Toán 7 Bài 16 (Kết nối tri thức): Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng

Với giải bài tập Toán lớp 7 Bài 16: Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 7 Bài 16.

1 9411 lượt xem
Tải về


Giải bài tập Toán 7 Bài 16: Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng

Video giải bài tập Toán 7 Bài 16 Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng

Mở đầu 

Mở đầu trang 80 Toán 7 Tập 1Kiến trúc sư vẽ bản thiết kế ngôi nhà hình tam giác theo tỉ lệ 1 : 100. Biết rằng ngôi nhà cao 5 m, bề ngang mặt sàn rộng 4 m và hai mái nghiêng như nhau. Theo em, trên bản thiết kế làm thế nào để xác định được chính xác điểm C thể hiện đỉnh ngôi nhà?

Tài liệu VietJack

Lời giải:

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Để xác định được chính xác điểm C trên bản thiết kế ta sẽ làm các bước sau:

Bước 1. Dùng thước thẳng có vạch chia vẽ đoạn thẳng AB = 4 cm.

Tài liệu VietJack

Bước 2. Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB (đường thẳng d vuông góc với AB tại trung điểm O của đoạn thẳng AB).

Tài liệu VietJack

Bước 3. Trên đường trung trực d lấy điểm C sao cho OC = 5 cm.

Vì C nằm trên trung trực d của đoạn thẳng AB nên CA = CB (tính chất đường trung trực).

Tài liệu VietJack

Khi đó trên bản thiết kế tỉ lệ 1 : 100 đã thể hiện được ngôi nhà cao 5 m, bề ngang mặt sàn rộng 4 m với hai mái nghiêng như nhau. 

1.Tam giác cân và tính chất

Giải Toán 7 trang 80 Tập 1

Câu hỏi trang 80 Toán 7 Tập 1: Hãy nêu tên tất cả các tam giác cân trong Hình 4.59. Với mỗi tam giác cân đó, hãy nêu tên cạnh bên, cạnh đáy, góc ở đỉnh, góc ở đáy của chúng.

Tài liệu VietJack

Lời giải:

Tam giác ABC có AB = AC = 3 cm nên tam giác ABC cân tại A, với hai cạnh bên là AB và AC, cạnh đáy là BC, góc ở đỉnh là A, hai góc ở đáy là B^ C^ 

Tam giác ABD có AB = AD = 3 cm nên tam giác ABD cân tại A, với hai cạnh bên là AB và AD, cạnh đáy là BD, góc ở đỉnh là A, hai góc ở đáy là B^ D^ 

Tam giác ACD có AC = AD = 3 cm nên tam giác ACD cân tại A, với hai cạnh bên là AC và AD, cạnh đáy là CD, góc ở đỉnh là A, hai góc ở đáy là C^ D^  

Giải Toán 7 trang 81 Tập 1

HĐ 1 trang 81 Toán 7 Tập 1: Quan sát tam giác ABC cân tại A như Hình 4.60. Lấy D là trung điểm của đoạn thẳng BC.

a) Chứng minh rằng ΔABD=ΔACD theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh.

b) Hai góc B và C của tam giác ABC có bằng nhau không?

Tài liệu VietJack

Lời giải:

GT

ΔABC cân tại A, D là trung điểm của BC.

KL

a) ΔABD=ΔACD(c.c.c);

b) B^C^ của tam giác ABC có bằng nhau không?

Tài liệu VietJack

Chứng minh (hình vẽ trên):

a) Tam giác ABC cân tại A (theo giả thiết) nên ta có AB = AC (định nghĩa tam giác cân).

Xét tam giác ABD và tam giác ACD có:

AB = AC (chứng minh trên);

BD = CD (do D là trung điểm của BC);

AD là cạnh chung.

Vậy ΔABD=ΔAC(c.c.c).

b) Từ ΔABD=ΔAC(chứng minh câu a) suy ra ABD^=ACD^ (hai góc tương ứng).

Hay B^=C^.

Vậy góc B^ C^ của tam giác ABC cân tại A bằng nhau. 

HĐ 2 trang 81 Toán 7 Tập 1:

Cho tam giác MNP có M^=N^. Vẽ tia phân giác PK của góc MPN (KMN).

Chứng minh rằng:

a) MKP^=NKP^;                                

b) ΔMPK=ΔNPK;

c) Tam giác MNP có cân tại P không?

Tài liệu VietJack

Lời giải:

GT

ΔMNP, M^=N^;

PK là tia phân giác của góc MPN.

KL

a) MKP^=NKP^; 

b) ΔMPK=ΔNPK;

c) Tam giác MNP có cân tại P không?

Tài liệu VietJack

Chứng minh (hình vẽ trên):

a) PK là tia phân giác của góc MPN (theo giả thiết) nên MPK^=NPK^ (tính chất tia phân giác của một góc).

Tam giác MPK có NKP^ là góc ngoài của tam giác tại đỉnh K nên ta có NKP^=MPK^+M^.

Tam giác NPK có MKP^ là góc ngoài của tam giác tại đỉnh K nên ta có MKP^=NPK^+N^.

MPK^=NPK^ (chứng minh trên) và M^=N^ (theo giả thiết).

Do đó MKP^=NKP^.

b) Xét tam giác MPK và tam giác NPK có:

MPK^=NPK^ (chứng minh ở câu a);

PK là cạnh chung;

MKP^=NKP^ (chứng minh ở câu a).

Vậy ΔMPK=ΔNPK (g.c.g).

c) Từ ΔMPK=ΔNPK (chứng minh ở câu b) suy ra MP = NP (hai cạnh tương ứng).

Do đó tam giác MNP cân tại P (định nghĩa tam giác cân).

Vậy tam giác MNP cân tại P.

Luyện tập 1 trang 81 Toán 7 Tập 1: Tính số đo các góc và các cạnh chưa biết của tam giác DEF trong Hình 4.62.

Tài liệu VietJack

Lời giải:

GT

ΔDEF, EF = DF = 4 cm, E^=60°.

KL

Tính số đo D^,F^ và độ dài cạnh DE.

Tài liệu VietJack

Tam giác DEF có EF = DF = 4 cm (theo giả thiết) nên tam giác DEF cân tại F (định nghĩa tam giác cân).

Do đó D^=E^ (tính chất tam giác cân).

E^=60° (theo giả thiết) nên D^=60°.

Tam giác DEF có D^=60°, E^=60°, áp dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác ta có D^+E^+F^=180°.

Suy ra F^=180°D^E^ 

Hay F^=180°60°60°=60°. 

Khi đó ta có E^=F^=60°.

Suy ra tam giác DEF cân tại D (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).

Do đó DE = DF (định nghĩa tam giác cân).

Mà DF = 4 cm (theo giả thiết).

Vậy DE = 4 cm. 

Thử thách nhỏ trang 81 Toán 7 Tập 1:

Một tam giác có gì đặc biệt nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

a) Tam giác có ba góc bằng nhau.

b) Tam giác cân có một góc bằng 60o.

Lời giải:

a)

Tài liệu VietJack

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác cho tam giác ABC ta có A^+B^+C^=180°.

A^=B^=C^ (theo giả thiết);

Suy ra A^+A^+A^=180° hay 3.A^=180°.

Do đó A^=60°. 

Khi đó A^=B^=C^=60°.

Tam giác ABC có ba góc bằng nhau và cùng bằng 60° nên là tam giác đều.

b) +) Tam giác DEF cân tại D có E^=60°. 

Tài liệu VietJack

Tam giác DEF cân tại D (theo giả thiết) nên E^=F^ (tính chất tam giác cân).

E^=60°, do đó F^=60°. 

Tam giác DEF có E^=60°, F^=60°, áp dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác ta có D^+E^+F^=180°.

Suy ra D^=180°E^F^ 

Hay D^=180°60°60°=60°. 

Khi đó ta có D^=E^=F^=60°.

Tam giác DEF có ba góc bằng nhau và cùng bằng 60° nên là tam giác đều.

+) Tam giác MNP cân tại M có M^=60°. 

Tài liệu VietJack

Tam giác MNP cân tại M (theo giả thiết) nên N^=P^ (tính chất tam giác cân).

Tam giác MNP có M^=60°, N^=P^, áp dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác ta có M^+N^+P^=180°.

Suy ra 60°+N^+N^=180° 

Hay 2.N^=180°60°

 2.N^=120°

N^=60°.

Khi đó M^=N^=P^=60°.

Tam giác MNP có ba góc bằng nhau và cùng bằng 60° nên là tam giác đều. 

2. Đường trung trực của một đoạn thẳng

HĐ 3 trang 81 – 82 Toán 7 Tập 1: Đánh dấu hai điểm A và B nằm trên hai mép tờ giấy A4, nối A và B để được đoạn thẳng AB.

Gấp mảnh giấy lại như Hình 4.63 sao cho vị trí các điểm A và B trùng nhau.

Mở mảnh giấy ra, kẻ đường thẳng d theo nếp gấp.

a) Gọi O là giao điểm của đường thẳng d và AB. O có là trung điểm của đoạn thẳng AB không?

b) Dùng thước đo góc, kiểm tra đường thẳng d có vuông góc với AB không?

Tài liệu VietJack

Lời giải:

Tài liệu VietJack

Mảnh giấy sau khi gấp được mô tả như hình vẽ trên.             

a) Mảnh giấy được gấp sao cho điểm A trùng với điểm B, O là giao điểm của đường thẳng d và AB, khi đó đường thẳng d chia đoạn thẳng AB thành hai đoạn bằng nhau, tức là OA = OB.

Do đó O là trung điểm của đoạn thẳng AB.

b) Dùng thước đo góc ta thấy góc dOB có số đo bằng 90° nên dAB. 

Vậy đường thẳng d vuông góc với AB.

Giải Toán 7 trang 82 Tập 1

Câu hỏi trang 82 Toán 7 Tập 1Trong Hình 4.64, bạn Lan vẽ đường trung trực của các đoạn thẳng. Theo em, hình nào Lan vẽ đúng?

Tài liệu VietJack

Lời giải:

Trong các hình vẽ trên:

Hình 4.64 a) ta thấy Lan đã vẽ đường thẳng vuông góc với AB tại trung điểm của AB nên đường thẳng này là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Hình 4.64 b) Lan vẽ đường thẳng đi qua trung điểm của CD nhưng không vuông góc với CD do đó đường thẳng này không phải là trung trực của đoạn thẳng CD.

Trên Hình 4.64 c) Lan vẽ đường thẳng vuông góc với EF nhưng không đi qua trung điểm của EF do đó đường thẳng này không phải là đường trung trực của đoạn thẳng EF.

Vậy hình bạn Lan vẽ đúng là hình a. 

HĐ 4 trang 82 Toán 7 Tập 1Trên mảnh giấy trong Hoạt động 3, lấy điểm M bất kì trên đường thẳng d. Dùng thước thẳng có vạch chia kiểm tra xem AM có bằng BM không (H.4.65).

Tài liệu VietJack

Lời giải:

Tài liệu VietJack

Dùng thước thẳng có vạch chia ta đo độ dài các đoạn thẳng AM và BM, sau đó so sánh kết quả thì thấy độ dài của hai đoạn thẳng này bằng nhau.

Vậy AM = BM. 

Giải Toán 7 trang 83 Tập 1

Luyện tập 2 trang 83 Toán 7 Tập 1: Cho M là một điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Biết AM = 3 cm và MAB^=60° (H.4.67). Tính BM và số đo góc MBA.

Tài liệu VietJack

Lời giải:

GT

Đoạn thẳng AB, d là đường trung trực của AB;

Md, AM = 3 cm, MAB^=60°.

KL

Tính BM và số đo góc MBA.

Tài liệu VietJack

Điểm M nằm trên đường trung trực d của đoạn thẳng AB nên ta có MA = MB (tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng).

Mà MA = 3 cm nên MB = 3 cm.

Do MA = MB (chứng minh trên) nên tam giác MAB cân tại M (định nghĩa tam giác cân).

Suy ra MAB^=MBA^ (tính chất tam giác cân).

MAB^=60° do đó MBA^=60°. 

Vậy BM = 3 cm, MBA^=60°. 

Thực hành trang 83 Toán 7 Tập 1: Sử dụng thước thẳng và compa để vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB như sau:

- Vẽ đoạn thẳng AB;

- Lấy A làm tâm, vẽ cung tròn (bán kính lớn hơn AB2), sau đó lấy B làm tâm, vẽ cung tròn có cùng bán kính, sao cho hai cung tròn này cắt nhau tại hai điểm M và N;

- Dùng thước thẳng vẽ đường thẳng MN. Khi đó MN là đường trung trực của đoạn thẳng AB (H.4.68).

Tài liệu VietJack

Lời giải:

Bước 1. Dùng thước thẳng vẽ đoạn thẳng AB ta được hình vẽ sau:

Tài liệu VietJack

Bước 2. Dùng compa vẽ cung tròn tâm A và cung tròn tâm B có cùng bán kính (bán kính lớn hơn AB2).

Hai cung tròn này cắt nhau tại hai điểm M và N, do đó AN = AM = BN = BM.

Khi đó ta được hình vẽ sau:

Tài liệu VietJack

Bước 3. Dùng thước thẳng vẽ đường thẳng đi qua hai điểm M và N ta được hình vẽ dưới đây.

AN = BN nên N nằm trên đường trung trực của AB.

AM = BM nên M nằm trên đường trung trực của AB.

Khi đó đường thẳng MN là đường trung trực của đoạn thẳng AB. 

Tài liệu VietJack

 

 

 

 

Bài tập

Giải Toán 7 trang 84 Tập 1

Bài 4.23 trang 84 Toán 7 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A và các điểm E, F lần lượt nằm trên các cạnh AC, AB sao cho BE vuông góc với AC, CF vuông góc với AB (H.4.69). Chứng minh rằng BE = CF.

Toán 7 Bài 16: Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Lời giải:

GT

ΔABCcân tại A, BEAC,CFAB. 

KL

BE = CF.

Tài liệu VietJack

Chứng minh (hình vẽ trên):

Tam giác ABC cân tại A (theo giả thiết) nên AB = AC (định nghĩa tam giác cân).

BEAC (theo giả thiết) nên AEB^=90°, do đó tam giác AEB vuông tại E.

CFAB (theo giả thiết) nên AFC^=90°, do đó tam giác AFC vuông tại F.

Xét tam giác AEB (vuông tại E) và tam giác AFC (vuông tại F) có:

AB = AC (chứng minh trên);

BAC^ là góc chung.

Vậy ΔAEB=ΔAFC (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra BE = CF (hai cạnh tương ứng).

Vậy BE = CF.

Bài 4.24 trang 84 Toán 7 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh AM vuông góc với BC và AM là tia phân giác của góc BAC.

Lời giải:

GT

ΔABC cân tại A, M là trung điểm BC.

KL

AMBC và AM là tia phân giác của góc BAC.

Tài liệu VietJack

Chứng minh (hình vẽ trên):

Tam giác ABC cân tại A (theo giả thiết) nên AB = AC (định nghĩa tam giác cân).

Xét tam giác ABM và tam giác ACM có:

AB = AC (chứng minh trên);

BM = CM (do M là trung điểm của BC);

AM là cạnh chung.

Vậy ΔABM=ΔACM (c.c.c).

Suy ra AMB^=AMC^ (hai góc tương ứng).

Mà góc AMB và góc AMC là hai góc kề bù nên ta có AMB^+AMC^=180° (tính chất hai góc kề bù).

Do đó AMB^+AMB^=180°.

2.AMB^=180°

AMB^=90° 

Suy ra AMBC. 

Từ ΔABM=ΔACM (chứng minh trên), suy ra BAM^=CAM^ (hai góc tương ứng).

Do đó AM là tia phân giác của góc BAC. 

Bài 4.25 trang 84 Toán 7 Tập 1: Cho tam giác ABC và M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

a) Giả sử AM vuông góc với BC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.

b) Giả sử AM là tia phân giác của góc BAC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.

Lời giải:

a)

GT

ΔABC, M là trung điểm BC, AMBC.

KL

 ΔABC cân tại A.

Tài liệu VietJack

Vì M là trung điểm của BC và AMBC (theo giả thiết) nên đường thẳng AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Điểm A nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC nên AB = AC (tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng).

Do đó tam giác ABC cân tại A (định nghĩa tam giác cân).

b)

GT

ΔABC, M là trung điểm BC;

AM là tia phân giác của góc BAC.

KL

 ΔABC cân tại A.

Tài liệu VietJack

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA.

Xét tam giác DBM và tam giác ACM có:

BM = CM (do M là trung điểm của BC);

DMB^=AMC^ (hai góc đối đỉnh);

MD = MA (theo cách vẽ).

Vậy ΔDBM=ΔACM (c.g.c).

Suy ra DB = AC (hai cạnh tương ứng)       .         (1)

BDM^=CAM^ (hai góc tướng ứng).

BAM^=CAM^ (do AM là tia phân giác của góc BAC).

Do đó BDM^=BAM^=CAM^.

Hay BDA^=BAD^ suy ra tam giác ABD cân tại B.

Suy ra AB = DB (định nghĩa tam giác cân).         (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB = AC.

Do đó tam giác ABC cân tại A (định nghĩa tam giác cân). 

Bài 4.26 trang 84 Toán 7 Tập 1: Tam giác vuông có hai cạnh bằng nhau được gọi là tam giác vuông cân.

Hãy giải thích các khẳng định sau:

a) Tam giác vuông cân thì cân tại đỉnh góc vuông;

b) Tam giác vuông cân có hai góc nhọn bằng 45o;

c) Tam giác vuông có một góc nhọn bằng 45o là tam giác vuông cân.

Lời giải:

a)

GT

ΔABC là tam giác vuông cân;

A^=90°. 

KL

ΔABC cân tại A.

Tài liệu VietJack

Tam giác ABC vuông tại A nên hai góc nhọn của tam giác phụ nhau suy ra B^+C^=90°. 

Khi đó số đo của góc B và góc C sẽ nhỏ hơn 90°.

+) Nếu tam giác ABC cân tại B nên A^=C^ (tính chất tam giác cân).

A^=90° nên C^=90° (vô lí vì C^<90°)

Suy ra tam giác ABC vuông tại A thì không thể cân tại B.

+) Nếu tam giác ABC cân tại C nên A^=B^ (tính chất tam giác cân).

A^=90° nên B^=90° (vô lí vì B^<90°)

Suy ra tam giác ABC vuông tại A thì không thể cân tại C.

Do vậy tam giác ABC vuông tại A và cân tại A.

b)

GT

ΔABC là tam giác vuông cân.

KL

Hai góc nhọn bằng 45°.

Tài liệu VietJack

Tam giác ABC vuông cân nên tam giác ABC cân tại đỉnh A (theo câu a).

Suy ra B^=C^ (tính chất tam giác cân).

Mà trong một tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau nên ta có: B^+C^=90°.

Do đó B^+B^=90° 

2B^=90°

B^=45°. 

Khi đó B^=C^=45°.

c)

GT

ΔABC vuông tại A, B^=45°. 

KL

 ΔABC là tam giác vuông cân.

Tài liệu VietJack

Tam giác ABC vuông tại A (theo giả thiết) nên hai góc nhọn phụ nhau.

Do đó B^+C^=90°

Suy ra C^=90°B^ 

C^=90°45° 

C^=45°

Khi đó B^=C^=45°, suy ra tam giác ABC cân tại A.

Mà tam giác ABC vuông tại A nên tam giác ABC vuông cân tại A.

Vậy tam giác ABC vuông cân tại A.  

Bài 4.27 trang 84 Toán 7 Tập 1Trong Hình 4.70, đường thẳng nào là đường trung trực của đoạn thẳng AB?

Tài liệu VietJack

Lời giải:

Quan sát hình vẽ ta thấy đường kẻ ngang vuông góc với đường kẻ dọc. Khi đó trong 4 đường thẳng d, u, m, n thì có ba đường thẳng d, m và n vuông góc với đoạn thẳng AB.

Trong hình vẽ, đoạn thẳng AB được chia làm 6 đoạn thẳng bằng nhau.

Do đó trung điểm của AB là điểm nằm trên đoạn thẳng AB và cách A (cách B) 3 đoạn thẳng nhỏ.

Vì vậy chỉ có đường thẳng m thoả mãn điều kiện vuông góc với đoạn thẳng AB và đi qua trung điểm của AB, khi đó đường thẳng m là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Vậy trong các đường thẳng trên hình vẽ, đường thẳng m là đường trung trực của đoạn thẳng AB. 

Bài 4.28 trang 84 Toán 7 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AD. Chứng minh rằng đường thẳng AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Lời giải:

GT

ΔABC cân tại A, đường cao AD.

KL

AD là đường trung trực của BC.

Tài liệu VietJack

Chứng minh (hình vẽ trên):

Vì AD là đường cao của tam giác ABC nên ADB^=ADC^=90°.

Khi đó tam giác ABD vuông tại D và tam giác ACD vuông tại D.

Xét tam giác ABD (vuông tại D) và tam giác (ACD vuông tại D) ta có:

AB = AC (do tam giác ABC cân tại A);

AD là cạnh chung.

Vậy ΔABD=ΔACD (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra DB = DC (hai cạnh tương ứng).

Do đó D là trung điểm của BC.

Khi đó đường thẳng AD vuông góc với đoạn thẳng BC tại trung điểm D của BC nên AD là đường trung trực của BC. 

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Luyện tập chung trang 85, trang 86

Bài tập cuối chương 4 trang 87

Bài 17: Thu thập và phân loại dữ liệu

Bài 18: Biểu đồ hình quạt tròn

Bài 19: Biểu đồ đoạn thẳng

1 9411 lượt xem
Tải về


Xem thêm các chương trình khác: