Toán 7 Bài 10 (Kết nối tri thức): Tiên đề Euclid. Tính chất của hai đường thẳng song song

Mở đầu trang 51 Toán 7 Tập 1: Qua điểm M nằm ngoài đường thẳng a, chúng ta đã biết cách vẽ một đường thẳng b đi qua điểm M và song song với a. Vậy có thể vẽ được bao nhiêu đường thẳng b như vậy?

Lời giải:

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Theo Tiên đề Euclid ta có:

Qua điểm M nằm ngoài đường thẳng a, chúng ta chỉ vẽ được một đường thẳng b đi qua điểm M và song song với đường thẳng a.

1. Tiên đề Euclid về đường thẳng song song

HĐ 1 trang 51 Toán 7 Tập 1: Cho trước đường thẳng a và một điểm M không nằm trên đường thẳng a (H.3.31).

• Dùng bút chì vẽ đường thẳng b đi qua M và song song với đường thẳng a.

• Dùng bút màu vẽ đường thẳng c đi qua M và song song với đường thẳng a.

Em có nhận xét gì về vị trí của hai đường thẳng b và c?

Lời giải:

• Dùng bút chì vẽ đường thẳng đi qua M và song song với đường thẳng a ta được đường thẳng b.

• Dùng bút màu xanh vẽ đường thẳng đi qua M và song song với đường thẳng a ta được đường thẳng c.

- Quan sát hình vừa vẽ được ta thấy hai đường thẳng b và c là hai đường thẳng trùng nhau.

Giải Toán 7 trang 52 Tập 1

Luyện tập 1 trang 52 Toán 7 Tập 1: Phát biểu nào sau đây diễn đạt đúng nội dung của Tiên đề Euclid?

(1) Cho điểm M nằm ngoài đường thẳng a. Đường thẳng đi qua M và song song với a là duy nhất.

(2) Có duy nhất một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước.

(3) Qua điểm M nằm ngoài đường thẳng a có ít nhất một đường thẳng song song với a.

Lời giải:

Phát biểu (1) diễn đạt đúng nội dung của Tiên đề Euclid.

Phát biểu (2) diễn đạt chưa đúng nội dung của Tiên đề Euclid do thiếu điều kiện đường thẳng này đi qua một điểm M nằm ngoài đường thẳng cho trước.

Phát biểu (3) diễn đạt chưa đúng nội dung của Tiên đề Euclid do sai ở cụm từ “ít nhất”, theo Tiên đề Euclid thì qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

2. Tính chất của hai đường thẳng song song

HĐ 2 trang 52 Toán 7 Tập 1: Vẽ hai đường thẳng song song a, b. Kẻ đường thẳng c cắt đường thẳng a tại A và cắt đường thẳng b tại B. Trên Hình 3.34:

a) Em hãy đo một cặp góc so le trong rồi rút ra nhận xét;

b) Em hãy đo một cặp góc đồng vị rồi rút ra nhận xét.

Lời giải:

Gọi tia Aa' là tia đối của tia Aa, tia Bb' là tia đối của tia Bb.

Sử dụng thước đo độ ta đo được:

a) Hai góc so le trong là: $\widehat{\text{aA}B}=53°;\widehat{b^{\text{'}}BA}=53°$.

Suy ra $\widehat{\text{aA}B}=\widehat{b^{\text{'}}BA}\left(=53°\right).$

Nhận xét: Hai góc so le trong tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song có số đo bằng nhau.

b) Hai góc đồng vị là: $\widehat{\text{aA}B}=53°;\widehat{bBc}=53°.$

Suy ra $\widehat{\text{aA}B}=\widehat{bBc}\left(=53°\right).$

Nhận xét: Hai góc đồng vị tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song có số đo bằng nhau.

Giải Toán 7 trang 53 Tập 1

Luyện tập 2 trang 53 Toán 7 Tập 1:

1. Cho Hình 3.36, biết MN // BC,$\widehat{ABC}=60°,\widehat{MNC}=150°.$

Hãy tính số đo các góc BMN và ACB.

2. Cho Hình 3.37, biết rằng xx' // yy' và $z{z}^{\text{'}}\perp x{x}^{\text{'}}.$ Tính số đo góc ABy và cho biết zz' có vuông góc với yy' không.

Lời giải:

1.

Trên Hình 3.36 ta có: $\widehat{MNC}=150°,\widehat{ABC}=60°.$

+) Góc ANM và góc MNC là hai góc kề bù nên $\widehat{ANM}+\widehat{MNC}=180°$ (tính chất hai góc kề bù).

Suy ra $\widehat{ANM}=180°-\widehat{MNC}$

$\widehat{ANM}=180°-150°$

$\widehat{ANM}=30°$

+) Từ MN // BC suy ra $\widehat{AMN}=\widehat{ABC}$ (hai góc đồng vị) và $\widehat{ANM}=\widehat{ACB}$ (hai góc đồng vị).

Mà $\widehat{ABC}=60°$ và $\widehat{ANM}=30°.$

Do đó $\widehat{AMN}=60°;\widehat{ACB}=30°.$

+) Ta lại có góc AMN và góc BMN là hai góc kề bù nên $\widehat{AMN}+\widehat{BMN}=180°$ (tính chất hai góc kề bù)

Suy ra $\widehat{BMN}=180°-\widehat{AMN}$

$\widehat{BMN}=180°-60°$

$\widehat{BMN}=120°$

Vậy $\widehat{ACB}=30°;\widehat{BMN}=120°.$

2.

+) Vì $z{z}^{\text{'}}\perp x{x}^{\text{'}}$ tại A nên $\widehat{x^{\text{'}}AB}=90°.$

Từ xx' // yy' ta có $\widehat{x^{\text{'}}AB}=\widehat{ABy}$ (hai góc so le trong).

Mà $\widehat{x^{\text{'}}AB}=90°$ suy ra $\widehat{ABy}=90°.$

+) Do $\widehat{ABy}=90°$ suy ra $z{z}^{\text{'}}\perp y{y}^{\text{'}}.$

Bài tập

Bài 3.17 trang 53 Toán 7 Tập 1: Cho Hình 3.39, biết rằng mn // pq. Tính số đo các góc mHK, vHn.

Lời giải:

Trên Hình 3.39 quan sát thấy $\widehat{vKq}=70°.$

Từ mn // pq ta có $\widehat{mHK}=\widehat{vKq}$ (hai góc so le trong) và $\widehat{vHn}=\widehat{vKq}$ (hai góc đồng vị).

Mà $\widehat{vKq}=70°$.

Suy ra $\widehat{mHK}=70°$ và $\widehat{vHn}=70°.$

Vậy $\widehat{mHK}=70°$ và $\widehat{vHn}=70°.$

Bài 3.18 trang 53 Toán 7 Tập 1: Cho Hình 3.40.

a) Giải thích tại sao Am // By.

b) Tính $\widehat{C\text{D}m}.$

Lời giải:

a) Trên Hình 3.40 ta thấy $\widehat{xBA}=70°;\widehat{BAm}=70°.$

Góc nBy và góc xBA là hai góc đối đỉnh nên $\widehat{nBy}=\widehat{xBA}$ (tính chất hai góc đối đỉnh).

Mà $\widehat{xBA}=70°$ do đó $\widehat{nBy}=70°.$

Suy ra $\widehat{nBy}=\widehat{BAm}=70°.$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên Am // By (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

Vậy Am // By.

b) Trên Hình 3.40 ta thấy $\widehat{tCy}=120°.$

Theo câu a ta có Am // By suy ra Dm // Cy.

Từ Dm // Cy suy ra $\widehat{CDm}=\widehat{tCy}$ (hai góc đồng vị).

Mà $\widehat{tCy}=120°$do đó $\widehat{CDm}=120°.$

Vậy $\widehat{CDm}=120°.$

Giải Toán 7 trang 54 Tập 1

Bài 3.19 trang 54 Toán 7 Tập 1: Cho Hình 3.41.

a) Giải thích tại sao xx' // yy'.

b) Tính số đo góc MNB.

Lời giải:

a) Trên Hình 3.41 ta thấy $\widehat{t^{\text{'}}A{x}^{\text{'}}}=65°;\widehat{AB{y}^{\text{'}}}=65°.$

Do đó $\widehat{t^{\text{'}}A{x}^{\text{'}}}=\widehat{AB{y}^{\text{'}}}=65°.$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên xx' // yy' (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

Vậy xx' // yy'.

b) Trên Hình 3.41 ta thấy $\widehat{x^{\text{'}}MN}=70°.$

Theo câu a ta có xx' // yy' suy ra $\widehat{x^{\text{'}}MN}=\widehat{MNB}$ (hai góc so le trong).

Mà $\widehat{x^{\text{'}}MN}=70°.$

Do đó $\widehat{MNB}=70°.$

Vây $\widehat{MNB}=70°.$

Bài 3.20 trang 54 Toán 7 Tập 1: Cho Hình 3.42, biết rằng Ax // Dy, $\widehat{A}=90°,$$\widehat{BCy}=50°.$ Tính số đo các góc ADC và ABC.

Lời giải:

+) Vì $\widehat{A}=90°$ nên $AD\perp \text{Ax}$ tại A.

Mà Ax // Dy.

Suy ra $AD\perp Dy$ (một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia).

Do đó $\widehat{ADC}=90°.$

+) Từ Ax // Dy suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{BCy}$ (hai góc so le trong).

Mà $\widehat{BCy}=50°.$

Suy ra $\widehat{ABC}=50°.$

Vậy $\widehat{ADC}=90°$ và $\widehat{ABC}=50°.$

Bài 3.21 trang 54 Toán 7 Tập 1: Cho Hình 3.43. Giải thích tại sao:

a) Ax' // By;

b) $\text{By}\perp \text{HK.}$

Lời giải:

a) Trên Hình 3.43 ta thấy $\widehat{xAB}=45°,\widehat{ABy}=45°.$

Do đó $\widehat{xAB}=\widehat{ABy}\left(=45°\right)$.

Mà hai góc này ở vị trí so le trong.

Suy ra Ax' // By (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

Do đó Ax' // By.

b) Trên Hình 3.43 ta thấy $A{x}^{\text{'}}\perp HK$, mà Ax' // By (theo câu a).

Do đó $By\perp HK.$

Bài 3.22 trang 54 Toán 7 Tập 1: Cho tam giác ABC. Vẽ đường thẳng a đi qua A và song song với BC. Vẽ đường thẳng b đi qua B và song song với AC. Có thể vẽ được bao nhiêu đường thẳng a, bao nhiêu đường thẳng b? Vì sao?

Theo Tiên đề Euclid ta có:

+) Qua điểm A nằm ngoài đường thẳng BC, chỉ có một đường thẳng a song song với đường thằng BC.

+) Qua điểm B nằm ngoài đường thẳng AC, chỉ có một đường thẳng b song song với đường thẳng AC.

Vậy chỉ vẽ được một đường thẳng a và một đường thẳng b thoả mãn yêu cầu đề bài.

Bài 3.23 trang 54 Toán 7 Tập 1: Cho Hình 3.44. Giải thích tại sao:

a) MN // EF;

b) HK // EF;

c) HK // MN.

Lời giải:

a) Trên Hình 3.44 ta thấy $\widehat{MNE}=30°,\widehat{\text{NEF}}=30°.$

Do đó $\widehat{MNE}=\widehat{\text{NEF}}\left(=30°\right).$

Mà hai góc này ở vị trí so le trong.

Suy ra MN // EF (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

Vậy MN // EF.

b) Trên Hình 3.44 ta thấy $\widehat{DKH}=60°,\widehat{\text{DFE}}=60°.$

Do đó $\widehat{DKH}=\widehat{\text{DFE}}=60°.$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.

Suy ra HK // EF (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

Vậy HK // EF.

c) Từ MN // EF (theo câu a) và HK // EF (theo câu b) suy ra HK // MN (hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau).

Lý thuyết Toán 7 Bài 10. Tiên đề Euclid. Tính chất của hai đường thẳng song song - Kết nối tri thức

1. Tiên đề Euclid về đường thẳng song song

• Tiên đề Euclid: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

Ví dụ:

+ Cho điểm M nằm ngoài đường thẳng a thì đường thẳng b đi qua M và song song với a là duy nhất.

Chú ý:

• Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng cắt đường thẳng còn lại.

Ví dụ: Cho a và b là hai đường thẳng song song với nhau. Nếu đường thẳng c cắt đường thẳng a thì cũng cắt đường thẳng b.

2. Tính chất của hai đường thẳng song song

• Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì:

+ Hai góc so le trong bằng nhau;

+ Hai góc đồng vị bằng nhau.

Ví dụ: Cho $\mathrm{xy}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{x}\text{'}\mathrm{y}\text{'}$ và $\widehat{\mathrm{BAy}}=50°$. Tính $\widehat{\mathrm{ABx}\text{'}}$ và $\widehat{\mathrm{y}\text{'}\mathrm{Bz}\text{'}}$

Vì $\mathrm{xy}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{x}\text{'}\mathrm{y}\text{'}$$\Rightarrow$$\widehat{\mathrm{ABx}\text{'}}=\widehat{\mathrm{BAy}}$ (hai góc so le trong). Do đó $\widehat{\mathrm{ABx}\text{'}}=50°$

Vì $\mathrm{xy}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{x}\text{'}\mathrm{y}\text{'}$$\Rightarrow$$\widehat{\mathrm{y}\text{'}\mathrm{Bz}\text{'}}=\widehat{\mathrm{BAy}}$ (hai góc đồng vị). Do đó $\widehat{\mathrm{y}\text{'}\mathrm{Bz}\text{'}}=50°$

• Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia.

Ví dụ: Cho $\mathrm{xy}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{x}\text{'}\mathrm{y}\text{'}$ và $\mathrm{zz}\text{'}\perp \mathrm{xx}\text{'}$ thì $\mathrm{zz}\text{'}\perp \mathrm{yy}\text{'}$

• Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

Ví dụ: Cho $\mathrm{a}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{b}$ và $\mathrm{c}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{b}$ thì $\mathrm{a}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{c}$