Bài 7 trang 94 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán lớp 11

Lời giải Bài 7 trang 94 Toán 11 Tập 1 sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11.

1 1,869 02/11/2023

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 11 Bài 1: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Bài 7 trang 94 Toán 11 Tập 1: Cho hình tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm cạnh CD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, CDA.

a) Chứng minh rằng các điểm M, N thuộc mặt phẳng (ABI).

b) Gọi G là giao điểm của AM và BN. Chứng minh rằng: $\frac{G M}{G A} = \frac{G N}{G B} = \frac{1}{3}$ .

c) Gọi P, Q lần lượt là trọng tâm các tam giác DAB, ABC. Chứng minh rằng các đường thẳng CP, DQ cùng đi qua điểm G và $\frac{G P}{G C} = \frac{G Q}{G D} = \frac{1}{3}$ .

Lời giải:

Bài 7 trang 94 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

+) Xét tam giác BCD có: I là trung điểm của CD nên BI là đường trung tuyến.

Mà M là trọng tâm tam giác BCD nên BI đi qua M.

Do đó M ∈ BI.

Lại có AI ⊂ (ABI) nên M ∈ (ABI).

+) Xét tam giác ACD có: I là trung điểm của CD nên AI là đường trung tuyến.

Mà N là trọng tâm tam giác ACD nên AI đi qua N.

Do đó N ∈ AI.

Lại có BI ⊂ (ABI) nên N ∈ (ABI).

b) Trong $∆$ BCD có M là trọng tâm tam giác nên $\frac{M I}{B I} = \frac{1}{3}$ .

Trong $∆$ ACD có N là trọng tâm tam giác nên $\frac{N I}{A I} = \frac{1}{3}$ .

Xét $∆$ ABI có: $\frac{N I}{A I} = \frac{M I}{B I} = \frac{1}{3}$ nên MN // AB (theo định lí Thalès đảo).

Xét $∆$ ABI và MN // AB, theo hệ quả định lí Thalès ta có $\frac{M N}{A B} = \frac{N I}{A I} = \frac{M I}{B I} = \frac{1}{3}$ .

Xét $∆$ ABG và MN // AB, theo hệ quả định lí Thalès ta có $\frac{G M}{G A} = \frac{G N}{G B} = \frac{M N}{A B} = \frac{1}{3}$ .

Bài 7 trang 94 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

• Gọi G’ là giao điểm của AM và CP; G’’ là giao điểm của AM và DQ.

Chứng minh tương tự câu b, ta có: $\frac{G^{'} M}{G^{'} A} = \frac{G^{'} P}{G^{'} C} = \frac{P M}{A C} = \frac{1}{3}$ và $\frac{{G^{'}}^{'} M}{{G^{'}}^{'} A} = \frac{{G^{'}}^{'} Q}{{G^{'}}^{'} D} = \frac{Q M}{A D} = \frac{1}{3}$

Do đó $\frac{G M}{G A} = \frac{G^{'} M}{G^{'} A} = \frac{{G^{'}}^{'} M}{{G^{'}}^{'} A} = \frac{1}{3}$ .

Mà G, G’, G’’ cùng nằm trên AM nên G ≡ G’ ≡ G’’.

Vậy các đường thẳng CP, DQ cùng đi qua điểm G.

• Xét tam giác ABC, kẻ đường trung tuyến AE (E ∈ BC).

Ta có: Q là trọng tâm DABC nên $\frac{A Q}{A E} = \frac{2}{3}$ .

Xét tam giác ABD, kẻ đường trung tuyến AF (F ∈ BD).

Ta có: P là trọng tâm $∆$ ABD nên $\frac{A P}{A F} = \frac{2}{3}$ .

+) Trong mặt phẳng (AEF), có: $\frac{A Q}{A E} = \frac{A P}{A F} = \frac{2}{3}$ nên PQ // EF (định lí Thalès đảo)

Mà EF // CD (đường trung bình tam giác BCD).

Suy ra PQ // CD

Theo hệ quả định lí Thalès ta có: $\frac{G P}{G C} = \frac{G Q}{G D} = \frac{Q P}{C D} = \frac{Q P}{2 E F} = \frac{1}{2} . \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ .