Giải Toán 11 trang 48 Tập 1 Cánh diều

Với giải bài tập Toán 11 trang 48 Tập 1 trong Bài 1: Dãy số sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 48 Tập 1.

1 210 02/11/2023

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 11 trang 48 Tập 1

Bài 3 trang 48 Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số (u_n), biết:

a) $u_{n} = \frac{n - 3}{n + 2}$ ;

b) $u_{n} = \frac{3^{n}}{2^{n} . n!}$ ;

c) u_n = (– 1)ⁿ.(2ⁿ + 1).

Lời giải:

a) Ta có: $u_{n + 1} = \frac{n + 1 - 3}{n + 1 + 2} = \frac{n - 2}{n + 3}$

Xét hiệu $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{n - 2}{n + 3} - \frac{n - 3}{n + 2}$

$= \frac{n^{2} - 4 - n^{2} + 9}{(n + 3) (n + 2)} = \frac{5}{(n + 3) (n + 2)} > 0, \forall n \in ℕ^{*}$ .

Suy ra u_n+1 > u_n

Vì vậy dãy số đa cho là dãy số tăng.

b) Ta có: $u_{n + 1} = \frac{3^{n + 1}}{2^{n + 1} . (n + 1)!} = \frac{{3.3}^{n}}{2 (n + 1) {.2}^{n} . n!} = \frac{3}{2 (n + 1)} . u_{n}$

Vì n ∈ ℕ^* nên $\frac{3}{2 (n + 1)} < \frac{3}{2}$ suy ra u_n+1 < u_n.

Vì vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.

c) Ta có: u_n+1 = (– 1)ⁿ⁺¹.(2ⁿ⁺¹ + 1)

+) Nếu n chẵn thì u_n+1 = – (2.2ⁿ + 1) và u_n = 2ⁿ + 1. Do đó u_n+1 < u_n.

Vì vậy với n chẵn thì dãy số đã cho là dãy giảm.

+) Nếu n lẻ thì u_n+1 = 2.2ⁿ + 1 và u_n = – (2ⁿ + 1). Do đó u_n+1 > u_n.

Vì vậy với n chẵn thì dãy số đã cho là dãy tăng.

Bài 4 trang 48 Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (u_n) được xác định như sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?

a) u_n = n² + 2;

b) u_n = – 2n + 1;

c) $u_{n} = \frac{1}{n^{2} + n}$ .

Lời giải:

a) Ta có: n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1 suy ra n² + 2 ≥ 3

Do đó u_n ≥ 3

Vậy dãy số (u_n) bị chặn dưới bởi 3.

b) Ta có: n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1 suy ra u_n = – 2n + 1 ≤ – 1

Do đó u_n ≤ – 1.

Vậy dãy số (u_n) bị chặn trên bởi – 1.

c) Ta có: $u_{n} = \frac{1}{n^{2} + n} = \frac{1}{n (n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$

Vì n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1 suy ra $\frac{1}{n} > \frac{1}{n + 1} \Rightarrow u_{n} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ > 0

Ta lại có: $\frac{1}{n} \leq$ 1 và $- \frac{1}{n + 1} \leq - \frac{1}{2}$ suy ra $u_{n} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \leq 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Do đó 0< $u_{n} \leq \frac{1}{2}$

Vậy dãy số (u_n) bị chặn.

Bài 5 trang 48 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số thực dương (u_n). Chứng minh rằng dãy số (u_n) là dãy số tăng khi và chỉ khi $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ >1 với mọi n ∈ ℕ^*.

Lời giải:

+) Nếu $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ >1 với mọi n ∈ ℕ^* thì u_n+1 > u_n. Do đó dãy số (u_n) là dãy số tăng.

+) Nếu (u_n) là dãy số tăng thì u_n+1 > u_n do đó $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ >1.

Bài 6 trang 48 Toán 11 Tập 1: Chị Mai gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng theo thể thức lãi kép như sau. Lần đầu chị gửi 100 triệu động. Sau đó, cứ hết 1 tháng chị lại gửi thêm vào ngân hàng 6 triệu đồng. Biết lãi suất của ngân hàng là 0,5% một tháng. Gọi P_n (triệu đồng) là số tiền chị có trong ngân hàng sau n tháng.

a) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng.

b) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 3 tháng.

c) Dự đoán công thức của P_n tính theo n.

Lời giải:

a) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng là:

P₁ = 100 + 100.0,5% + 6 = 100,5 + 6 (triệu đồng).

b) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 2 tháng là:

P₂ = 100,5 + 6 + (100,5 + 6).0,5% + 6= (100,5 + 6)(1 + 0,5%) + 6 = 100,5(1 + 0,5%) + 6.(1 + 0,5%) + 6 (triệu đồng)

Số tiền chị có trong ngân hàng sau 3 tháng là:

P₃ = (100,5 + 6)(1 + 0,5%) + 6 + [(100,5 + 6)(1 + 0,5%) + 6 ].0,5% + 6

= 100,5.(1 + 0,5%)² + 6(1 + 0,5%)² + 6.(1 + 0,5%) + 6 (triệu đồng).

c) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 4 tháng là:

P₄ = (100,5 + 6)(1 + 0,5%)² + 6.(1 + 0,5%) + 6 + [(100,5 + 6)(1 + 0,5%)² + 6.(1 + 0,5%) + 6]0,5% + 6

= 100,5.(1 + 0,5%)³ + 6.(1 + 0,5%)³ + 6(1 + 0,5%)² + 6.(1 + 0,5%) + 6

Số tiền chị có trong ngân hàng sau n tháng là:

P_n = 100,5.(1 + 0,5%)^n-1 + 6(1 + 0,5%)^n-1 + 6(1 + 0,5%)^n-2 + 6.(1 + 0,5%)^n-3 + ... + 6 với mọi n ∈ ℕ^*.

Xem thêm lời giải bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Giải Toán 11 trang 43 Tập 1

Giải Toán 11 trang 44 Tập 1

Giải Toán 11 trang 45 Tập 1

Giải Toán 11 trang 46 Tập 1

Giải Toán 11 trang 47 Tập 1

Giải Toán 11 trang 48 Tập 1

Xem thêm lời giải bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Câu hỏi khởi động trang 43 Toán 11 Tập 1: Một số loài hoa có số lượng cánh hoa luôn là một số cố định...

Hoạt động 1 trang 43 Toán 11 Tập 1: Một vật chuyển động đều với vận tốc 20 m/s. Hãy viết các số chỉ quãng đường (đơn vị: mét) vật chuyển động...

Luyện tập 1 trang 44 Toán 11 Tập 1: Hàm số u(n) = n³ xác định trên tập hợp M = {1; 2; 3; 4; 5} là một dãy số hữu hạn...

Hoạt động 2 trang 44 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số u(n) = $\frac{1}{n}$ , n ∈ ℕ*. Hãy viết các số u₁; u₂; ...; u_n; ... theo hàng ngang...

Luyện tập 2 trang 44 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) = n². a) Viết năm số hạng đầu và số hạng tổng quát của dãy số (u_n)...

Hoạt động 3 trang 45 Toán 11 Tập 1: Xét mỗi dãy số sau: Dãy số: 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100 (1)...

Luyện tập 3 trang 46 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{n - 3}{3 n + 1}$ . Tìm u₃₃, u₃₃₃ và viết dãy số dưới dạng khai triển...

Hoạt động 4 trang 46 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với u_n = n². Tính u_n+1. Từ đó, hãy so sánh u_n+1 và u_n với mọi n ∈ ℕ^*...

Luyện tập 4 trang 46 Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng dãy số (v_n) với v_n = $\frac{1}{3^{n}}$ là một dãy số giảm...

Hoạt động 5 trang 47 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với u_n = 1+ $\frac{1}{n}$ . Khẳng định u_n ≤ 2 với mọi n ∈ ℕ^* có đúng không...

Luyện tập 5 trang 47 Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{n^{2} + 1}{2 n^{2} + 4}$ là bị chặn...

Bài 1 trang 47 Toán 11 Tập 1: Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số có số hạng tổng quát u_n cho bởi công thức sau: a) u_n = 2n² + 1;...

Bài 2 trang 47 Toán 11 Tập 1: a) Gọi u_n là số chấm ở hàng thứ n trong Hình 1. Dự đoán công thức số hạng tổng quát cho dãy số (u_n)...

Bài 3 trang 48 Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số (u_n), biết: a) $u_{n} = \frac{n - 3}{n + 2}$ ;...

Bài 4 trang 48 Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (u_n) được xác định như sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn...

Bài 5 trang 48 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số thực dương (u_n). Chứng minh rằng dãy số (u_n) là dãy số tăng khi và chỉ khi $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ >1 với mọi n ∈ ℕ^*...

Bài 6 trang 48 Toán 11 Tập 1: Chị Mai gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng theo thể thức lãi kép như sau. Lần đầu chị gửi 100 triệu động...

Xem thêm lời giải bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 1

Bài 2: Cấp số cộng

Bài 3: Cấp số nhân

Bài tập cuối chương 2

Bài 1: Giới hạn của dãy số

1 210 02/11/2023

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác: