Toán 7 (Kết nối tri thức): Luyện tập chung trang 58

Bài 3.27 trang 58 Toán 7 Tập 1: Cho hình thang ABCD có cạnh AD vuông góc với hai đáy AB và CD. Số đo góc ở đỉnh B gấp đôi số đo góc ở đỉnh C. Tính số đo các góc của hình thang đó.

Lời giải:

GT	ABCD là hình thang có hai đáy AB và CD; $AD\perp AB,AD\perp CD;$ $\widehat{ABC}=2\widehat{BCD}.$
KL	Tính số đo của các góc $\widehat{ABC},\widehat{BCD},\widehat{CDA},\widehat{DAB}.$

Chứng minh (Hình vẽ trên):

ABCD là hình thang có hai đáy là AB và CD nên AB // CD.

Vì $AD\perp AB$ tại A nên ta có $\widehat{DAB}=90°.$ 

Vì $AD\perp CD$ tại D nên ta có  $\widehat{CDA}=90°.$

Vẽ tia Cx là tia đối của tia CD.

Mà AB // CD nên AB // Cx.

Từ đó suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{BCx}$ (hai góc so le trong).

Do CD và Cx là hai tia đối nhau nên $\widehat{BCD}$ và $\widehat{BCx}$ là hai góc kề bù hay $\widehat{BCD}+\widehat{BCx}=180°$ (tính chất hai góc kề bù).

Suy ra $\widehat{BCD}+\widehat{ABC}=180°$.

Mà $\widehat{ABC}=2\widehat{BCD}$ 

Nên $\widehat{BCD}+2\widehat{BCD}=180°$ 

$3\widehat{BCD}=180°$ 

$\widehat{BCD}=60°$ .

Suy ra $\widehat{ABC}=2\widehat{BCD}=2.60°=120°.$ 

Vậy $\widehat{ABC}=120°;\widehat{BCD}=60°;\widehat{CDA}=90°;\widehat{DAB}=90°.$ 

Bài 3.28 trang 58 Toán 7 Tập 1: Vẽ hình minh họa và viết giả thiết, kết luận của định lí: “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau”.

Lời giải:

Hình vẽ minh hoạ:

GT	a và b là hai đường thẳng phân biệt; $a\perp c,b\perp c,$  a cắt c tại A, b cắt c tại B.
KL	a // b.

Bài 3.29 trang 58 Toán 7 Tập 1: Kẻ các tia phân giác Ax, By của một cặp góc so le trong tạo bởi đường thẳng b vuông góc với hai đường thẳng song song c, d (H.3.48). Chứng minh rằng hai tia phân giác đó nằm trên hai đường thẳng song song.

Lời giải:

GT	c // d, $b\perp c,b\perp d;$  b cắt c tại A, b cắt d tại B; Tia Ax là tia phân giác của góc zAB, tia By là tia phân giác của góc ABd.
KL	Đường thẳng chứa Ax song song với đường thẳng chứa By.

Chứng minh (Hình vẽ trên):

Theo giả thiết $b\perp c$ tại A nên $\widehat{zAB}=90°.$

Do tia Ax là tia phân giác của góc zAB nên Ax nằm giữa hai tia Az và AB; $\widehat{zAx}=\widehat{xAB}=\frac{1}{2}\widehat{zAB}$ (tính chất tia phân giác của một góc).

Mà $\widehat{zAB}=90°$ nên $\widehat{zAx}=\widehat{xAB}=\frac{1}{2}\widehat{zAB}=\frac{1}{2}.90°=45°.\left(1\right)$

Theo giả thiết $b\perp d$ tại B nên $\widehat{ABd}=90°.$

Do tia By là tia phân giác của góc ABd nên tia By nằm giữa hai tia BA và Bd; $\widehat{ABy}=\widehat{yBd}=\frac{1}{2}\widehat{ABd}$ (tính chất tia phân giác của một góc).

Mà $\widehat{ABd}=90°$ nên $\widehat{ABy}=\widehat{yBd}=\frac{1}{2}\widehat{ABd}=\frac{1}{2}.90°=45°.\left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có $\widehat{xAB}=\widehat{ABy}\left(=45°\right).$ 

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên Ax // By (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

Suy ra đường thẳng chứa tia Ax song song với đường thẳng chứa tia By.

Vậy đường thẳng chứa tia Ax song song với đường thẳng chứa tia By. 

Bài 3.30 trang 58 Toán 7 Tập 1: Cho hai đường thẳng phân biệt a, b cùng vuông góc với đường thẳng c; d là một đường thẳng khác c và d vuông góc với a. Chứng minh rằng:

a) a // b;

b) c // d;

c) $b\perp \text{d}.$

Lời giải:

GT	$a\perp c,b\perp c$, a cắt c tại A, b cắt c tại B; $d\ne c,d\perp a,$ d cắt a tại D.
KL	a) a // b;      b) c // d;      c) $b\perp \text{d}.$

Chứng minh (Hình vẽ trên):

a) Theo giả thiết $a\perp c$ tại A nên $\widehat{cAa}=90°$; $c\perp b$ tại B nên $\widehat{cBb}=90°.$

Do đó $\widehat{\text{cAa}}=\widehat{cBb}\left(=90°\right).$ 

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên a // b (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

Vậy a // b.

b) Theo giả thiết $d\perp a$ tại D nên $\widehat{\text{dD}a}=90°.$

Mà $\widehat{cAa}=90°$ (chứng minh ở câu a).

Do đó $\widehat{\text{cAa}}=\widehat{\text{dD}a}\left(=90°\right).$ 

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên c // d (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

Vậy c // d.

c) Theo giả thiết $c\perp b$, mà c // d (chứng minh ở câu b).

Suy ra $d\perp b$ (một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia). 

Vậy $b\perp d.$

Bài 3.31 trang 58 Toán 7 Tập 1: Cho Hình 3.49. Chứng minh rằng:

 a) d // BC;

b) $d\perp AH;$

c) Trong các kết luận trên, kết luận nào được suy ra từ tính chất của hai đường thẳng song song, kết luận nào được suy ra từ dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song?

Lời giải:

GT	$\widehat{dAC}=50°;\widehat{ACB}=50°;AH\perp BC.$
KL	a) d // BC;   b) $d\perp AH;$  c) Trong các kết luận trên, kết luận nào được suy ra từ tính chất của hai đường thẳng song song, kết luận nào được suy ra từ dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song?

Chứng minh (Hình vẽ trên):

a) Theo giả thiết ta có $\widehat{dAC}=50°;\widehat{ACB}=50°$ suy ra $\widehat{dAC}=\widehat{ACB}\left(=50°\right).$

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên d // BC (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

Vậy d // BC.

b) Ta có $AH\perp BC$ (theo giả thiết), mà d // BC (chứng minh ở câu a).

Suy ra $d\perp AH$ (một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia). 

Vậy $d\perp AH$

c) Kết luận ở câu a được suy ta từ dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.

Kết luận ở câu b được suy ra từ tính chất hai đường thẳng song song.