Bài 6 trang 65 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Giải Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số   

Bài 6 trang 65 Toán 11 Tập 1: Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R.

C₁ là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính $\frac{AB}{2}$.

C₂ là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính $\frac{AB}{4}$, ...

C_n là đường gồm 2ⁿ nửa đường tròn đường kính $\frac{AB}{2^n}$,...(Hình 4).

Gọi P_n là độ dài của C_n­, S_n là diện tích hình phẳng giới hạn bởi C_n và đoạn thẳng AB.

a) Tính p_n, S_n.

b) Tìm giới hạn của các dãy số (p_n) và (S_n).

Lời giải:

a)

+) Ta có: p₁ = $\frac{\pi R}{2}$; p₂ = $\frac{\pi R}{4}=\frac{\pi R}{2^2}$; p₃ = $\frac{\pi R}{8}=\frac{\pi R}{2^3}$; ...

(p_n) lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu p₁ = $\frac{\pi R}{2}$và công bội q = $\frac{1}{2}$<1 có số hạng tổng quát p_n = $\frac{\pi R}{2}.{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$.

+) Ta có: C₁ = $\frac{\pi R^2}{4}$; C₂ = $\frac{\pi R^2}{4^2}$; C₃ = $\frac{\pi R^3}{4^3}$; ...

(C_n) lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu C₁ = $\frac{\pi R^2}{4}$và công bội q = $\frac{1}{4}$<1có số hạng tổng quát C_n = $\frac{\pi R}{4}.{\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}$.