Bài 1 trang 14 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài 1: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 1 trang 14 Toán 11 Tập 2: Mẫu số liệu dưới đây ghi lại tốc độ của 40 ô tô khi đi qua một trạm đo tốc độ (đơn vị: km/h).

a) Lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên có sáu nhóm ứng với sáu nửa khoảng:

[40; 45), [45; 50), [50; 55), [55; 60), [60; 65), [65; 70).

b) Xác định số trung bình cộng, trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

c) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là bao nhiêu?

Lời giải:

a) Bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên như sau:

b) Bảng tần số ghép nhóm bao gồm giá trị đại diện và tần số tích lũy như sau:

⦁ Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là:

$\overline{x}=\frac{42,5\cdot 4+47,5\cdot 11+52,5\cdot 7+57,5\cdot 8+62,5\cdot 8+67,5\cdot 2}{40}$ = 53,875.

⦁ Số phần tử của mẫu là n = 40. Ta có $\frac{n}{2}=\frac{40}{2}$ = 20.

Mà 15 < 20 < 22 nên nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 20.

Xét nhóm 3 là nhóm [50; 55) có r = 50, d = 5, n₃ = 7 và nhóm 2 là nhóm [45; 50) có cf₂ = 15.

Áp dụng công thức, ta có trung vị của mẫu số liệu là:

M_e = $50+\frac{20-15}{7}\cdot 5\approx 53,6$ (km/h).

Do đó tứ phân vị thứ hai là Q₂ = M_e ≈ 53,6 (km/h).

⦁ Ta có $\frac{n}{4}=\frac{40}{4}$ = 10. Mà 4 < 10 < 15 nên nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 10.

Xét nhóm 2 là nhóm [45; 50) có s = 45; h = 5; n₂ = 11 và nhóm 1 là nhóm [40; 45) có cf₁ = 4.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là:

Q₁ = $45+\frac{10-4}{11}\cdot 5\approx 47,7$ (km/h).

⦁ Ta có $\frac{3n}{4}=\frac{3\cdot 40}{4}$ = 30. Mà cf₄ = 30 nên nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 30.

Xét nhóm 4 là nhóm [55; 60) có t = 55; l = 5; n₄ = 8 và nhóm 3 là nhóm [50; 55) có cf₁ = 22.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là:

Q₃ = $55+\frac{30-22}{8}\cdot 5$ = 60(km/h).

c) Nhóm 2 là nhóm [45; 50) có tần số lớn nhất với u = 45, g = 5, n₂ = 11 và nhóm 1 có tần số n₁= 4, nhóm 3 có tần số n₃ = 7.

Áp dụng công thức, ta có mốt của mẫu số liệu là:

M_o = $45+\frac{11-4}{2\cdot 11-4-7}\cdot 5\approx 48,2$ (km/h).