Toán 7 Bài 9 (Kết nối tri thức): Hai đường thẳng song song và dấu hiệu nhận biết

Mở đầu trang 46 Toán 7 Tập 1: Để kiểm tra các thanh ngang trên mái nhà đã song song với nhau chưa, người thợ chỉ cần kiểm tra chúng có cùng vuông góc với một thanh dọc. Vì sao lại như vậy, chúng ta cùng tìm hiểu qua bài học này.

Lời giải:

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Giả sử các thanh ngang trên mái nhà được mô tả bởi các đường thẳng a, b, c,… như hình vẽ trên.

Vì $a\perp d,b\perp d$ nên a // b (hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau).

Vì $a\perp d,c\perp d$ nên a // c (hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau).

Do đó các đường thẳng a, b, c song song với nhau.

Vậy để kiểm tra các thanh ngang trên mái nhà đã song song với nhau chưa, người thợ chỉ cần kiểm tra chúng có cùng vuông góc với một thanh dọc.

1. Các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng

Giải Toán 7 trang 46 Tập 1

Câu hỏi trang 46 Toán 7 Tập 1: Cho đường thẳng mn cắt hai đường thẳng xy và uv lần lượt tại hai điểm P và Q (H.3.17). Em hãy kể tên:

a) Hai cặp góc so le trong;

b) Bốn cặp góc đồng vị.

Lời giải:

a) Hai cặp góc so le trong trên Hình 3.17 là: góc xPn và mQv; góc yPn và uQm.

b) Bốn cặp góc đồng vị trên Hình 3.17 là: góc xPn và uQn; góc xPm và góc uQm; góc mPy và góc mQv; góc yPn và góc vQn.

Giải Toán 7 trang 47 Tập 1

HĐ 1 trang 47 Toán 7 Tập 1: Trên Hình 3.18, cho biết hai góc so le trong A₁ và B₃ bằng nhau và bằng 60^o.

Hãy tính và so sánh hai góc so le trong còn lại A₂ và B_4.

Lời giải:

+) Trên Hình 3.18 ta có góc A₁ và góc A₂ là hai góc kề bù nên $\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=180°$ (tính chất hai góc kề bù).

Suy ra $\widehat{A_2}=180°-\widehat{A_1}$

Mà $\widehat{A_1}=60°,$ do đó $\widehat{A_2}=180°-60°$

$\widehat{A_2}=120°$

+) Góc B₃ và góc B₄ là hai góc kề bù nên ta có $\widehat{B_3}+\widehat{B_4}={180}^0$ (tính chất hai góc kề bù).

Suy ra $\widehat{B_4}=180°-\widehat{B_3}$

Mà $\widehat{B_3}=60°,$ do đó $\widehat{B_4}=180°-60°$

$\widehat{B_4}=120°$

Vì $\widehat{A_2}=120°$ và $\widehat{B_4}=120°$nên $\widehat{A_2}=\widehat{B_4}\left(=120°\right).$

Vậy $\widehat{A_2}=\widehat{B_4}.$

HĐ 2 trang 47 Toán 7 Tập 1: Trên Hình 3.18, cho biết hai góc so le trong A₁ và B₃ bằng nhau và bằng 60^o.

Chọn hai góc đồng vị rồi tính và so sánh hai góc đó.

Lời giải:

Trên Hình 3.18 ta có hai góc đồng vị là: góc A₁ và góc B₁.

Góc B₁ và góc B₃ là hai góc đối đỉnh nên ta có $\widehat{B_1}=\widehat{B_3}$ (tính chất hai góc đối đỉnh).

Mà $\widehat{B_3}=60°$ nên $\widehat{B_1}=60°.$

Theo bài ta lại có $\widehat{A_1}=60°.$

Do đó $\widehat{A_1}=\widehat{B_1}\left(=60°\right).$

Vậy hai góc A₁ và góc B₁ đồng vị với nhau và $\widehat{A_1}=\widehat{B_1}.$

Luyện tập 1 trang 47 Toán 7 Tập 1: Quan sát Hình 3.19

a) Biết $\widehat{A_2}=40°,\widehat{B_4}=40°.$ Em hãy tính số đo các góc còn lại.

b) Các cặp góc A₁ và B₄; A₂ và B₃ được gọi là các cặp góc trong cùng phía. Tính các tổng: $\widehat{A_1}+\widehat{B_4};\widehat{A_2}+\widehat{B_3}.$

Lời giải:

a) +) Tại đỉnh A:

- Góc A₁ kề bù với góc A₂ nên ta có $\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=180°$ (tính chất hai góc kề bù).

Suy ra $\widehat{A_1}=180°-\widehat{A_2}$

Mà $\widehat{A_2}=40°$, do đó $\widehat{A_1}=180°-40°$

$\widehat{A_1}=140°$

- Góc A₂ và góc A₄ là hai góc đối đỉnh nên ta có $\widehat{A_4}=\widehat{A_2}$ (tính chất hai góc đối đỉnh).

Mà $\widehat{A_2}=40°$ nên $\widehat{A_4}=40°.$

- Góc A₁ và góc A₃ là hai góc đối đỉnh nên ta có $\widehat{A_3}=\widehat{A_1}$ (tính chất hai góc đối đỉnh).

Mà $\widehat{A_1}=140°$ nên $\widehat{A_3}=140°.$

+) Tại đỉnh B:

- Góc B₃ kề bù với góc B₄ nên ta có $\widehat{B_3}+\widehat{B_4}=180°$ (tính chất hai góc kề bù).

Suy ra $\widehat{B_3}=180°-\widehat{B_4}$

Mà $\widehat{B_4}=40°,$ do đó $\widehat{B_3}=180°-40°$

$\widehat{B_3}=140°$

- Góc B₁ và góc B₃ là hai góc đối đỉnh nên ta có $\widehat{B_1}=\widehat{B_3}$ (tính chất hai góc đối đỉnh).

Mà $\widehat{B_3}=140°$ nên $\widehat{B_1}=140°.$

- Góc B₂ và góc B₄ là hai góc đối đỉnh nên ta có $\widehat{B_2}=\widehat{B_4}$ (tính chất hai góc đối đỉnh).

Mà $\widehat{B_4}=40°$ nên $\widehat{B_2}=40°.$

b) Ta có $\widehat{A_1}+\widehat{B_4}=140°+40°=180°.$

$\widehat{A_2}+\widehat{B_3}=40°+140°=180°.$

2. Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song

Giải Toán 7 trang 48 Tập 1

Luyện tập 2 trang 48 Toán 7 Tập 1:

1. Quan sát Hình 3.22 và giải thích vì sao AB // DC.

2. Tìm trên Hình 3.23 hai đường thẳng song song với nhau và giải thích vì sao chúng song song.

Lời giải:

1.

Quan sát Hình 3.22 ta có $\widehat{xAB}=60°;\widehat{ADC}=60°.$

Do đó $\widehat{xAB}=\widehat{ADC}=60°.$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.

Suy ra AB // DC (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

2.

Quan sát Hình 3.23 ta có $\widehat{yH{z}^{\text{'}}}=90°;\widehat{y^{\text{'}}Kz}=90°.$

Vì $\widehat{yH{z}^{\text{'}}}$ và $\widehat{z^{\text{'}}Hx}$ là hai góc kề bù nên ta có $\widehat{yH{z}^{\text{'}}}+\widehat{z^{\text{'}}Hx}=180°$ (tính chất hai góc kề bù).

Suy ra $\widehat{z^{\text{'}}Hx}=180°-\widehat{yH{z}^{\text{'}}}$

$\widehat{z^{\text{'}}Hx}=180°-90°$

$\widehat{z^{\text{'}}Hx}=90°$

Do đó $\widehat{z^{\text{'}}Hx}=\widehat{y^{\text{'}}Kz}=90°$

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên xy // $x^{\text{'}}{y}^{\text{'}}$ (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

Thực hành 1 trang 48 Toán 7 Tập 1: Cho đường thẳng a và điểm A nằm ngoài đường thẳng a. Để vẽ đường thẳng b đi qua A và song song với a, ta có thể sử dụng góc nhọn 60^o của êke để vẽ như sau:

Tại sao khi vẽ như trên ta lại khẳng định được hai đường thẳng a và b song song với nhau?

Lời giải:

Theo cách vẽ trên thì ta được hình vẽ dưới đây với $\widehat{A_1}=60°;\widehat{B_1}=60°$ (góc A₁ và góc B₁ được vẽ bởi góc nhọn 60^o của êke):

Do đó $\widehat{A_1}=\widehat{B_1}=60°.$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên a // b (dấu hiệu nhận biết hai dường thẳng song song).

Giải Toán 7 trang 49 Tập 1

Bài tập

Bài 3.6 trang 49 Toán 7 Tập 1: Quan sát Hình 3.24.

a) Tìm một góc ở vị trí so le trong với góc MNB.

b) Tìm một góc ở vị trí đồng vị với góc ACB.

c) Kể tên một cặp góc trong cùng phía.

d) Biết MN // BC, em hãy kể tên ba cặp góc bằng nhau trong hình vẽ.

Lời giải:

a) Góc ở vị trí so le trong với góc MNB là góc NBC.

b) Góc ở vị trí đồng vị với góc ACB là góc ANM.

c) Một cặp góc trong cùng phía trong hình vẽ là: góc NMB và góc MBC.

d) Ta có MN // BC nên ta có ba cặp góc bằng nhau là:

+) Góc MNB và góc NBC (hai góc ở vị trí so le trong);

+) Góc ACB và góc ANM (hai góc ở vị trí đồng vị);

+) Góc AMN và góc ABC (hai góc ở vị trí đồng vị).

Bài 3.7 trang 49 Toán 7 Tập 1: Quan sát Hình 3.25. Biết $\widehat{\text{MEF}}=40°,\widehat{EMN}=40°.$ Em hãy giải thích tại sao $\text{EF // NM.}$

Lời giải:

Trên Hình 3.25 ta có $\widehat{\text{MEF}}=40°,\widehat{EMN}=40°$ nên $\widehat{\text{MEF}}=\widehat{EMN}\left(=40°\right).$

Mà hai góc này ở vị trí so le trong.

Do đó EF // NM (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

Bài 3.8 trang 49 Toán 7 Tập 1: Quan sát Hình 3.26, giải thích tại sao AB // DC.

Lời giải:

Trên Hình 3.26 ta có AB vuông góc với AD, DC vuông góc với AD

Do đó đường thẳng AB và đường thẳng DC cùng vuông góc với AD nên AB // DC (hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau).

Bài 3.9 trang 49 Toán 7 Tập 1: Cho điểm A và đường thẳng d không đi qua A. Hãy vẽ đường thẳng d' đi qua A và song song với d.

Lời giải:

Bước 1: Vẽ đường thẳng d và lấy điểm A không nằm trên đường thẳng d.

Bước 2: Vẽ đường thẳng a đi qua A và vuông góc với đường thẳng d (sử dụng góc vuông của thước êke).

Bước 3: Vẽ đường thẳng d' đi qua A và vuông góc với đường thẳng a (sử dụng góc vuông của thước êke).

Khi đó đường thẳng d' song song với đường thẳng d.

* Giải thích:

Theo hình vẽ trên ta có $d\perp a;d^{\text{'}}\perp a$ nên d' // d (hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau).

Bài 3.10 trang 49 Toán 7 Tập 1: Cho hai điểm A và B. Hãy vẽ đường thẳng a đi qua A và đường thẳng b đi qua B sao cho a song song với b.

Lời giải:

Bước 1: Lấy hai điểm A và B tuỳ ý.

Bước 2: Vẽ đường thẳng a đi qua A.

Bước 3: Vẽ đường thẳng d đi qua A và vuông góc với đường thẳng a (sử dụng góc vuông của thước êke).

Bước 4: Vẽ đường thẳng b đi qua B và vuông góc với đường thẳng d (sử dụng góc vuông của thước êke).

Khi đó a // b.

* Giải thích:

Theo hình vẽ trên ta có $a\perp d,b\perp d$ suy ra a // b (hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau).

Bài 3.11 trang 49 Toán 7 Tập 1: Hãy vẽ hai đoạn thẳng AB và MN sao cho AB // MN và AB = MN.

Lời giải:

Bước 1: Vẽ đoạn thẳng AB tuỳ ý.

Bước 2. Vẽ đường thẳng d đi qua A và vuông góc với AB (sử dụng góc vuông của thước êke).

Bước 3: Lấy điểm M trên đường thẳng d.

Bước 4: Vẽ đường thẳng d' đi qua M và vuông góc với đường thẳng d (sử dụng góc vuông của thước êke).

Buớc 5: Trên đường thẳng d' lấy điểm N sao cho MN = AB.

Khi đó AB // MN và AB = MN.

* Giải thích:

Theo hình trên ta có $d^{\text{'}}\perp d$ mà điểm M và điểm N nằm trên d' nên $MN\perp d.$

Do $AB\perp d,MN\perp d$ nên AB // MN (hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau).

Lý thuyết Toán 7 Bài 9. Hai đường thẳng song song và dấu hiệu nhận biết - Kết nối tri thức

1. Các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng

• Cho đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b lần lượt tại A và B tạo thành bốn góc đỉnh A và bốn góc đỉnh B. Khi đó ta có:

+ Các cặp góc so le trong là: A₃ và B₁; A₄ và B₂.

+ Các cặp góc đồng vị là: A₁ và B₁; A₂ và B₂; A₃ và B₃; A₄ và B₄.

+ Các cặp góc trong cùng phía là: A₄ và B₁; A₃ và B₂.

• Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng phân biệt a, b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì:

+ Hai góc so le trong còn lại bằng nhau.

+ Hai góc đồng vị bằng nhau.

Ví dụ:

+ Cho đường thẳng c cắt hai đường thẳng phân biệt a, b lần lượt tại A và B.

Ta có $\widehat{{\mathrm{A}}_4};\widehat{{\mathrm{B}}_2}$ là cặp góc so le trong

Nếu $\widehat{{\mathrm{A}}_4}=\widehat{{\mathrm{B}}_2}$ thì cặp góc so le trong còn lại và các cặp góc đồng vị bằng nhau:

$\left\{\begin{array}{l}\widehat{{\mathrm{A}}_3}=\widehat{{\mathrm{B}}_1}\\ \widehat{{\mathrm{A}}_1}=\widehat{{\mathrm{B}}_1};\widehat{{\mathrm{A}}_2}=\widehat{{\mathrm{B}}_2};\widehat{{\mathrm{A}}_3}=\widehat{{\mathrm{B}}_3};\widehat{{\mathrm{A}}_4}=\widehat{{\mathrm{B}}_4}\end{array}\right.$

2. Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song

• Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng phân biệt a, b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau thì a và b song song với nhau. Kí hiệu là: $\mathrm{a}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{b}$.

• Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

Ví dụ:

+ Cho hình vẽ:

Ta có: $\widehat{{\mathrm{A}}_1}=\widehat{{\mathrm{B}}_1}=60°$. Mà hai góc ở vị trí so le trong.

Do đó: $\mathrm{a}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{b}$ (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

+ Cho hình vẽ:

Ta có: $\widehat{{\mathrm{A}}_1}=\widehat{{\mathrm{B}}_1}=60°$. Mà hai góc ở vị trí đồng vị.

Do đó: $\mathrm{a}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{b}$ (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

+ Cho hình vẽ:

Ta có: $\mathrm{a}\perp \mathrm{c}$ và $\mathrm{b}\perp \mathrm{c}$

Do đó: $\mathrm{a}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{b}$.

Chú ý:

+ Muốn vẽ đường thẳng đi qua một điểm và song song với một đường thẳng cho trước bằng góc 60° của êke ta làm như sau:

+ Tương tự ta có thể dùng góc vuông hoặc góc 30° của êke (thay cho góc 60°) để vẽ đường thẳng đi qua một điểm và song song với đường thẳng cho trước.