Giải Toán 7 (Kết nối tri thức): Bài tập cuối chương 9

Giải bài tập Toán 7 : Bài tập cuối chương 9

Giải Toán 7 trang 84 Tập 2

Bài 9.36 trang 84 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác ABC có $\widehat{BAC}$ là một góc tù. Lấy điểm D nằm giữa A và B; lấy điểm E nằm giữa A và C (H.9.51). Chứng minh DE < BC.

Lời giải:

Xét $∆$ADE có $\widehat{B\text{D}E}$ là góc ngoài của đỉnh D nên $\widehat{B\text{D}E}=\widehat{DA\text{E}}+\widehat{DE\text{A}}>\widehat{DA\text{E}}$

Mà $\widehat{DAE}$ là góc tù nên $\widehat{B\text{D}E}$ là góc tù.

Xét $∆$BDE có $\widehat{B\text{D}E}$ là góc tù nên $\widehat{B\text{D}E}$ là góc lớn nhất trong tam giác.

Do đó, BE > DE (1)

Xét $∆$ABE có $\widehat{BEC}$ là góc ngoài của đỉnh E nên $\widehat{BEC}=\widehat{E\text{A}B}+\widehat{EBA}>\widehat{E\text{A}B}$

Mà $\widehat{DAE}$ là góc tù nên $\widehat{BEC}$ là góc tù.

Xét $∆$BEC có $\widehat{BEC}$ là góc tù nên $\widehat{BEC}$ là góc lớn nhất trong tam giác.

Do đó, BC > BE (2)

Từ (1) và (2) suy ra, BC > DE.

Vậy DE < BC.

Bài 9.37 trang 84 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác ABC (AB > AC). Trên đường thẳng chứa cạnh BC, lấy điểm D và điểm E sao cho B nằm giữa D và C, C nằm giữa B và E, BD = BA, CE = CA (H.9.52).

a) So sánh $\widehat{A\text{D}E}$ và $\widehat{A\text{ED}}$.

b) So sánh các đoạn thẳng AD và AE.

Lời giải:

a) Xét DABC có: AB > AC nên $\widehat{ACB}>\widehat{ABC}$

Xét $∆$ABD có AB = BD nên $∆$ABD cân tại B.

Suy ra, $\widehat{DAB}=\widehat{ADB}$ (tính chất tam giác cân)

Ta có, $\widehat{ABC}$ là góc ngoài đỉnh B của $∆$ABD nên $\widehat{ABC}=\widehat{DAB}+\text{}\widehat{ADB}=2\widehat{ADB}$

Xét $∆$ACE có AC = CE nên $∆$ACE cân tại C.

Suy ra, $\widehat{EAC}=\widehat{AEC}$ (tính chất tam giác cân)

Ta có, $\widehat{ACB}$ là góc ngoài đỉnh C của $∆$ACE nên $\widehat{ACB}=\widehat{EAC}+\text{}\widehat{AEC}=2\widehat{AEC}$

Mà $\widehat{ACB}>\widehat{ABC}$ nên $2\widehat{AEC}>2\widehat{ADB}$ hay $\widehat{AEC}>\widehat{ADB}$

Do đó, $\widehat{AED}>\widehat{ADE}$

b) Xét $∆$ADE có $\widehat{A\text{ED}}>\widehat{A\text{D}E}$ nên AD > AE.

Vậy AD > AE.

Bài 9.38 trang 84 Toán 7 Tập 2:

Gọi AI và AM lần lượt là đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) AI < $\frac{1}{2}$(AB + AC);

b) AM < $\frac{1}{2}$(AB + AC).

Lời giải:

a) Xét $∆$AIC vuông tại I có AC là cạnh huyền.

Do đó AC > AI (1).

Xét $∆$AIB vuông tại I có AB là cạnh huyền.

Do đó AB > AI (2).

Từ (1) và (2) ta có AB + AC > AI + AI hay AB + AC > 2AI

Suy ra AI < $\frac{1}{2}\left(AB+\text{}AC\right)$

b) Lấy D sao cho M là trung điểm của AD.

Xét $∆$ABM và $∆$DCM có:

MA = MD (theo cách vẽ),

$\widehat{AMB}=\widehat{DMC}$ (hai góc đối đỉnh),

MB = MC (do M là trung điểm của BC),

Do đó $∆$ABM = $∆$DCM (c.g.c)

Suy ra AB = DC (hai cạnh tương ứng).

Khi đó AB + AC = DC + AC.

Trong $∆$ACD có DC + AC > AD (bất đẳng thức tam giác)

Hay AB + AC > AD.

Mà AD = 2AM (do M là trung điểm của AD).

Suy ra AB + AC > 2AM hay AM < $\frac{1}{2}$(AB + AC).

Vậy AM < $\frac{1}{2}$(AB + AC).

Bài 9.39 trang 84 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác ABC có đường phân giác AD, D nằm trên BC sao cho BD = 2DC. Trên đường thẳng AC, lấy điểm E sao cho C là trung điểm của AE (H.9.53). Chứng minh rằng tam giác ABE cân tại A.

Gợi ý. D là trọng tâm của tam giác ABE; tam giác này có đường phân giác AD đồng thời là đường trung tuyến.

Lời giải:

Xét $∆$ABE có: C là trung điểm của AE nên BC là đường trung tuyến của $∆$ABE.

Ta lại có D là điểm nằm trên BC sao cho BD = 2DC hay $\frac{BD}{DC}=\frac{2}{1}$

Suy ra $\frac{BD}{BD+DC}=\frac{2}{2+1}$ hay $\frac{BD}{BC}=\frac{2}{3}$

Điểm D thuộc trung tuyến BC thỏa mãn $\frac{BD}{BC}=\frac{2}{3}$ nên D là trọng tâm tam giác ABE.

Suy ra AD là đường trung tuyến của $∆$ABE.

Xét $∆$ABE có AD vừa là đường trung tuyến, vừa là đường phân giác nên theo Ví dụ 1 phần Luyện tập chung, trang 82, ta có $∆$ABE cân tại A.

Vậy tam giác ABE cân tại A.

Bài 9.40 trang 84 Toán 7 Tập 2:

Một sợi dây thép dài 1,2 m. Cần đánh dấu trên sợi dây thép đó hai điểm để khi uốn gập nó lại tại hai điểm đó sẽ tạo thành tam giác cân có một cạnh dài 30 cm (H.9.54). Em hãy mô tả các cách đánh dấu hai điểm trên sợi dây thép.

Lời giải:

Đổi 1,2 m = 120 cm.

Ta xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1. Cạnh dài 30 cm là cạnh bên của tam giác cân.

Khi đó độ dài cạnh đáy là: 120 - 30 - 30 = 60 cm.

Ta thấy 30 + 30 = 60 nên bộ ba độ dài 30 cm, 30 cm, 60 cm không thể tạo thành một tam giác.

Trường hợp 2: Cạnh dài 30 cm là cạnh đáy của tam giác cân.

Khi đó độ dài hai cạnh bên là: (120 - 30) : 2 = 45 cm.

Ta thấy 45 < 45 + 30 nên bộ ba độ dài 30 cm, 45 cm, 45 cm là bộ ba độ dài của một tam giác.

Vậy để gấp được tam giác có ba cạnh dài 30 cm, 45 cm, 45 cm, ta đánh dấu hai điểm ở giữa hai đầu mút đoạn dây, chia đoạn dây thành ba đoạn thẳng có độ dài 30 cm, 45 cm, 45 cm, trong đó đoạn dài 30 cm chứa một mút hoặc không chứa mút nào của đoạn dây như hình vẽ dưới đây.

Lý thuyết Toán 7 Ôn tập Chương 9 - Kết nối tri thức

1. Góc đối diện với cạnh lớn hơn trong một tam giác

Định lí 1: Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.

2. Cạnh đối diện với góc lớn hơn tỏng một tam giác

Định lí 2: Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

Nhận xét

+ Trong tam giác vuông, góc vuông là góc lớn nhất nên cạnh đối diện với vuông góc (tức là cạnh huyền) là cạnh lớn nhất.

3. Khái niệm đường vuông góc và đường xiên

Từ một điểm A không nằm trên đường thẳng d, kẻ đường thẳng vuông góc với d tại H. Lấy một điểm M trên d (M khác H), kẻ đoạn thẳng AM.

Trong hình trên đây:

+ Đoạn thẳng AH gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.

+ H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống d.

+ Đoạn thẳng AM là một đường xiên kẻ từ A đến đường thẳng d.

4. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Định lí: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất.

Chú ý: Vì độ dài đoạn thẳng AH là ngắn nhất trong các đoạn thẳng kẻ từ A đến d nên độ dài đoạn thẳng AH được gọi là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d.

5. Bất đẳng thức tam giác

Định lí: Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bất kì luôn nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại.

Cho tam giác ABC như hình dưới đây:

Ta suy ra được các hệ thức sau:

AB < AC + BC

AC < AB + BC

BC < AC + AB

Ba hệ thức phai trên được gọi là các bất đẳng thức tam giác.

6. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác

Từ định lí trên, ta suy ra được tinh chất sau:

Tính chất: Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bất kì luôn lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh còn lại.

Nhận xét: Với a, b, c là độ dài ba cạnh tùy ý của một tam giác thì từ định lí và tinh chất nêu trên ta có:

b – c < a < b + c

Chú ý: Để kiểm tra ba độ dài có là ba cạnh của một tam giác hay không, ta chỉ cần so sanh độ dài lớn nhất có nhỏ hơn tổng hai độ dài còn lại hoặc độ dài nhỏ nhất có lớn hơn hiệu hai độ dài còn lại hay không.

7. Sự đồng quy của ba đường trung tuyến trong một tam giác

a) Đường trung tuyến của tam giác

Trong hình dưới đây, đoạn thẳng AM nối đỉnh A của tam giác ABC với trung điểm M của cạnh BC gọi là đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh A hoặc ứng với cạnh BC) của tam giác ABC.

b) Sự đồng quy của ba đường trung tuyến

Định lí 1: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm (hay đồng quy tại một điểm). Điểm đó cách mổi đỉnh một khoảng bằng $\frac{2}{3}$ độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Chú ý: Điểm đồng quy của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm tam giác.

8. Sự đồng quy của ba đường phân giác trong tam giác

a) Đường phân giác của tam giác

Trong hình dưới đây, cho tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm D thì đoạn thẳng AD được gọi là đường phân giác (xuất phát từ đỉnh A) của tam giác ABC.

b) Sự đồng quy của ba đường phân giác

Định lí 2: Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.

9. Sự đồng quy của ba đường trung trực trong một tam giác

a) Đường trung trực của tam giác

Trong tam giác ABC, đường trung trực của mỗi cạnh gọi là đường trung trực của tam giác. Ở hình dưới đây, a là đường trung trực ứng với cạnh BC của tam giác ABC.

b) Sự đồng quy của ba đường trung trực

Định lí 1: Ba đường trung trực của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác.

Nhận xét: Vì giao điểm O của ba đường trung trực trong tam giác ABC cách đều ba đỉnh của tam giác đó (OA = OB = OC) nên có một đường tròn tâm O đi qua ba đỉnh A, B, C.

9. Sự đồng quy của ba đường cao trong tam giác

a) Đường cao của tam giác

Trong hình dưới đây, đoạn thẳng AH kẻ từ đỉnh A, vuông góc với cạnh đối diện BC là một đường cao của tam giác ABC. Ta còn nói AH là đường cao xuất phát từ đỉnh A (hay đường cao ứng với cạnh BC).

b) Sự đồng quy của ba đường cao

Định lí 2: Ba đường cao của một tam giác đồng quy tại một điểm.

Chú ý:

- Điểm đồng quy của ba đường cao của một tam giác gọi là trực tâm của tam giác đó.

- Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, ta có:

+) Khi ABC là tam giác nhọn thì H nằm bên trong tam giác.

+) Khi ABC là tam giác vuông thì H trùng với A (kí hiệu H ≡ A).

+) Khi ABC là tam giác tù thì H nằm bên ngoài tam giác.

Xem thêm các bài giải sách giáo khoa Toán 7 bộ sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 1: Tập hợp các số hữu tỉ

Bài 2: Cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ

Luyện tập chung trang 14, 15

Bài 3: Lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ

Bài 4: Thứ tự thực hiện các phép tính. Quy tắc chuyển vế