Giải Toán 7 Bài 26 (Kết nối tri thức): Phép cộng và phép trừ đa thức một biến

Giải bài tập Toán 7 Bài 26: Phép cộng và phép trừ đa thức một biến

A. Các câu hỏi trong bài

Giải Toán 7 trang 32 Tập 2

Câu hỏi trang 32 Toán 7 Tập 2:

Tìm tổng của hai đa thức: x³ - 5x + 2 và x³ - x² + 6x - 4.

Lời giải:

Ta có:

(x³ - 5x + 2) + (x³ - x² + 6x - 4)

= x³ - 5x + 2 + x³ - x² + 6x - 4

= (x³ + x³) - x² + (- 5x + 6x) + (2 - 4)

= 2x³ - x² + x + (-2)

= 2x³ - x² + x - 2.

Luyện tập 1 trang 32 Toán 7 Tập 2:

Cho hai đa thức M = 0,5x⁴ - 4x³ + 2x - 2,5 và N = 2x³ + x² + 1,5.

Hãy tính tổng M + N (trình bày theo hai cách).

Lời giải:

Cách 1. Đặt tính cộng:

Cách 2. Bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các hạng tử cùng bậc:

M + N = (0,5x⁴ – 4x³ + 2x – 2,5) + (2x³ + x² + 1,5)

= 0,5x⁴ – 4x³ + 2x – 2,5 + 2x³ + x² + 1,5

= 0,5x⁴ + (– 4x³ + 2x³) + x² + 2x + (– 2,5 + 1,5)

= 0,5x⁴ + (– 2x³) + x² + 2x + (–1)

= 0,5x⁴ – 2x³ + x² + 2x – 1.

Vậy M + N = 0,5x⁴ - 2x³ + x² + 2x - 1.

Vận dụng 1 trang 32 Toán 7 Tập 2:

Đặt tính cộng để tìm tổng của ba đa thức sau:

A = 2x³ - 5x² + x - 7;

B = x² - 2x + 6;

C = -x³ + 4x² - 1.

Lời giải:

Ta có: A + B + C = (A + B) + C

Đặt tính A + B như sau:

Đặt tính (A + B) + C như sau:

Vậy A + B + C = x³ - x - 2.

HĐ 1 trang 32 Toán 7 Tập 2:

Cho hai đa thức P = x⁴ + 3x³ - 5x² + 7x và Q = -x³ + 4x² - 2x + 1.

Đối với phép trừ: P - Q = (x⁴ + 3x³ - 5x² + 7x) - (-x³ + 4x² - 2x + 1), ta cũng có hai cách trình bày, tương tự như phép cộng hai đa thức.

Tìm hiệu P - Q bằng cách bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các hạng tử cùng bậc và thu gọn.

Lời giải:

P – Q = (x⁴ + 3x³ – 5x² + 7x) – (–x³ + 4x² – 2x + 1)

= x⁴ + 3x³ – 5x² + 7x + x³ – 4x² + 2x – 1

= x⁴ + (3x³ + x³) + (– 5x² – 4x²) + (7x + 2x) – 1

= x⁴ + 4x³ + (– 9x²) + 9x – 1

= x⁴+ 4x³ – 9x² + 9x – 1.

Vậy P – Q = x⁴ + 4x³ – 9x² + 9x – 1.

HĐ 2 trang 32 Toán 7 Tập 2:

Cho hai đa thức P = x⁴ + 3x³ - 5x² + 7x và Q = -x³ + 4x² - 2x + 1.

Đối với phép trừ: P - Q = (x⁴ + 3x³ - 5x² + 7x) - (-x³ + 4x² - 2x + 1), ta cũng có hai cách trình bày, tương tự như phép cộng hai đa thức.

Tìm hiệu P - Q bằng cách đặt tính trừ: đặt đa thức Q dưới đa thức P sao cho các hạng tử cùng bậc thẳng cột với nhau rồi trừ theo từng cột.

Lời giải:

Đặt tính trừ P - Q như sau:

Vậy P – Q = x⁴ + 4x³ – 9x² + 9x – 1.

Luyện tập 2 trang 32 Toán 7 Tập 2:

Cho hai đa thức:

M = 0,5x⁴ - 4x³ + 2x - 2,5 và N = 2x³ + x² + 1,5.

Hãy tính hiệu M - N (trình bày theo hai cách).

Lời giải:

Cách 1. Đặt tính trừ:

Cách 2. Bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các hạng tử cùng bậc và thu gọn.

M - N = (0,5x⁴ - 4x³ + 2x - 2,5) - (2x³ + x² + 1,5)

= 0,5x⁴ - 4x³ + 2x - 2,5 - 2x³ - x² - 1,5

= 0,5x⁴ + (-4x³ - 2x³) - x² + 2x + (-2,5 - 1,5)

= 0,5x⁴ + (-6x³) - x² + 2x + (-4)

= 0,5x⁴ - 6x³ - x² + 2x - 4

Vậy M - N = 0,5x⁴ - 6x³ - x² + 2x - 4.

Giải Toán 7 trang 33 Tập 2

Vận dụng 2 trang 33 Toán 7 Tập 2:

Cho đa thức A = x⁴ - 3x² - 2x + 1. Tìm các đa thức B và C sao cho:

A + B = 2x⁵ + 5x³ - 2;

A - C = x³.

Lời giải:

Do A + B = 2x⁵ + 5x³ - 2 nên B = 2x⁵ + 5x³ - 2 - A

B = 2x⁵ + 5x³ - 2 - (x⁴ - 3x² - 2x + 1)

= 2x⁵ + 5x³ - 2 - x⁴ + 3x² + 2x - 1

= 2x⁵ - x⁴ + 5x³ + 3x² + 2x + (-2 - 1)

= 2x⁵ - x⁴ + 5x³ + 3x² + 2x + (-3)

= 2x⁵ - x⁴ + 5x³ + 3x² + 2x -3

Do A - C = x³ nên C = A - x³

C = x⁴ - 3x² - 2x + 1 - x³

= x⁴ - x³ - 3x² - 2x + 1

Vậy B = 2x⁵ - x⁴ + 5x³ + 3x² + 2x -3 và C = x⁴ - x³ - 3x² - 2x + 1.

B. Bài tập

Bài 7.12 trang 33 Toán 7 Tập 2:

Tìm tổng của hai đa thức sau bằng cách nhóm các hạng tử cùng bậc:

x² - 3x + 2 và 4x³ - x² + x - 1.

Lời giải:

Ta có tổng của hai đa thức trên là:

(x² - 3x + 2) + (4x³ - x² + x - 1)

= x² - 3x + 2 + 4x³ - x² + x - 1

= 4x³ + (x² - x²) + (-3x + x) + (2 - 1)

= 4x³ + (-2x) + 1

= 4x³ - 2x + 1.

Bài 7.13 trang 33 Toán 7 Tập 2:

Tìm hiệu sau theo cách đặt tính trừ: (-x³ - 5x + 2) - (3x + 8).

Lời giải:

Đặt tính trừ như sau:

Vậy (-x³ - 5x + 2) - (3x + 8) = - x³ - 8x - 6.

Bài 7.14 trang 33 Toán 7 Tập 2:

Cho hai đa thức A = 6x⁴ - 4x³ + x - $\frac{1}{3}$ và B = -3x⁴ - 2x³ - 5x² + x + $\frac{2}{3}.$

Tính A + B và A - B.

Lời giải:

Đặt tính cộng A + B như sau:

Đặt tính trừ A – B như sau:

Vậy A + B = 3x⁴ - 6x³ - 5x² + 2x + $\frac{1}{3}$ và A - B = 9x⁴ - 2x³ + 5x² - 1.

Bài 7.15 trang 33 Toán 7 Tập 2:

Cho các đa thức A = 3x⁴ - 2x³ - x + 1; B = -2x³ + 4x² + 5x và C = -3x⁴ + 2x² + 5.

Tính A + B + C; A - B + C và A - B - C.

Lời giải:

Đặt tính A + B + C như sau:

Đặt tính A – B như sau:

Do đó A – B = 3x⁴ – 4x² – 6x + 1.

Ta có A – B + C = (A – B) + C, ta đặt tính (A – B) + C như sau:

Ta có A – B – C = (A – B) – C, ta đặt tính (A – B) – C như sau:

Vậy A + B + C = -4x³ + 6x² + 4x + 6;

A - B + C = -2x² - 6x + 6;

A - B - C = 6x⁴ - 6x² - 6x - 4.

Bài 7.16 trang 33 Toán 7 Tập 2:

Bạn Nam được phân công mua một số sách làm quà tặng trong buổi tổng kết cuối năm học của lớp. Nam dự định mua ba loại sách với giá bán như bảng sau. Giả sử Nam cần mua x cuốn sách khoa học, x + 8 cuốn sách tham khảo và x + 5 cuốn truyện tranh.

a) Viết các đa thức biểu thị số tiền Nam phải trả cho từng loại sách.

b) Tìm đa thức biểu thị tổng số tiền Nam phải trả để mua số sách đó.

Lời giải:

a) Vì một cuốn sách khoa học giá 21 500 đồng nên số tiền Nam phải trả để mua x cuốn sách khoa học là 21 500x (đồng).

Vì một cuốn sách tham khảo giá 12 500 đồng nên số tiền Nam phải trả để mua x + 8 cuốn sách tham khảo là 12 500(x + 8) (đồng).

Vì một cuốn truyện tranh giá 15 000 đồng nên số tiền Nam phải trả để mua x + 5 cuốn truyện tranh là 15 000(x + 5) (đồng).

b) Tổng số tiền Nam phải trả để mua số sách đó là:

21 500x + 12 500(x + 8) + 15 000(x + 5)

= 21 500x + 12 500x + 12 500 . 8 + 15 000x + 15 000 . 5

= (21 500x + 12 500x + 15 000x) + 100 000 + 75 000

= 49 000x + 175 000 (đồng).

Vậy đa thức biểu thị tổng số tiền Nam phải trả là 49 000x + 175 000 (đồng).

Bài 7.17 trang 33 Toán 7 Tập 2:

Trên một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 65 m, người ta định làm một bể bơi có chiều rộng là x mét, chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Sơ đồ và kích thước cụ thể (tính bằng mét) được cho trong Hình 7.1. Tìm đa thức (biến x):

a) Biểu thị diện tích của bể bơi.

b) Biểu thị diện tích mảnh đất.

c) Biểu thị diện tích phần đất xung quanh bể bơi.

Lời giải:

a) Chiều rộng của bể bơi là x (m);

Do chiều dài gấp 3 lần chiều rộng nên chiều dài của bể bơi là 3x (m).

Diện tích của bể bơi là 3x . x = 3x² (m²).

b) Chiều rộng của mảnh đất là: 4 + x + 5 = x + 9 (m).

Diện tích mảnh đất là: 65(x + 9) (m²).

c) Diện tích phần đất xung quanh bể bơi bằng diện tích mảnh đất trừ đi diện tích bể bơi.

Diện tích phần đất xung quanh bể bơi là:

65(x + 9) - 3x² = 65x + 65 . 9 - 3x² = -3x² + 65x + 585 (m²).

Lý thuyết Toán 7 Bài 26: Phép cộng và phép trừ đa thức một biến - Kết nối tri thức

1. Cộng hai đa thức một biến

• Cách 1: Viết hai đa thức trong dấu ngoặc rồi nối chúng bởi dấu “+”. Sau đó bỏ ngoặc rồi nhóm các hạng tử cùng bậc và thu gọn.

• Cách 2: Đặt tính cộng sao cho các hạng tử cùng bậc của hai đa thức thì thẳng cột với nhau rồi cộng theo từng cột. Nếu đa thức khuyết một hạng tử bậc nào đó thì ta để một khoảng trống ứng với hạng tử đó.

Ví dụ:

+ Cho hai đa thức A(x) = x⁴ + 2x³ – x² + 9x – 3; B(x) = – x⁴ + 5x² – 3x + 1

Muốn tính tổng hai đa thức A(x) và B(x) ta làm như sau:

Cách 1:

A(x) + B(x)

= (x⁴ + 2x³ – x² + 9x – 3) + (– x⁴ + 5x² – 3x + 1) ⟵ Viết hai đa thức trong dấu ngoặc

= x⁴ + 2x³ – x² + 9x – 3 – x⁴ + 5x² – 3x + 1 ⟵ Bỏ dấu ngoặc

= (x⁴ – x⁴) + 2x³ + (– x² + 5x²) + (9x – 3x) – (3 – 1) ⟵ Nhóm các hạng tử cùng bậc

= 2x³ + 4x² + 6x – 2

Vậy A(x) + B(x) = 2x³ + 4x² + 6x – 2.

Cách 2: Đặt tính. Ta thấy đa thức B(x) bị khuyết hạng tử bậc 3 nên ta để khoảng trống ứng với hạng tử này khi đặt tính.

Chú ý: Phép cộng đa thức cũng có tính chất như phép cộng số thực. Cụ thể là:

+ Tính chất giao hoán: A + B = B + A;

+ Tính chất kết hợp: (A + B) + C = A + (B + C);

+ Cộng với đa thức không: A + 0 = 0 + A = A.

2. Trừ hai đa thức một biến

• Cách 1: Viết hai đa thức trong dấu ngoặc rồi nối chúng bởi dấu “–”. Sau đó bỏ ngoặc rồi nhóm các hạng tử cùng bậc và thu gọn.

• Cách 2: Đặt tính trừ sao cho các hạng tử cùng bậc của hai đa thức thì thẳng cột với nhau rồi trừ theo từng cột. Nếu đa thức khuyết một hạng tử bậc nào đó thì ta để một khoảng trống ứng với hạng tử đó.

Ví dụ:

+ Cho hai đa thức A(x) = x⁴ + 2x³ – x² + 9x – 3; B(x) = – x⁴ + 5x² – 3x + 1

Muốn tính hiệu A(x) – B(x) ta làm như sau:

Cách 1:

A(x) – B(x)

= (x⁴ + 2x³ – x² + 9x – 3) – (– x⁴ + 5x² – 3x + 1) ⟵ Viết hai đa thức trong dấu ngoặc

= x⁴ + 2x³ – x² + 9x – 3 + x⁴ – 5x² + 3x – 1 ⟵ Bỏ dấu ngoặc

= (x⁴ + x⁴) + 2x³ – (x² + 5x²) + (9x + 3x) – (3 + 1) ⟵ Nhóm các hạng tử cùng bậc

= 2x⁴ + 2x³ – 6x² + 12x – 4

Vậy A(x) – B(x) = 2x⁴ + 2x³ – 6x² + 12x – 4.

Cách 2:

Chú ý: Tương tự như các số, với các đa thức P, Q và R, ta cũng có:

- Nếu Q + R = P thì R = P – Q.

- Nếu R = P – Q thì Q + R = P.

Xem thêm các bài giải sách giáo khoa Toán 7 bộ sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Luyện tập chung trang 35

Bài 27: Phép nhân đa thức một biến

Bài 28: Phép chia đa thức một biến

Luyện tập chung trang 45

Bài tập cuối chương 7