin2xcosx;...

Bài 5 trang 76 Toán 11 Tập 2: Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức v(t) = 2t + t², trong đó t > 0, t tính bằng giây và v(t) tính bằng m/s...

Bài 6 trang 76 Toán 11 Tập 2: Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát, có phương trình chuyển động $x = 4 \cos (π t - \frac{2 π}{3}) + 3,$ ...

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 3: Đạo hàm cấp hai

Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 5: Khoảng cách

1 188 26/12/2023

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3