Giải Toán 11 trang 15 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 trang 15 Tập 1

Bài 1 trang 15 Toán 11 Tập 1: Gọi M, N, P là các điểm trên đường tròn lượng giác sao cho số đo của các góc lượng giác $\left(OA,OM\right),\left(OA,ON\right),\left(OA,OP\right)$ lần lượt bằng $\frac{\pi }{2};\frac{7\pi }{6};-\frac{\pi }{6}$. Chứng minh rằng tam giác MNP là tam giác đều.

Lời giải:

• Ta có $\left(OA,OM\right)=\alpha =\frac{\pi }{2}$ là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OM và quay theo chiều dương một góc $\frac{\pi }{2}$, khi đó tia OM trùng với tia OB.

Điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho $\left(OA,OM\right)=\alpha =\frac{\pi }{2}$ được biểu diễn trùng với điểm B.

• Ta có (OA,ON)=$\beta =\frac{7\pi }{6}=\pi +\frac{\pi }{6}$ là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia ON và quay theo chiều dương một góc $\frac{7\pi }{6}$.

• Ta có (OA,OP) = $\gamma =-\frac{\pi }{6}$ là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OP và quay theo chiều âm một góc $\frac{\pi }{6}$.

Ba điểm M, N, P trên đường tròn lượng giác được biểu diễn nhu hình vẽ dưới đây:

Bài 2 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác của mỗi góc sau: ${225}^{\circ };-{225}^{\circ };-{1035}^{\circ }$;$\frac{5\pi }{3};\frac{19\pi }{2};-\frac{159\pi }{4}$

Lời giải:

$\begin{array}{l}\cos \left({225}^{\circ }\right)=\cos \left({180}^{\circ }+{45}^{\circ }\right)=-\cos \left({45}^{\circ }\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin \left({225}^{\circ }\right)=\sin \left({180}^{\circ }+{45}^{\circ }\right)=-\sin \left({45}^{\circ }\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \tan \left({225}^{\circ }\right)=\frac{\sin \left({225}^{\circ }\right)}{\cos \left({225}^{\circ }\right)}=1\\ \cot \left({225}^{\circ }\right)=\frac{1}{\tan \left({225}^{\circ }\right)}=1\end{array}$

$\begin{array}{l}\cos \left(-{225}^{\circ }\right)=\cos \left({225}^{\circ }\right)=\cos \left({180}^{\circ }+{45}^{\circ }\right)=-\cos \left({45}^{\circ }\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin \left(-{225}^{\circ }\right)=-\sin \left({225}^{\circ }\right)=-\sin \left({180}^{\circ }+{45}^{\circ }\right)=\sin \left({45}^{\circ }\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \tan \left(-{225}^{\circ }\right)=\frac{\sin \left({225}^{\circ }\right)}{\cos \left({225}^{\circ }\right)}=-1\\ \cot \left(-{225}^{\circ }\right)=\frac{1}{\tan \left({225}^{\circ }\right)}=-1\end{array}$

$\begin{array}{l}\cos \left(-{1035}^{\circ }\right)=\cos \left({1035}^{\circ }\right)=\cos \left({6.360}^{\circ }-{45}^{\circ }\right)\\ =\cos \left(-{45}^{\circ }\right)=\cos \left({45}^{\circ }\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin \left(-{1035}^{\circ }\right)=-\sin \left({1035}^{\circ }\right)=-\sin \left({6.360}^{\circ }-{45}^{\circ }\right)\\ =-\sin \left(-{45}^{\circ }\right)=\sin \left({45}^{\circ }\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \tan \left(-{1035}^{\circ }\right)=\frac{\sin \left(-{1035}^{\circ }\right)}{\cos \left(-{1035}^{\circ }\right)}=1\\ \cot \left(-{1035}^{\circ }\right)=\frac{1}{\tan \left(-{1035}^{\circ }\right)}=-1\end{array}$

$\begin{array}{l}\cos \left(\frac{5\pi }{3}\right)=\cos \left(\pi +\frac{2\pi }{3}\right)=-\cos \left(\frac{2\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\\ \sin \left(\frac{5\pi }{3}\right)=\sin \left(\pi +\frac{2\pi }{3}\right)=-\sin \left(\frac{2\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \tan \left(\frac{5\pi }{3}\right)=\frac{\sin \left(\frac{5\pi }{3}\right)}{\cos \left(\frac{5\pi }{3}\right)}=-\sqrt{3}\\ \cot \left(\frac{5\pi }{3}\right)=\frac{1}{\tan \left(\frac{5\pi }{3}\right)}=-\frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}$

$\begin{array}{l}\cos \left(\frac{19\pi }{2}\right)=\cos \left(8\pi +\frac{3\pi }{2}\right)=\cos \left(\frac{3\pi }{2}\right)=\cos \left(\pi +\frac{\pi }{2}\right)=-\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)=0\\ \sin \left(\frac{19\pi }{2}\right)=\sin \left(8\pi +\frac{3\pi }{2}\right)=\sin \left(\frac{3\pi }{2}\right)=\sin \left(\pi +\frac{\pi }{2}\right)=-\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=-1\\ \tan \left(\frac{19\pi }{2}\right)\\ \cot \left(\frac{19\pi }{2}\right)=\frac{\cos \left(\frac{19\pi }{2}\right)}{\sin \left(\frac{19\pi }{2}\right)}=0\end{array}$

$\begin{array}{l}\cos \left(-\frac{159\pi }{4}\right)=\cos \left(\frac{159\pi }{4}\right)=\cos \left(40.\pi -\frac{\pi }{4}\right)\\ ==\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin \left(-\frac{159\pi }{4}\right)=-\sin \left(\frac{159\pi }{4}\right)=-\sin \left(40.\pi -\frac{\pi }{4}\right)\\ =-\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \tan \left(-\frac{159\pi }{4}\right)=\frac{\cos \left(-\frac{159\pi }{4}\right)}{\sin \left(-\frac{159\pi }{4}\right)}=1\\ \cot \left(-\frac{159\pi }{4}\right)=\frac{1}{\tan \left(-\frac{159\pi }{4}\right)}=1\end{array}$

Bài 3 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác (nếu có) có mỗi góc sau:

a)     $\frac{\pi }{3}+k2\pi \left(k\in Z\right)$

b)     $k\pi \left(k\in Z\right)$

c)     $\frac{\pi }{2}+k\pi (k\in Z)$

d)     $\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in Z\right)$

Lời giải:

a)

$\begin{array}{l}\cos \left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)=\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\\ \sin \left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \tan \left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)=\frac{\sin \left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)}{\cos \left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)}=\sqrt{3}\\ \cot \left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)=\frac{1}{\tan \left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)}=\frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}$

b)

 $\begin{array}{l}\cos \left(k\pi \right)=[\begin{array}{l}-1;k=2n+1\\ 1;k=2n\end{array}\\ \sin \left(k\pi \right)=0\\ \tan \left(k\pi \right)=\frac{\sin \left(k\pi \right)}{\cos \left(k\pi \right)}=0\\ \cot \left(k\pi \right)\end{array}$

c)

$\begin{array}{l}\cos \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=0\\ \sin \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=[\begin{array}{l}\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)=-1;k=2n+1\\ \sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=1;k=2n\end{array}\\ \tan \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)\\ \cot \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=0\end{array}$

d)

Với k=2n+1 thì

$\begin{array}{l}\cos \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\cos \left(\frac{\pi }{4}+(2n+1)\pi \right)\\ =\cos \left(\frac{\pi }{4}+2n\pi +\pi \right)=\cos \left(\frac{\pi }{4}+\pi \right)\\ =-\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}+(2n+1)\pi \right)\\ =\sin \left(\frac{\pi }{4}+2n\pi +\pi \right)=sin\left(\frac{\pi }{4}+\pi \right)\\ =-\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \tan \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=1\\ \cot \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=1\end{array}$

Với k=2n thì

$\begin{array}{l}\cos \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=co\mathrm{s}\left(\frac{\pi }{4}+2n\pi \right)=\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}+2n\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \tan \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=1\\ \cot \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=1\end{array}$

Bài 4 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha$ trong mỗi trường hợp sau:

a)     $\sin \alpha =\frac{\sqrt{15}}{4}$ với $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$

b)     $\cos \alpha =-\frac{2}{3}$ với $-\pi <\alpha <0$

c)     $\tan \alpha =3$ với $-\pi <\alpha <0$

d)     $\cot \alpha =-2$ với $0<\alpha <\pi$

Lời giải:

a)  Ta có ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$

mà $\sin \alpha =\frac{\sqrt{15}}{4}$ nên ${\cos }^2\alpha +{\left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)}^2=1\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{1}{16}$

Lại có $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\cos \alpha <0\Rightarrow \cos \alpha =-\frac{1}{4}$

Khi đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{co\mathrm{s}\alpha }=-\sqrt{15};\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=-\frac{1}{\sqrt{15}}$

b)

Ta có ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$

mà $\cos \alpha =-\frac{2}{3}$ nên ${\sin }^2\alpha +{\left(\frac{-2}{3}\right)}^2=1\Rightarrow {\sin }^2\alpha =\frac{5}{9}$

Lại có $-\pi <\alpha <0$ nên $\sin \alpha <0\Rightarrow \sin \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$

Khi đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{co\mathrm{s}\alpha }=\frac{\sqrt{5}}{2};\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{2}{\sqrt{5}}$

c)

Ta có$\tan \alpha =3$ nên

$\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{3}$

$\frac{1}{{\cos }^2\alpha }=1+{\tan }^2\alpha =1+3^2=10\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{1}{10}$

Mà ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1\Rightarrow {\sin }^2\alpha =\frac{9}{10}$

Với $-\pi <\alpha <0$thì $\sin \alpha <0\Rightarrow \sin \alpha =-\sqrt{\frac{9}{10}}$

Với $-\pi <\alpha <-\frac{\pi }{2}$thì $\cos \alpha <0\Rightarrow \cos \alpha =-\sqrt{\frac{1}{10}}$

và  $-\frac{\pi }{2}\le \alpha <0$thì $\cos \alpha >0\Rightarrow \cos \alpha =\sqrt{\frac{1}{10}}$

d)

Ta có$\cot \alpha =-2$ nên

$\tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }=-\frac{1}{2}$

$\frac{1}{{\sin }^2\alpha }=1+co{\mathrm{t}}^2\alpha =1+(-2{)}^2=5\Rightarrow {\sin }^2\alpha =\frac{1}{5}$

Mà ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{4}{5}$

Với $0<\alpha <\pi$thì $\sin \alpha >0\Rightarrow \sin \alpha =\sqrt{\frac{1}{5}}$

Với $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$thì $\cos \alpha >0\Rightarrow \cos \alpha =\sqrt{\frac{4}{5}}$

và  $\frac{\pi }{2}\le \alpha <\pi$thì $\cos \alpha <0\Rightarrow \cos \alpha =-\sqrt{\frac{4}{5}}$

Bài 5 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính

a)  $A={\sin }^2{5}^{\circ }+{\sin }^2{10}^{\circ }+{\sin }^2{15}^{\circ }+...+{\sin }^2{85}^{\circ }$ (17 số hạng)

b)  $B=\cos 5^{\circ }+\cos {10}^{\circ }+\cos {15}^{\circ }+...+\cos {175}^{\circ }$ (35 số hạng)

Lời giải:

a)

$$\begin{gathered} A={\sin }^2{5}^{\circ }+{\sin }^2{10}^{\circ }+{\sin }^2{15}^{\circ }+...+{\sin }^2{85}^{\circ } \\ =({\sin }^2{5}^{\circ }+{\sin }^2{85}^{\circ })+({\sin }^2{15}^{\circ }+{\sin }^2{75}^{\circ })+... \\ +({\sin }^2{35}^{\circ }+{\sin }^2{55}^{\circ })+{\sin }^2{45}^{\circ } \\ =({\sin }^2{5}^{\circ }+{\cos }^2{5}^{\circ })+({\sin }^2{15}^{\circ }+{\cos }^2{15}^{\circ })+... \\ +({\sin }^2{35}^{\circ }+{\cos }^2{35}^{\circ })+{\sin }^2{45}^{\circ } \\ =1+1+...+1+\frac{1}{2}=\frac{17}{2} \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} B=\cos 5^{\circ }+\cos {10}^{\circ }+\cos {15}^{\circ }+...+\cos {175}^{\circ } \\ =(\cos 5^{\circ }+\cos {175}^{\circ })+(\cos {10}^{\circ }+\cos {170}^{\circ }) \\ +...+(\cos {85}^{\circ }+\cos {95}^{\circ })+\cos {90}^{\circ } \\ =0+0+....+0+0=0 \end{gathered}$$

Bài 6 trang 15 Toán 11 Tập 1: Một vệ tinh được định vị tại vị trí A trong không gian. Từ vị trí A, vệ tinh bắt đầu chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là đường tròn với tâm là tâm O của Trái Đất, bán kính 9000 km. Biết rằng vệ tinh chuyển động hết một vòng của quỹ đạo trong 3 giờ

a) Hãy tính quãng đường vệ tinh đã chuyển độ được sau: 1h; 3h; 5h

b) Vệ tinh chuyển động được quãng đường 200 000 km sau bao nhiêu giờ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị?

Lời giải:

a) Chiều dài một vòng của quỹ đạo là : $\mathrm{9000.2.}\pi$ (km)

Quãng đường vệ tinh đã chuyển độ được sau 1 giờ là

 $\frac{\mathrm{9000.2.}\pi }{3}=6000\pi$(km)

Quãng đường vệ tinh đã chuyển độ được sau 3 giờ là $18000\pi$(km)

Quãng đường vệ tinh đã chuyển độ được sau 1 giờ là

 $\frac{\mathrm{9000.2.}\pi }{3}.5=30000\pi$(km)

b)Vệ tinh chuyển động được quãng đường 200 000 km sau sô giờ là : $\frac{200000}{6000\pi }\approx 11$( giờ)

Xem thêm lời giải bài tập Toán 11 sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

Giải Toán 11 trang 5 Tập 1

Giải Toán 11 trang 6 Tập 1

Giải Toán 11 trang 7 Tập 1

Giải Toán 11 trang 8 Tập 1

Giải Toán 11 trang 9 Tập 1

Giải Toán 11 trang 10 Tập 1

Giải Toán 11 trang 11 Tập 1

Giải Toán 11 trang 12 Tập 1

Giải Toán 11 trang 13 Tập 1

Giải Toán 11 trang 14 Tập 1

Giải Toán 11 trang 15 Tập 1