Sách bài tập Toán 9 Bài 3 (Kết nối tri thức): Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Giải SBT Toán 9 Bài 3: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Bài 1.17 trang 16 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Vào năm 2005, có tổng cộng 55 lần phóng vệ tinh thương mại và phi thương mại trên toàn thế giới. Ngoài ra, số lần phóng vệ tinh phi thương mại nhiều hơn 1 lần so với hai lần số lần phóng vệ tinh thương mại. Tính số lần phóng vệ tinh thương mại và phi thương mại trong năm 2005.

Lời giải:

Gọi x và y lần lượt là số lần phóng vệ tinh thương mại và phi thương mại.

Có tổng cộng 55 lần phóng vệ tinh thương mại và phi thương mại trên toàn thế giới nên x + y = 55.

Số lần phóng vệ tinh phi thương mại nhiều hơn 1 lần so với hai lần số lần phóng vệ tinh thương mại nên y – 2x = 1 hay –2x + y = 1.

Ta được hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}x+y=55\\ -2x+y=1\end{array}\right.$.

Nhân phương trình thứ nhất với hai ta được $\left\{\begin{array}{c}2x+2y=110\\ -2x+y=1\end{array}\right.$.

Cộng từng vế của hai phương trình ta được:

3y = 111 hay $y=\frac{111}{3}=37$.

Thế vào phương trình thứ nhất ta được:

x + 37 = 55 hay x = 55 – 37 = 18.

Vậy trong năm 2005, có 18 lần phóng vệ tinh thương mại và 37 lần phóng vệ tinh phi thương mại trên toàn thế giới.

Bài 1.18 trang 16 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Một ca nô đi ngược dòng sông một quãng đường 6 km thì hết $\frac{3}{2}$ giờ. Mặt khác, ca nô đó chỉ mất 45 phút để đi xuôi dòng sông một quãng đường tương tự. Tính vận tốc thực của ca nô và vận tốc của dòng nước.

Lời giải:

Đổi 45 phút = $\frac{3}{4}$ giờ.

Gọi vận tốc của ca nô là x (km/h), vận tốc dòng nước là y (km/h). (x > y)

Ca nô đi ngược dòng sông một quãng đường 6 km thì hết $\frac{3}{2}$ giờ nên ta có:

$x-y=6:\frac{3}{2}=4$

Ca nô đó mất 45 phút ($\frac{3}{4}$ giờ) để đi xuôi dòng sông một quãng đường tương tự nên ta có: $x+y=6:\frac{3}{4}=8$

Ta được hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{c}x+y=8\\ x-y=4\end{array}\right.$

Cộng từng vế hai phương trình ta được:

2x = 12 hay $x=\frac{12}{2}=6$.

Thay vào phương trình thứ nhất ta được:

6 + y = 8 hay y = 8 – 6 = 2.

Vậy vận tốc ca nô là 6 km/h và vận tốc dòng nước là 2 km/h.

Bài 1.19 trang 16 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Để pha chế 1 000 lít cồn nồng độ 16%, người ta trộn lẫn dung dịch cồn nồng độ 10% và dung dịch cồn nồng độ 70%. Tính số lít mỗi dung dịch cồn nồng độ 10% và nồng độ 70% cần dùng.

Lời giải:

Gọi x, y là số lít mỗi dung dịch cồn nồng độ 10% và nồng độ 70% cần dùng (x, y > 0).

Người ta cần pha chế 1 000 lít cồn nên ta có:

x + y = 1 000

Lượng cồn trong 1000 lít cồn nồng độ 16% là:

1000 . 16% = 160 (lít)

Ta có phương trình biểu diễn lượng cồn sau khi trộn lẫn hai dung dịch là:

0,1x + 0,7y = 160

Ta được hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{c}x+y=1 000\\ 0,1x+0,7y=160\end{array}\right.$

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 0,1 ta được:

$\left\{\begin{array}{c}0,1x+0,1y=100\\ 0,1x+0,7y=160\end{array}\right.$

Trừ từng phế của phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất ta được:

0,6y = 60 hay $y=\frac{60}{0,6}=100$

Thay vào phương trình thứ nhất ta được:

x + 100 = 1 000 hay x = 1 000 – 100 = 900

Vậy để pha 1 000 lít cồn nồng độ 16% cần dùng 900 lít cồn nồng độ 10% và 100 lít cồn nồng độ 70%.

Bài 1.20 trang 16 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Chị Hương tập thể dục vào mỗi buổi sáng trong vòng 40 phút. Chị ấy kết hợp giữa thể dục nhịp điệu giúp đốt cháy khoảng 11 calo mỗi phút và giãn cơ giúp đốt cháy khoảng 4 calo mỗi phút. Mục tiêu của chị là đốt cháy 335 calo trong mỗi buổi tập sáng của mình.

a) Viết hệ phương trình biểu thị thời gian chị dành cho mỗi hoạt động tập.

b) Từ hệ phương trình lập được ở câu a, tính thời gian chị nên dành cho mỗi hoạt động tập để đạt được mục tiêu của mình.

Lời giải:

a) Gọi x và y lần lượt là thời gian chị Hương tập thể dục nhịp điệu và giãn cơ (x, y > 0).

Chị Hương tập thể dục trong 40 phút nên ta có: x + y = 40.

Chị Hương đốt cháy 335 calo nên ta có: 11x + 4y = 335.

Ta được hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{c}x+y=40\\ 11x+4y=335\end{array}\right.$.

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với –11 ta được:

$\left\{\begin{array}{c}-11x-11y=-440\\ 11x+4y=335\end{array}\right.$.

Cộng hai vế của hai phương trình ta được:

–7y = –105 hay $y=\frac{-105}{-7}=15$.

Thay vào phương trình thứ nhất ta được:

x + 15 = 40 hay x = 40 – 15 = 25.

Vậy mỗi sáng chị Hương tập thể dục nhịp điệu trong 25 phút và giãn cơ trong 15 phút.

Bài 1.21 trang 17 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Chi phí để anh Hưng và ban nhạc của anh thu âm đĩa CD đầu tiên là 30 triệu đồng và mỗi đĩa CD sẽ có giá 8 nghìn đồng để sản xuất. Nếu ban nhạc bán đĩa CD của mình với giá 20 nghìn đồng mỗi đĩa thì phải bán bao nhiêu đĩa để hoà vốn (tức là doanh thu bằng với chi phí thu âm và sản xuất)?

Lời giải:

Gọi x là số đĩa CD mà anh Hưng và ban nhạc cần bán để hòa vốn (x ∈ ℕ*).

Gọi y là số tiền anh Hưng và ban nhạc cần thu được để hòa vốn (y > 0).

Số tiền để thu âm và sản xuất các đĩa nhạc là:

30 000 000 + 8 000x = y hay –8 000x + y = 30 000 000

Số tiền thu được khi bán mỗi đĩa với giá 20 nghìn đồng là:

20 000x = y hay 20 000x – y = 0

Ta được hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{c}-8 000x+y=30 000 000\\ 20 000x-y=0\end{array}\right.$

Cộng từng vế hai phương trình ta được:

12 000x = 30 000 000 hay x = $\frac{30 000 000}{12 000}=2 500$.

Thay vào phương trình thứ nhất ta được:

–8 000 . 2 500 + y = 30 000 000

Hay y = 30 000 000 + 8 000 . 2 500 = 50 000 000.

Vậy cần phải bán 2500 đĩa CD với giá 20 nghìn đồng để hòa vốn và số tiền khi hòa vốn là 50 triệu đồng.

Bài 1.22 trang 17 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Một cửa hàng sách có hai khu sách mới và sách cũ, mỗi khu được bán đồng giá. Mai chi 112 500 đồng để mua 3 cuốn sách mới và 4 cuốn sách cũ, còn Linh chi 157 500 đồng đề mua 10 cuốn sách cũ và 3 cuốn sách mới. Tính giá mỗi cuốn sách mới và giá mỗi cuốn sách cũ.

Lời giải:

Gọi x, y lần lượt là giá của một cuốn sách mới và một cuốn sách cũ (x, y > 0).

Số tiền Mai chi để mua sách là: 3x + 4y = 112 500

Số tiền Linh chi để mua sách là: 3x + 10y = 157 500.

Ta được hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{c}3x+4y=112 500\\ 3x+10y=157 500\end{array}\right.$.

Trừ từng vế phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất ta được:

6y = 45 000 hay $y=\frac{45 000}{6}=7 500$.

Thay vào phương trình thứ nhất ta được:

3x + 4 . 7500 = 112 500 hay 3x + 30 000 = 112 500.

Suy ra $x=\frac{112 500-30 000}{3}=27 500$.

Vậy giá một cuốn sách mới là 27 500 đồng, giá một cuốn sách cũ là 7 500 đồng.

Bài 1.23 trang 17 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Chuyến bay thẳng của hãng hàng không Delta Air Lines (một hãng hàng không của Mỹ) trên chặng Atlanta – Paris dài 4 000 dặm, mất khoảng 8 giờ để đi từ Atlanta đến Paris (đi về phía đông) và mất 10 giờ đề đi từ Paris đến Atlanta (đi về phía tây). Mặc dù máy bay có vận tốc riêng (tức là vận tốc so với không khí) không đổi, nhưng có gió ngược khi di chuyển về phía tây và gió thuận khi di chuyển về phía đông nên vận tốc của máy bay so với mặt đất là khác nhau tuỳ vào hướng di chuyền của máy bay. Tính vận tốc riêng của máy bay và vận tốc gió.

Lời giải:

Gọi x (dặm/giờ) là vận tốc riêng của máy bay;

y (dặm/giờ) là vận tốc của gió (x > y > 0).

Máy bay mất khoảng 8 giờ để đi từ Atlanta đến Paris (đi về phía đông) nên ta có:

x + y = 4000 : 8 = 500.

Máy bay mất khoảng 10 giờ để đi từ Paris đến Atlanta (đi về phía tây) nên ta có:

x – y = 4000 : 10 = 400.

Ta được hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{c}x+y=500\\ x-y=400\end{array}\right.$.

Cộng hai vế của hai phương trình ta được:

2x = 900 hay $x=\frac{900}{2}=450$.

Thay vào phương trình đầu tiên ta được:

450 + y = 500 hay y = 500 – 450 = 50.

Vậy vận tốc riêng của máy bay là 450 dặm/giờ, vận tốc gió là 50 dặm/giờ.

Bài 1.24 trang 17 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Hùng dự định chạy 4 km trong tuần tập luyện đầu tiên và tăng quãng đường chạy thêm 1 km mỗi tuần. Trong khi đó, Huy lại dự định sẽ bắt đầu chạy 1 km trong tuần đầu tiên và sau đó tăng thêm 2 km mỗi tuần. Hỏi ở tuần thứ bao nhiêu thì hai người có tổng quãng đường chạy là bằng nhau và quãng đường đó là bao nhiêu kilômét?

Lời giải:

Giả sử ở tuần thứ n thì hai người có tổng quãng đường chạy là bằng nhau và quãng đường đó là x kilômét (n, d > 0, n ∈ ℕ*).

Quãng đường Hùng chạy được ở tuần thứ n là:

4 + 1 . (n – 1) = 3 + n = d hay –n + d = 3

Quãng đường Huy chạy được ở tuần thứ n là:

1 + 2(n – 1) = 2n – 1 = d hay 2n – d = 1

Ta được hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{c}-n+d=3\\ 2n-d=1\end{array}\right.$.

Cộng từng vế của hai phương trình ta được: n = 4.

Thay vào phương trình thứ nhất ta được:

–4 + d = 3 hay d = 3 – (–4) = 7.

Vậy hai người có tổng quãng đường chạy bằng nhau là 7 km ở tuần thứ 4.

Lý thuyết Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Các bước giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Bước 1. Lập hệ phương trình:

– Chọn ẩn số (thường chọn hai ẩn số) và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số;

– Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;

Bước 2. Giải hệ phương trình.

Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm tìm được của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn, nghiệm nào không thỏa mãn điều kiện của ẩn, rồi kết luận.

Ví dụ: Bác Phương chia số tiền 800 triệu đồng của mình cho hai khoản đầu tư. Sau một năm, tổng số tiền lãi thu được là 54 triệu đồng. Lãi suất cho khoản đầu tư thứ nhất là 6%/năm và khoản đầu tư thứ hai là 8%/năm. Tính số tiền bác Phương đầu tư cho mỗi khoản.

Hướng dẫn giải

⦁ Gọi số tiền bác Phương đã đầu tư cho khoản thứ nhất và thứ hai lần lượt là x, y (triệu đồng) (0 < x < 800, 0 < y < 800).

Theo bài, tổng số tiền cho hai khoản đầu tư là 800 triệu đồng nên ta có phương trình:

x + y = 800.

Số tiền lãi thu được mỗi năm từ khoản đầu tư thứ nhất là x.6% = 0,06x (triệu đồng).

Số tiền lãi thu được mỗi năm từ khoản đầu tư thứ hai là x.8% = 0,08y (triệu đồng).

Theo bài, tổng số tiền lãi thu được là 54 triệu đồng nên ta có phương trình:

0,06x + 0,08y = 54, hay 3x + 4y = 2 700.

Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x+y=800\\ 3x+4y=2700.\end{array}\right.$

⦁ Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x+y=800\\ 3x+4y=2700.\end{array}\right.$

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 4, ta được hệ phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}4x+4y=3200\\ 3x+4y=2700.\end{array}\right.$

Trừ hai vế của hai phương trình trên, ta nhận được: x = 500.

Thay x = 500 vào phương trình x + y = 800, ta có 500 + y = 800. (1)

Giải phương trình (1):

500 + y = 800

y = 300.

⦁ Các giá trị tìm được của x và y thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Trả lời: Số tiền bác Phương đã đầu tư cho khoản thứ nhất là 500 triệu đồng và cho khoản thứ hai là 300 triệu đồng.