Sách bài tập Toán 9 Bài 4 (Kết nối tri thức): Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Giải SBT Toán 9 Bài 4: Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 2.1 trang 22 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Giải các phương trình sau:

a) (x + 2)² – (2x + 1)(x + 2) = 0;

b) 16x² – (3x + 2)² = 0.

Lời giải:

a) (x + 2)² – (2x + 1)(x + 2) = 0

(x + 2)[(x+2) – (2x + 1)] = 0

(x + 2)(1 – x) = 0

x + 2 = 0 hoặc 1 – x = 0.

⦁ Với x + 2 = 0 suy ra x = 0 – 2 = –2.

⦁ Với 1 – x = 0 suy ra x = 1 – 0 = 1.

Vậy phương trình có hai nghiệm là x = –2 và x = 1.

b) 16x² – (3x + 2)² = 0

(4x)² – (3x + 2)² = 0

[4x – (3x + 2)][4x + (3x + 2)] = 0

(x – 2)(7x + 2) = 0

x – 2 = 0 hoặc 7x + 2 = 0.

⦁ Với x – 2 = 0 suy ra x = 0 + 2 = 2.

⦁ Với 7x + 2 = 0 suy ra $x=\frac{-2}{7}$.

Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 2 và x = $\frac{-2}{7}$.

Bài 2.2 trang 23 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Giải các phương trình sau:

a) x³ + 3x² – 8 = x³ + 2x² – 7;

b) x(2x – 5) = (2x + 1)(5 – 2x).

Lời giải:

a) x³ + 3x² – 8 = x³ + 2x² – 7

(x³ + 3x² – 8) – (x³ + 2x² – 7) = 0

x² – 1 = 0

(x – 1)(x + 1) = 0

x – 1 = 0 hoặc x + 1 = 0.

⦁ Với x – 1 = 0 suy ra x = 0 + 1 = 1.

⦁ Với x + 1 = 0 suy ra x = 0 – 1 = –1.

Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 1 và x = –1.

b) x(2x – 5) = (2x + 1)(5 – 2x)

x(2x – 5) – (2x + 1)(5 – 2x) = 0

x(2x – 5) + (2x + 1)(2x – 5) = 0

(2x – 5)[x + (2x + 1)] = 0

(2x – 5)(3x + 1) = 0

2x – 5 = 0 hoặc 3x + 1 = 0.

⦁ Với 2x – 5 = 0 suy ra $x=\frac{5}{2}$.

⦁ Với 3x +1 = 0 suy ra $x=-\frac{1}{3}$.

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x=\frac{5}{2}$ và $x=-\frac{1}{3}$.

Bài 2.3 trang 23 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Giải các phương trình sau:

a) x² + x = –6x – 6;

b) 2x² – 2x = x – 1.

Lời giải:

a) x² + x = –6x – 6;

x² + x – (–6x – 6) = 0

x² + x + (6x + 6) = 0

x(x + 1) + 6(x + 1) =0

(x + 6)(x + 1) = 0

x + 6 = 0 hoặc x + 1 = 0.

⦁ Với x + 6 = 0 suy ra x = –6.

⦁ Với x + 1 = 0 suy ra x = –1.

Vậy phương trình có hai nghiệm là x = –6 và x = –1.

b) 2x² – 2x = x – 1

2x(x – 1) = x – 1

2x(x – 1) – (x – 1) = 0

(2x – 1)(x – 1) = 0

2x – 1 = 0 hoặc x – 1 = 0.

⦁ Với 2x – 1 = 0 suy ra $x=\frac{1}{2}$.

⦁ Với x – 1 = 0 suy ra x = 1.

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x=\frac{1}{2}$ và x = 1.

Bài 2.4 trang 23 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Giải các phương trình sau:

a) $\frac{5x-1}{3x+2}-\frac{5x+2}{3x}=0$;

b) $\frac{6x-5}{2x-1}-\frac{9x}{3x-1}=0$.

Lời giải:

a) $\frac{5x-1}{3x+2}-\frac{5x+2}{3x}=0$

ĐKXĐ: 3x + 2 ≠ 0 và 3x ≠ 0 hay $x\ne -\frac{2}{3}$ và x ≠ 0.

Quy đồng mẫu số ta được:

$\frac{\left(5x-1\right).3x}{\left(3x+2\right).3x}-\frac{\left(5x+2\right).\left(3x+2\right)}{3x.\left(3x+2\right)}=0$

$\frac{\left(5x-1\right).3x-\left(5x+2\right).\left(3x+2\right)}{\left(3x+2\right).3x}=0$

(5x – 1).3x – (5x + 2)(3x + 2) = 0

15x² – 3x – 15x² – 6x – 10x – 4 = 0

–19x – 4 = 0

$x=-\frac{4}{19}$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x=-\frac{4}{19}$.

b) $\frac{6x-5}{2x-1}-\frac{9x}{3x-1}=0$

ĐKXĐ: 2x – 1 ≠ 0 và 3x – 1 ≠ 0 hay $x\ne \frac{1}{2}$ và $x\ne \frac{1}{3}$.

Quy đồng mẫu số ta được:

$\frac{\left(6x-5\right)\left(3x-1\right)-9x.\left(2x-1\right)}{\left(2x-1\right)\left(3x-1\right)}=0$

(6x – 5)(3x – 1) – 9x(2x – 1) = 0

(18x² – 21x + 5) – (18x² – 9x) = 0

–12x + 5 = 0

$x=\frac{5}{12}$.

Vậy phương trình có nghiệm là $x=\frac{5}{12}$.

Bài 2.5 trang 23 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Giải các phương trình sau:

a) $\frac{3}{x+2}+\frac{x}{x^2-2x+4}=\frac{4x^2}{x^3+8}$;

b) $\frac{3}{2x+1}+\frac{7}{3x+2}=\frac{21x+10}{\left(2x+1\right)\left(3x+2\right)}$.

Lời giải:

a) $\frac{3}{x+2}+\frac{x}{x^2-2x+4}=\frac{4x^2}{x^3+8}$

ĐKXĐ: x + 2 ≠ 0 hay x ≠ –2.

Quy đồng mẫu số ta được:

$\frac{3.\left(x^2-2x+4\right)+x\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)}=\frac{4x^2}{x^3+8}$

$\frac{\left(3x^2-6x+12\right)+x^2+2x}{x^3+8}=\frac{4x^2}{x^3+8}$

(3x² – 6x + 12) + x² + 2x = 4x²

4x² – 4x + 12 = 4x²

–4x + 12 = 0

$x=\frac{-12}{-4}$

x = 3

Vậy phương trình có nghiệm x = 3.

b) $\frac{3}{2x+1}+\frac{7}{3x+2}=\frac{21x+10}{\left(2x+1\right)\left(3x+2\right)}$

ĐKXĐ: 2x + 1 ≠ 0 và 3x + 2 hay $x\ne -\frac{1}{2}$ và $x\ne -\frac{2}{3}$.

Quy đồng mẫu số ta được:

$\frac{3\left(3x+2\right)+7\left(2x+1\right)}{\left(2x+1\right)\left(3x+2\right)}=\frac{21x+10}{\left(2x+1\right)\left(3x+2\right)}$

3(3x + 2) + 7(2x + 1) = 21x + 10

9x + 6 + 14x + 7 – (21x + 10) = 0

2x + 3 = 0

$x=-\frac{3}{2}$

Vậy phương trình có nghiệm $x=-\frac{3}{2}$.

Bài 2.6 trang 23 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Một vật rơi tự do từ độ cao so với mặt đất là 120 mét. Bỏ qua sức cản không khí, quãng đường chuyển động s (mét) của vật rơi tự do sau thời gian t được biểu diễn gần đúng bởi công thức s = 4,9t², trong đó t là thời gian tính bằng giây. Sau bao nhiêu giây kể từ khi bắt đầu rơi thì vật này chạm mặt đất (làm tròn kết quả đến chữ số hàng đơn vị)?

Lời giải:

Thời gian t (giây) (x > 0) để vậy chạm đấy là nghiệm của phương trình:

4,9t² = 120

t² = 120 : 4,9

t² ≈ 24,49

t ≈ 5 (giây).

Vậy sau 5 giây kể từ khi bắt đầu rơi thì vật này chạm mặt đất.

Lý thuyết Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

1. Phương trình tích

Để giải phương trình (ax + b)(cx + d) = 0, ta giải hai phương trình ax + b = 0 và cx + d = 0. Sau đó lấy tất cả các nghiệm của chúng.

Ví dụ 1. Giải các phương trình:

a) 2x(5x + 1) = 0;

b) (2x + 4)(3x + 7) = 0.

Hướng dẫn giải

a) Ta có 2x(5x + 1) = 0

Nên 2x = 0 hoặc 5x + 1 = 0

• 2x = 0, suy ra x = 0.

• 5x + 1 = 0 hay 5x = –1, suy ra $x=-\frac{1}{5}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0 và $x=-\frac{1}{5}$

b) Ta có (2x + 4)(3x + 7) = 0

Nên 2x + 4 = 0 hoặc 3x + 7 = 0.

• 2x + 4 = 0 hay 2x = –4, suy ra x = –2.

• 3x + 7 = 0 hay 3x = –7, suy ra $x=-\frac{7}{3}$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = –2 và $x=-\frac{7}{3}$.

Nhận xét: Để giải phương trình, ta thực hiện theo hai bước:

Bước 1. Đưa phương trình về phương trình tích (ax + b)(cx + d) = 0.

Bước 2. Giải phương trình tích tìm được.

Ví dụ 2. Giải các phương trình:

a) (2x + 1)² – 9x² = 0;

b) x² – 2x = 3x – 6.

Hướng dẫn giải

a) Biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích như sau:

(3x + 1)² – 16x² = 0

(3x + 1)² – (4x)² = 0

(3x + 1 + 4x)(3x + 1 – 4x) = 0

(7x + 1)(–x + 1) = 0

Ta giải hai phương trình sau:

• 7x + 1 = 0 hay 7x = –1, suy ra $x=\frac{-1}{7}$

• –x + 1 = 0 hay –x = –1, suy ra x = 1.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=\frac{-1}{7}$ và x = 1.

b) Biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích như sau:

x² – 2x = 3x – 6

x² – 2x – 3x + 6 = 0

(x² – 2x) – (3x – 6) = 0

x(x – 2) – 3(x – 2) = 0

(x – 2)(x – 3) = 0

Ta giải hai phương trình sau:

• x – 2 = 0 suy ra x = 2.

• x – 3 = 0 suy ra x = 3.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 2 và x = 3.

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

2.1. Điều kiện xác định của một phương trình

Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta thường đặt điều kiện cho ẩn để tất cả các mẫu thức trong phương trình đều khác 0 và gọi là điều kiện xác định (viết tắt là ĐKXĐ) của phương trình.

Ví dụ 3. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:

a) $\frac{5x-4}{x-3}=1;$

b) $\frac{x-1}{x-5}=\frac{1}{2x+3}-\frac{2}{5}$

Hướng dẫn giải

a) Vì x – 3 ≠ 0 hay x ≠ 3 nên ĐKXĐ của phương trình$\frac{5x-4}{x-3}=1$ là x ≠ 3.

b) Ta có x – 5 ≠ 0 khi x ≠ 5 và 2x + 3 ≠ 0 khi $x\ne \frac{-3}{2}$ nên ĐKXĐ của phương trình $\frac{x-1}{x-5}=\frac{1}{2x+3}-\frac{2}{5}$ là x ≠ 5 và $x\ne \frac{-3}{2}$.

2.2. Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

Bước 3. Giải phương trình vừa tìm được.

Bước 4 (Kết luận). Trong các giá trị tìm được của ẩn ở Bước 3, giá trị nào thỏa mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ 4. Giải các phương trình:

a) $\frac{x-4}{x+1}+\frac{x}{2x-1}=0;$

b) $\frac{x-1}{x+2}-\frac{x}{x-2}=\frac{4-6x}{x^2-4}$.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định: x ≠ –1 và $x\ne \frac{1}{2}$.

Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được

$\frac{x-4}{x+1}+\frac{x}{2x-1}=0$

$\frac{\left(x-4\right)\left(2x-1\right)}{\left(x+1\right)\left(2x-1\right)}+\frac{x\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(2x-1\right)}=0$

Suy ra (x – 4)(2x – 1) + x(x + 1) = 0

(2x² – 8x – x + 4) + (x² + x) = 4 – 6x

x² – 9x + 4 + x² + x = 4 – 6x

2x² – 8x + 4 = 4 – 6x

2x² – 8x + 6x = 4 – 4

2x² -2x = 0

2x(x – 1) = 0

2x = 0 hoặc x – 1 = 1

x = 0 (thỏa mãn ĐKXĐ) hoặc x = 1(thỏa mãn ĐKXĐ).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0 và x = 1.

b) Điều kiện xác định: x ≠ 2 và x ≠ –2.

Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được

$\frac{x-1}{x+2}-\frac{x}{x-2}=\frac{4-6x}{x^2-4}$

$\frac{x-1}{x+2}-\frac{x}{x-2}=\frac{4-6x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$

$\frac{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\frac{x\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{4-6x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$

Suy ra (x – 1)(x – 2) – x(x + 2) = 4 – 6x

(x² – 3x + 2) – (x² + 2x) = 4 – 6x

x² – 3x + 2 – x² – 2x = 4 – 6x

–5x + 2 = 4 – 6x

6x - 5x = 4 - 2

x = 2 (không thỏa mãn ĐKXĐ).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.