Giải Toán 11 trang 15 Tập 1 Cánh diều

Với giải bài tập Toán 11 trang 15 Tập 1 trong Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác sách Cánh diều Tập 1 hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 15 Tập 1.

1 642 02/11/2023

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 11 trang 15 Tập 1

Bài 1 trang 15 Toán 11 Tập 1: Gọi M, N, P là các điểm trên đường tròn lượng giác sao cho số đo của các góc lượng giác $(O A, O M), (O A, O N), (O A, O P)$ lần lượt bằng $\frac{π}{2}; \frac{7 π}{6}; - \frac{π}{6}$ . Chứng minh rằng tam giác MNP là tam giác đều.

Lời giải:

• Ta có $(O A, O M) = α = \frac{π}{2}$ là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OM và quay theo chiều dương một góc $\frac{π}{2}$ , khi đó tia OM trùng với tia OB.

Điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho $(O A, O M) = α = \frac{π}{2}$ được biểu diễn trùng với điểm B.

• Ta có (OA,ON)= $β = \frac{7 π}{6} = π + \frac{π}{6}$ là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia ON và quay theo chiều dương một góc $\frac{7 π}{6}$ .

• Ta có (OA,OP) = $γ = - \frac{π}{6}$ là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OP và quay theo chiều âm một góc $\frac{π}{6}$ .

Ba điểm M, N, P trên đường tròn lượng giác được biểu diễn nhu hình vẽ dưới đây:

Bài 1 trang 15 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Bài 2 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác của mỗi góc sau: $225^{\circ}; - 225^{\circ}; - 1035^{\circ}$ ; $\frac{5 π}{3}; \frac{19 π}{2}; - \frac{159 π}{4}$

Lời giải:

$\begin{array}{l} \cos (225^{\circ}) = \cos (180^{\circ} + 45^{\circ}) = - \cos (45^{\circ}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin (225^{\circ}) = \sin (180^{\circ} + 45^{\circ}) = - \sin (45^{\circ}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \tan (225^{\circ}) = \frac{\sin (225^{\circ})}{\cos (225^{\circ})} = 1 \\ \cot (225^{\circ}) = \frac{1}{\tan (225^{\circ})} = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \cos (- 225^{\circ}) = \cos (225^{\circ}) = \cos (180^{\circ} + 45^{\circ}) = - \cos (45^{\circ}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin (- 225^{\circ}) = - \sin (225^{\circ}) = - \sin (180^{\circ} + 45^{\circ}) = \sin (45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \tan (- 225^{\circ}) = \frac{\sin (225^{\circ})}{\cos (225^{\circ})} = - 1 \\ \cot (- 225^{\circ}) = \frac{1}{\tan (225^{\circ})} = - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \cos (- 1035^{\circ}) = \cos (1035^{\circ}) = \cos ({6.360}^{\circ} - 45^{\circ}) \\ = \cos (- 45^{\circ}) = \cos (45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin (- 1035^{\circ}) = - \sin (1035^{\circ}) = - \sin ({6.360}^{\circ} - 45^{\circ}) \\ = - \sin (- 45^{\circ}) = \sin (45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \tan (- 1035^{\circ}) = \frac{\sin (- 1035^{\circ})}{\cos (- 1035^{\circ})} = 1 \\ \cot (- 1035^{\circ}) = \frac{1}{\tan (- 1035^{\circ})} = - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \cos (\frac{5 π}{3}) = \cos (π + \frac{2 π}{3}) = - \cos (\frac{2 π}{3}) = \frac{1}{2} \\ \sin (\frac{5 π}{3}) = \sin (π + \frac{2 π}{3}) = - \sin (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \tan (\frac{5 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{5 π}{3})}{\cos (\frac{5 π}{3})} = - \sqrt{3} \\ \cot (\frac{5 π}{3}) = \frac{1}{\tan (\frac{5 π}{3})} = - \frac{\sqrt{3}}{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \cos (\frac{19 π}{2}) = \cos (8 π + \frac{3 π}{2}) = \cos (\frac{3 π}{2}) = \cos (π + \frac{π}{2}) = - \cos (\frac{π}{2}) = 0 \\ \sin (\frac{19 π}{2}) = \sin (8 π + \frac{3 π}{2}) = \sin (\frac{3 π}{2}) = \sin (π + \frac{π}{2}) = - \sin (\frac{π}{2}) = - 1 \\ \tan (\frac{19 π}{2}) \\ \cot (\frac{19 π}{2}) = \frac{\cos (\frac{19 π}{2})}{\sin (\frac{19 π}{2})} = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \cos (- \frac{159 π}{4}) = \cos (\frac{159 π}{4}) = \cos (40. π - \frac{π}{4}) \\ = = \cos (- \frac{π}{4}) = \cos (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin (- \frac{159 π}{4}) = - \sin (\frac{159 π}{4}) = - \sin (40. π - \frac{π}{4}) \\ = - \sin (- \frac{π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \tan (- \frac{159 π}{4}) = \frac{\cos (- \frac{159 π}{4})}{\sin (- \frac{159 π}{4})} = 1 \\ \cot (- \frac{159 π}{4}) = \frac{1}{\tan (- \frac{159 π}{4})} = 1 \end{array}$

Bài 3 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác (nếu có) có mỗi góc sau:

a) $\frac{π}{3} + k 2 π (k \in Z)$

b) $k π (k \in Z)$

c) $\frac{π}{2} + k π (k \in Z)$

d) $\frac{π}{4} + k π (k \in Z)$

Lời giải:

$\begin{array}{l} \cos (\frac{π}{3} + k 2 π) = \cos (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2} \\ \sin (\frac{π}{3} + k 2 π) = \sin (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \tan (\frac{π}{3} + k 2 π) = \frac{\sin (\frac{π}{3} + k 2 π)}{\cos (\frac{π}{3} + k 2 π)} = \sqrt{3} \\ \cot (\frac{π}{3} + k 2 π) = \frac{1}{\tan (\frac{π}{3} + k 2 π)} = \frac{\sqrt{3}}{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \cos (k π) = [\begin{array}{l} - 1; k = 2 n + 1 \\ 1; k = 2 n \end{array} \\ \sin (k π) = 0 \\ \tan (k π) = \frac{\sin (k π)}{\cos (k π)} = 0 \\ \cot (k π) \end{array}$

$\begin{array}{l} \cos (\frac{π}{2} + k π) = 0 \\ \sin (\frac{π}{2} + k π) = [\begin{array}{l} \sin (- \frac{π}{2}) = - 1; k = 2 n + 1 \\ \sin (\frac{π}{2}) = 1; k = 2 n \end{array} \\ \tan (\frac{π}{2} + k π) \\ \cot (\frac{π}{2} + k π) = 0 \end{array}$

Với k=2n+1 thì

$\begin{array}{l} \cos (\frac{π}{4} + k π) = \cos (\frac{π}{4} + (2 n + 1) π) \\ = \cos (\frac{π}{4} + 2 n π + π) = \cos (\frac{π}{4} + π) \\ = - \cos (\frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin (\frac{π}{4} + k π) = \sin (\frac{π}{4} + (2 n + 1) π) \\ = \sin (\frac{π}{4} + 2 n π + π) = s i n (\frac{π}{4} + π) \\ = - \sin (\frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \tan (\frac{π}{4} + k π) = 1 \\ \cot (\frac{π}{4} + k π) = 1 \end{array}$

Với k=2n thì

$\begin{array}{l} \cos (\frac{π}{4} + k π) = c o s (\frac{π}{4} + 2 n π) = \cos (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin (\frac{π}{4} + k π) = \sin (\frac{π}{4} + 2 n π) = \sin (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \tan (\frac{π}{4} + k π) = 1 \\ \cot (\frac{π}{4} + k π) = 1 \end{array}$

Bài 4 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác của góc $α$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\sin α = \frac{\sqrt{15}}{4}$ với $\frac{π}{2} < α < π$

b) $\cos α = - \frac{2}{3}$ với $- π < α < 0$

c) $\tan α = 3$ với $- π < α < 0$

d) $\cot α = - 2$ với $0 < α < π$

Lời giải:

a) Ta có $\cos^{2} α + \sin^{2} α = 1$

mà $\sin α = \frac{\sqrt{15}}{4}$ nên $\cos^{2} α + {(\frac{\sqrt{15}}{4})}^{2} = 1 \Rightarrow \cos^{2} α = \frac{1}{16}$

Lại có $\frac{π}{2} < α < π$ nên $\cos α < 0 \Rightarrow \cos α = - \frac{1}{4}$

Khi đó $\tan α = \frac{\sin α}{c o s α} = - \sqrt{15}; \cot α = \frac{1}{\tan α} = - \frac{1}{\sqrt{15}}$

Ta có $\cos^{2} α + \sin^{2} α = 1$

mà $\cos α = - \frac{2}{3}$ nên $\sin^{2} α + {(\frac{- 2}{3})}^{2} = 1 \Rightarrow \sin^{2} α = \frac{5}{9}$

Lại có $- π < α < 0$ nên $\sin α < 0 \Rightarrow \sin α = - \frac{\sqrt{5}}{3}$

Khi đó $\tan α = \frac{\sin α}{c o s α} = \frac{\sqrt{5}}{2}; \cot α = \frac{1}{\tan α} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

Ta có $\tan α = 3$ nên

$\cot α = \frac{1}{\tan α} = \frac{1}{3}$

$\frac{1}{\cos^{2} α} = 1 + \tan^{2} α = 1 + 3^{2} = 10 \Rightarrow \cos^{2} α = \frac{1}{10}$

Mà $\cos^{2} α + \sin^{2} α = 1 \Rightarrow \sin^{2} α = \frac{9}{10}$

Với $- π < α < 0$ thì $\sin α < 0 \Rightarrow \sin α = - \sqrt{\frac{9}{10}}$

Với $- π < α < - \frac{π}{2}$ thì $\cos α < 0 \Rightarrow \cos α = - \sqrt{\frac{1}{10}}$

và $- \frac{π}{2} \leq α < 0$ thì $\cos α > 0 \Rightarrow \cos α = \sqrt{\frac{1}{10}}$

Ta có $\cot α = - 2$ nên

$\tan α = \frac{1}{\cot α} = - \frac{1}{2}$

$\frac{1}{\sin^{2} α} = 1 + c o t^{2} α = 1 + (- 2)^{2} = 5 \Rightarrow \sin^{2} α = \frac{1}{5}$

Mà $\cos^{2} α + \sin^{2} α = 1 \Rightarrow \cos^{2} α = \frac{4}{5}$

Với $0 < α < π$ thì $\sin α > 0 \Rightarrow \sin α = \sqrt{\frac{1}{5}}$

Với $0 < α < \frac{π}{2}$ thì $\cos α > 0 \Rightarrow \cos α = \sqrt{\frac{4}{5}}$

và $\frac{π}{2} \leq α < π$ thì $\cos α < 0 \Rightarrow \cos α = - \sqrt{\frac{4}{5}}$

Bài 5 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính

a) $A = \sin^{2} 5^{\circ} + \sin^{2} 10^{\circ} + \sin^{2} 15^{\circ} + . . . + \sin^{2} 85^{\circ}$ (17 số hạng)

b) $B = \cos 5^{\circ} + \cos 10^{\circ} + \cos 15^{\circ} + . . . + \cos 175^{\circ}$ (35 số hạng)

Lời giải:

$A = \sin^{2} 5^{\circ} + \sin^{2} 10^{\circ} + \sin^{2} 15^{\circ} + . . . + \sin^{2} 85^{\circ} = (\sin^{2} 5^{\circ} + \sin^{2} 85^{\circ}) + (\sin^{2} 15^{\circ} + \sin^{2} 75^{\circ}) + . . . + (\sin^{2} 35^{\circ} + \sin^{2} 55^{\circ}) + \sin^{2} 45^{\circ} = (\sin^{2} 5^{\circ} + \cos^{2} 5^{\circ}) + (\sin^{2} 15^{\circ} + \cos^{2} 15^{\circ}) + . . . + (\sin^{2} 35^{\circ} + \cos^{2} 35^{\circ}) + \sin^{2} 45^{\circ} = 1 + 1 + . . . + 1 + \frac{1}{2} = \frac{17}{2}$

$B = \cos 5^{\circ} + \cos 10^{\circ} + \cos 15^{\circ} + . . . + \cos 175^{\circ} = (\cos 5^{\circ} + \cos 175^{\circ}) + (\cos 10^{\circ} + \cos 170^{\circ}) + . . . + (\cos 85^{\circ} + \cos 95^{\circ}) + \cos 90^{\circ} = 0 + 0 + . . . . + 0 + 0 = 0$