Bài 4 trang 15 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Giải Toán 11 Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác 

Bài 4 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha$ trong mỗi trường hợp sau:

a)     $\sin \alpha =\frac{\sqrt{15}}{4}$ với $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$

b)     $\cos \alpha =-\frac{2}{3}$ với $-\pi <\alpha <0$

c)     $\tan \alpha =3$ với $-\pi <\alpha <0$

d)     $\cot \alpha =-2$ với $0<\alpha <\pi$

Lời giải:

a)  Ta có ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$

mà $\sin \alpha =\frac{\sqrt{15}}{4}$ nên ${\cos }^2\alpha +{\left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)}^2=1\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{1}{16}$

Lại có $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\cos \alpha <0\Rightarrow \cos \alpha =-\frac{1}{4}$

Khi đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{co\mathrm{s}\alpha }=-\sqrt{15};\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=-\frac{1}{\sqrt{15}}$

b)

Ta có ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$

mà $\cos \alpha =-\frac{2}{3}$ nên ${\sin }^2\alpha +{\left(\frac{-2}{3}\right)}^2=1\Rightarrow {\sin }^2\alpha =\frac{5}{9}$

Lại có $-\pi <\alpha <0$ nên $\sin \alpha <0\Rightarrow \sin \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$

Khi đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{co\mathrm{s}\alpha }=\frac{\sqrt{5}}{2};\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{2}{\sqrt{5}}$

c)

Ta có$\tan \alpha =3$ nên

$\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{3}$

$\frac{1}{{\cos }^2\alpha }=1+{\tan }^2\alpha =1+3^2=10\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{1}{10}$

Mà ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1\Rightarrow {\sin }^2\alpha =\frac{9}{10}$

Với $-\pi <\alpha <0$thì $\sin \alpha <0\Rightarrow \sin \alpha =-\sqrt{\frac{9}{10}}$

Với $-\pi <\alpha <-\frac{\pi }{2}$thì $\cos \alpha <0\Rightarrow \cos \alpha =-\sqrt{\frac{1}{10}}$

và  $-\frac{\pi }{2}\le \alpha <0$thì $\cos \alpha >0\Rightarrow \cos \alpha =\sqrt{\frac{1}{10}}$

d)

Ta có$\cot \alpha =-2$ nên

$\tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }=-\frac{1}{2}$

$\frac{1}{{\sin }^2\alpha }=1+co{\mathrm{t}}^2\alpha =1+(-2{)}^2=5\Rightarrow {\sin }^2\alpha =\frac{1}{5}$

Mà ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{4}{5}$

Với $0<\alpha <\pi$thì $\sin \alpha >0\Rightarrow \sin \alpha =\sqrt{\frac{1}{5}}$

Với $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$thì $\cos \alpha >0\Rightarrow \cos \alpha =\sqrt{\frac{4}{5}}$

và  $\frac{\pi }{2}\le \alpha <\pi$thì $\cos \alpha <0\Rightarrow \cos \alpha =-\sqrt{\frac{4}{5}}$