Sách bài tập Toán 9 (Kết nối tri thức) Bài tập cuối chương 5 trang 69

Giải SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 5 trang 69

A. Trắc nghiệm

Bài 1 trang 69 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn $\left(O;\sqrt{5}\right)$, hai điểm $A\left(-\sqrt{3};1\right)$ và B(–1; 2). Khi đó xảy ra:

A. Điểm A nằm trong (O), điểm B nằm ngoài (O).

B. Điểm A nằm trong (O), điểm B nằm trên (O).

C. Điểm A nằm trên (O), điểm B nằm trong (O).

D. Điểm A nằm ngoài (O), điểm B nằm trên (O).

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có:

$OA=\sqrt{{\left|-\sqrt{3}\right|}^2+{\left|1\right|}^2}=\sqrt{4}<\sqrt{5}$ nên A nằm trong (O).

$OB=\sqrt{{\left|-1\right|}^2+{\left|2\right|}^2}=\sqrt{5}$ nên B nằm trên (O).

Bài 2 trang 70 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đường thẳng xy cắt đường tròn (O) tại hai điểm A và B (H.5.10). Khi đó, các điểm thuộc đường thẳng xy và nằm trong đường tròn (O) là:

A. Các điểm thuộc tia AB.

B. Các điểm thuộc tia By.

C. Các điểm thuộc đoạn AB.

D. Các điểm nằm giữa A và B.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

+ Các điểm thuộc đường thẳng xy và nằm trong đường tròn (O) là các điểm nằm giữa A và B.

+ Hai điểm A và B nằm trên (O), không nằm trong (O).

+ Các điểm thuộc đường thẳng xy và không nằm trong đoạn AB thì nằm ngoài (O).

Bài 3 trang 70 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho Hình 5.11, trong đó tất cả các cung AB, BC, CD, DE, EG và GA đều có số đo bằng 60°. Khi đó:

A. Điểm đối xứng với A qua CG là B.

B. Điểm đối xứng với A qua CG là D.

C. Điểm đối xứng với A qua CG là E.

D. Điểm đối xứng với A qua CG là G.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Do OE = OA nên tam giác OEA cân tại O.

Cung AG và EG đều có số đo bằng 60° nên $\widehat{EOG}=\widehat{AOG}$

Suy ra OG là phân giác tại O của tam giác AOE cân tại O, đồng thời cũng là đường trung trực của AE.

Do đó E là điểm đối xứng với A qua OG (hay CG).

Bài 4 trang 70 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Độ dài L (đơn vị cm) của cung tròn và diện tích S của hình quạt tròn (đơn vị cm²) có cùng bán kính 9 cm và cùng ứng với cung 280° là:

A. L = 7π và S = 63π.

B. L = 14π và S = 63π.

C. L = 7π và S = 28π.

D. L = 14π và S = 28π.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Độ dài cung tròn đó là:

$\frac{n}{180}\cdot \pi R=\frac{280}{180}\pi \cdot 9=14\pi$ (cm)

Diện tích hình quạt tròn đó là:

$\frac{n}{360}\pi R^2=\frac{280}{360}\pi {.9}^2=63\pi$ (cm²)

Bài 5 trang 70 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho góc nhọn xOy và điểm M nằm trong góc đó. Biết rằng M nằm cách Ox một khoảng bằng 3 cm và cách Oy một khoảng bằng 2 cm. Khi đó

A. Nếu đường tròn (M) tiếp xúc với Ox thì (M) cắt Oy.

B. Nếu đường tròn (M) tiếp xúc với Ox thì (M) cũng tiếp xúc với Oy.

C. Nếu đường tròn (M) tiếp xúc với Ox thì (M) không giao nhau với Oy.

D. Nếu đường tròn (M) tiếp xúc với Oy thì cắt Ox.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Nếu đường tròn (M) tiếp xúc Ox thì đường tròn đó là (M; 3 cm).

Khoảng cách từ M đến Oy là 2 cm < 3 cm nên khi đó (M) cắt Oy.

Bài 6 trang 70 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hai điểm A và B sao cho AB = 7 cm và đường tròn (B; 4 cm). Khi đó:

A. Hai đường tròn (A; R) và (B) cắt nhau nếu R < 11 cm.

B. Hai đường tròn (A; R) và (B) cắt nhau nếu R > 3 cm.

C. Hai đường tròn (A; R) và (B) không giao nhau nếu R > 11 cm.

D. Hai đường tròn (A; R) và (B) không giao nhau nếu R ≤ 3 cm.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Nếu R > 11 cm thì AB = 7 cm < 11 cm = R nên hai đường tròn (A; R) và (B) không cắt nhau.

B. Tự luận

Bài 5.27 trang 71 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB < AC và đường cao AH (H.5.12).

a) Trong các điểm B, H và C, điểm nào nằm trong, điểm nào nằm trên và điểm nào nằm ngoài đường tròn (A; AB)? Vì sao?

b) Xác định vị trí của điểm D trên đoạn AC trong mỗi trường hợp sau:

• Đường tròn (A) và đường tròn (C; CD) tiếp xúc với nhau;

• Đường tròn (A) và đường tròn (C; CD) cắt nhau;

• Đường tròn (A) và đường tròn (C; CD) không giao nhau.

Lời giải:

Dễ thấy điểm B nằm trên (A; AB).

Do AC > AB nên điểm C nằm ngoài (A; AB).

Trong tam giác AHB vuông tại H, AH là cạnh góc vuông, AB là cạnh huyền.

Nên AH < AB, suy ra H nằm trong (A; AB).

b) Do điểm C nằm ngoài (A; AB) nên AC cắt đường tròn tại một điểm nằm giữa A và C. Gọi giao điểm của AC và (A; AB) là M.

Khi đó ta có:

– Hai đường tròn (A) và (C; CD) tiếp xúc với nhau khi D trùng với M;

– Hai đường tròn (A) và (C; CD) cắt nhau khi D nằm giữa A và M;

– Hai đường (A) và (C; CD) không giao nhau khi D nằm giữa C và M.

Bài 5.28 trang 71 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD).

a) Chứng minh rằng đường trung trực d của AB cũng là đường trung trực của CD (từ đó suy ra hai điểm A và B đối xứng với nhau, C và D đối xứng với nhau qua d).

b) Giải thích tại sao nếu một đường tròn đi qua 3 điểm A, B và C thì nó cũng đi qua điểm D.

Lời giải:

a) TH1: DA // CB

Do ABCD là hình thang cân mà DA // CB nên ABCD là hình chữ nhật.

Do đó đường trung trực d của AB cũng là đường trung trực của CD. (đpcm)

TH2: DA và CB cắt nhau tại S.

Mà ABCD là hình thang cân nên $\widehat{SAB}=\widehat{SBA}=\widehat{SDC}=\widehat{SCD}$

Suy ra SAB và SDC cân tại S (hai góc ở đáy bằng nhau).

Do đó trong tam giác SAB cân tại S, đường trung trực d của AB cũng là đường phân giác của góc S.

Trong tam giác SCD cân tại S, đường phân giác d của góc S cũng là đường trung trực của CD.

Vậy đường trung trực d của AB cũng là đường trung trực của CD. (đpcm)

b) Giả sử O là tâm đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C.

Khi đó OA = OB, suy ra đường trung trực d của AB đi qua O.

Mà đường trung trực của AB cũng là đường trung trực của CD nên O cũng nằm trên đường trung trực của CD.

Từ đó suy ra OC = OD.

Vậy D cũng thuộc đường tròn (O). (đpcm)

Bài 5.29 trang 71 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Giả sử CD là một dây song song với đường kính AB của đường tròn (O) sao cho ABCD là một tứ giác lồi. Gọi E là trung điểm của đoạn CD.

a) Chứng minh rằng A đối xứng với B và C đối xứng với D qua đường thẳng OE.

b) Chứng minh rằng tứ giác ABCD là một hình thang cân.

c) Biết rằng AB = 12 cm và $\widehat{COD}=100°$. Tính độ dài cung (nhỏ) AD và cung (lớn) ABC.

d) Với giả thiết ở câu c, tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ BD.

Lời giải:

a) Vì E là trung điểm của CD nên EC = ED.

Vì C và D nằm trên (O) nên OC = OD.

Do đó OE là đường trung trực của CD hay C và D đối xứng với nhau qua OE. (đpcm)

Từ đó suy ra OE ⊥ CD.

Mà CD // AB nên OE ⊥ AB.

Mặt khác OA = OB nên OE cũng là đường trung trực của AB, hay A và B đối xứng với nhau qua OE. (đpcm)

b) Vì OC = OD nên tam giác OCD cân tại O và OE là đường trung trực nên cũng là đường phân giác của góc COD hay ${\widehat{O}}_2={\widehat{O}}_3$.

Suy ra: $\widehat{AOC}=\widehat{AOE}+\widehat{EOC}=90°+{\widehat{O}}_3={\widehat{O}}_2+90°$$=\widehat{DOE}+\widehat{EOB}=\widehat{DOB}$

Hai tam giác AOC và DOB cân tại O có:

Các cạnh bên bằng nhau (OA = OB = OC = OD và bằng bán kính đường tròn (O))

Góc ở đỉnh bằng nhau ($\widehat{AOC}=\widehat{DOB}$).

Suy ra ∆AOC = ∆DOB, vì vậy AC = DB.

Vậy hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo bằng nhau nên ABCD là hình thang cân.

c) Do đường kính AB = 12 cm độ dài bán kính đường tròn (O) là:

12 : 2 = 6 (cm)

Ta có: ${\widehat{O}}_2={\widehat{O}}_3=\frac{\widehat{COD}}{2}=\frac{100°}{2}=50°$

$\widehat{AOC}=\widehat{AOE}+{\widehat{O}}_2=90°+50°=140°$

Số đo cung nhỏ AD là:

$sđ\stackrel{⏜}{AD}=\widehat{AOD}=90°-{\widehat{O}}_2=90°-50°=40°$

Độ dài cung nhỏ AD là:

$\frac{n}{180}\pi R=\frac{40}{180}.\pi .6=\frac{4}{3}\pi$(cm)

Số đo cung lớn ABC là:

sđ $\stackrel{⏜}{ABC}=360°-\widehat{AOC}=360°-140°=220°$

Độ dài cung lớn ABC là:

$\frac{n}{180}\pi R=\frac{220}{180}\pi \cdot 6=\frac{22}{3}\pi$ (cm)

Vậy độ dài cung nhỏ AD là $\frac{4}{3}\pi$cm và độ dài cung lớn ABC là $\frac{22}{3}\pi$cm.

d) Ta có $\widehat{BOD}=\widehat{BOE}+\widehat{O_2}=90°+50°=140°$

Diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ BD là:

$\frac{n}{360}\pi R^2=\frac{140}{360}\pi \cdot 6^2=14\pi$ (cm²)

Vậy diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ BD là 14π cm².

Bài 5.30 trang 71 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác vuông ABC $\left(\widehat{A}=90°\right)$ có $\widehat{C}=30°$ và AB = 3 cm. Đường phân giác của góc B cắt AC tại D.

a) Chứng minh rằng đường tròn (D; DA) tiếp xúc với cạnh BC.

b) Tính độ dài cung nằm trong góc BDC của đường tròn (D; DA) và diện tích hình quạt tròn tương ứng với cung ấy.

c) Tính diện tích hình vành khuyên tạo bởi hai đường tròn (D; DA) và (D; DC).

Lời giải:

a) Kẻ đường vuông góc từ D xuống BC cắt BC tại E.

Do BD là đường phân giác của hóc ABC nên DA = DE.

Vậy E nằm trên đường tròn (D; DA) hay (D; DA) tiếp xúc với cạnh BC. (đpcm)

b) Tam giác ABC vuông tại A nên ta có:

$\widehat{ABC}=90°-\widehat{ACB}=90°-30°=60°$

DB là phân giác của góc ABC nên ta có:

$\widehat{ABD}=\widehat{DBC}=\frac{\widehat{ABC}}{2}=\frac{60°}{2}=30°$

Xét tam giác BDC ta có:

$\widehat{BDC}=180°-\widehat{DBC}-\widehat{DCB}=180°-30°-30°=120°$

Xét ta giác ABD vuông tại A ta có:

$AD=AB\tan 30°=3.\tan 30°=\sqrt{3}$ (cm)

Độ dài cung nằm trong góc BDC của đường tròn (D; DA) là:

$\frac{n}{180}\pi R=\frac{120}{180}\pi \cdot \sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi$ (cm)

Diện tích hình quạt tròn tương ứng với cung đó là:

$\frac{n}{360}\pi R^2=\frac{120}{360}\pi \cdot {\left(\sqrt{3}\right)}^2=\pi$ (cm²)

Độ dài cung nằm trong góc BDC của đường tròn (D; DA) là:

$\frac{n}{180}\pi R=\frac{120}{180}\pi \cdot \sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi$ (cm)

Vậy độ dài cung nằm trong góc BDC của đường tròn (D; DA) là $\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi$ cm và diện tích hình quạt tròn tương ứng với cung đó là π cm².

c) Do $\widehat{DBC}=\widehat{DCB}=30°$ nên tam giác DBC cân tại D, suy ra DC = DB.

Xét tam giác vuông ABD, ta có:

$BD=\frac{AB}{\cos \widehat{ABD}}=\frac{2}{\cos 30°}=2\sqrt{3}$ (cm), suy ra $DC=DB=2\sqrt{3}$cm).

Ta có đường tròn (D; DA) có bán kính DA = $\sqrt{3}$cm, đường tròn (D; DC) có bán kính $DC=2\sqrt{3}$cm.

Do đó diện tích hình vành khuyên tạo bởi hai đường tròn này là:

$\left[{\left(2\sqrt{3}\right)}^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2\right]\pi =9\pi$(cm²).

Vậy diện tích hình vành khuyên tạo bởi hai đường tròn (D; DA) và (D; DC) là 9π cm².

Bài 5.31 trang 71 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PA và PB đến đường tròn (A và B là hai tiếp điểm).

a) Chứng minh rằng PO ⊥ AB.

b) Gọi C là điểm đối xứng với A qua O. Chứng minh rằng BC // PO.

c) Tính độ dài các cạnh của tam giác PAB, biết OA = 3 cm và OP = 5 cm.

Lời giải:

a) Vì PA và PB là hai tiếp tuyến của (O) nên PA = PB, suy ra tam giác PAB cân tại P.

Vì PO là đường phân giác của góc APB nên đồng thời cũng là đường trung trực của AB.

Do đó PO ⊥ AB. (đpcm)

b) Vì C đối xứng với A qua O nên OC = OA.

Suy ra C nằm trên đường tròn (O) hay AC là đường kính của (O).

Mà B nằm trên đường tròn (O) nên tam giác ABC vuông tại B, suy ra BC ⊥ AB.

Mà PO ⊥ AB nên BC // PO. (đpcm)

c) PA là tiếp tuyến với (O) tại A nên PA ⊥ OA hay tam giác OAP vuông tại A.

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác OAP nên ta có:

$PA=\sqrt{O{P}^2-O{A}^2}=4$ (cm).

Theo câu A ta có PB = PA = 4 cm.

Gọi H là giao điểm của PO với AB.

Vì PO là trung trực của AB và H là giao điểm của PO với AB nên AH ⊥ PO hay tam giác AHP vuông tại H.

Xét tam giác OAP vuông tại A có AH là đường cao, ta có:

$\frac{{\rm A}H.OP}{2}=\frac{OA.PA}{2}$ (diện tích tam giác AOP)

Hay AH . OP = OA . PA

Suy ra $AH=\frac{OA.PA}{OP}=\frac{3.4}{5}=\mathrm{2,4}$(cm)

AB = 2AH = 2 . 2,4 = 4,8 (cm).

Vậy tam giác PAB có PA = PB = 4 cm và AB = 4,8 cm.

Bài 5.32 trang 72 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Từ B và từ C kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (A; AH) lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:

a) Hai điểm D và E đối xứng với nhau qua A;

b) DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC.

Lời giải:

a) Vì BC ⊥ AH tại H nên BC là tiếp tuyến với đường tròn (A; AH) tại H.

Mà BD là tiếp tuyến của (A; AH) nên AB là đường phân giác của góc DAH, hay $\widehat{DAH}=2\widehat{BAH}$

Tương tự với BC và CE, ta có $\widehat{HAE}=2\widehat{HAC}$

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$\widehat{BAH}+\widehat{HAC}=\widehat{BAC}=90°$

Do đó: $\widehat{DAH}+\widehat{HAE}=2\widehat{BAH}+2\widehat{HAC}$

$=2\left(\widehat{BAH}+\widehat{HAC}\right)=2.90°=180°$

Suy ra ba điểm D, A, E thẳng hàng.

Mà D và E đều nằm trên (A; AH) nên DE là đường kính của (A; AH) hay D và E đối xứng với nhau qua A. (đpcm)

b) Gọi O là trung điểm của BC.

Xét tam giác vuông ABC, ta thấy AO là đường trung tuyến nên OA = OB = OC.

Do đó đường tròn đường kính BC là đường tròn (O; OA).

Xét ∆ABC và ∆HBA có:

$\widehat{ABC}=\widehat{HBA}$ (góc chung)

$\widehat{BAC}=\widehat{AHB}=90°$

Suy ra ∆ABC ᔕ ∆HBA (g.g)

Tương tự, ta có ∆ABC ᔕ ∆HAC, suy ra ∆HBA ᔕ ∆HAC.

Xét ∆HAC và ∆EAC có:

Chung cạnh AC

$\widehat{AHC}=\widehat{AEC}=90°$

AH = AE (bán kính đường tròn (A; AH))

Suy ra ∆HAC = ∆EAC (c.g.c).

Do đó ∆HBA ᔕ ∆EAC, suy ra $\widehat{HBA}=\widehat{EAC}$ hay ${\widehat{B}}_1={\widehat{A}}_2$. (1)

Do OA = OC nên tam giác OAC cân tại A, suy ra $\widehat{OCA}=\widehat{OAC}$ hay ${\widehat{C}}_1={\widehat{A}}_1$. (2)

Mà tam giác ABC vuông tại A nên ${\widehat{A}}_1+{\widehat{A}}_2={\widehat{B}}_1+{\widehat{C}}_1=90°$

Suy ra $\widehat{OAE}=90°$ hay OA ⊥ AE.

Do đó DE tiếp xúc với đường tròn (O; OA) tại A. (đpcm)

Bài 5.33 trang 72 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O), đường thẳng a tiếp xúc với (O) tại A, đường thẳng b tiếp xúc với (O) tại B sao cho a // b. Gọi C là một điểm tuỳ ý thuộc (O), khác A và B. Tiếp tuyến c của (O) tại C cắt a và b lần lượt tại M và N.

a) Chứng minh AB là một đường kính của (O).

b) Gọi D, P và Q lần lượt là các điểm đối xứng với C, M và N qua tâm O. Chứng minh rằng $D\in \left(O\right), P\in b$ và $Q\in a$

c) Chứng minh rằng PQ tiếp xúc với (O) tại D.

d) Chứng minh tứ giác MNPQ là một hình thoi.

Lời giải:

a) MA, MN và BN là các tiếp tuyến của (O) nên

$\widehat{OAM}=\widehat{OCM}=\widehat{OBN}=\widehat{OCN}=90°$

+ Xét tứ giác ABMN có $\widehat{OAM}=\widehat{OBN}=90°$

Suy ra $\widehat{AMN}+\widehat{BNM}=180°$. (1)

+ Xét tứ giác AOCM có $\widehat{OAM}=\widehat{OCM}=90°$.

Suy ra $\widehat{AOC}+\widehat{AMC}=180°$. (2)

+ Xét tứ giác OBNC có $\widehat{OBN}=\widehat{OCN}=90°$.

Suy ra $\widehat{COB}+\widehat{CNB}=180°$. (3)

Từ (1), (2) và (3), suy ra $\widehat{AOC}+\widehat{COB}=180°$ hay A, O, B thẳng hàng.

Mà A và O nằm trên (O) nên AB là đường kính của (O). (đpcm)

b) Vì $C\in \left(O\right)$ và D đối xứng với C qua O nên $D\in \left(O\right)$. (đpcm)

Xét tứ giác AMBP có:

OA = OB (bán kính của (O))

OM = OP (P đối xứng với M qua O)

Suy ra hai đường chéo của tứ giác AMBP cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Do đó AMBP là hình bình hành, vì vậy BP // AM hay BP // a.

Mà b // a nên BP trùng với b hay $P\in b$. (đpcm)

Xét tứ giác AQBN có:

OA = OB (bán kính của (O))

ON = OQ (Q đối xứng với N qua O)

Suy ra hai đường chéo của tứ giác AQBN cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Do đó AQBN là hình bình hành, vì vậy AQ // BN hay AQ // b.

Mà b // a nên AQ trùng với a hay $Q\in a$. (đpcm)

c) Xét ∆COM và ∆DOP có:

OM = OP (M và PO đối xứng qua O)

OC = OD (C và D đối xứng qua O)

$\widehat{MOC}=\widehat{POD}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆COM = ∆DOP (c.g.c), suy ra $\widehat{PDO}=\widehat{MCO}=90°$

Tương tự, ta có ∆CON = ∆DOQ (c.g.c), suy ra $\widehat{QDO}=\widehat{NCO}=90°$

Do đó $\widehat{PDO}+\widehat{QDO}=90°+90°=180°$ hay P, D, Q thẳng hàng.

Mà $\widehat{PDO}=90°$ nên PQ là tiếp tuyến của (O) tại D.

d) Tứ giác MNPQ có hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường (do M và P, N và Q đối xứng với nhau qua O) nên MNPQ là hình bình hành.

Hai tiếp tuyến AM và CM của (O) cắt nhau tại M nên $\widehat{AOM}=\widehat{COM}$

Hai tiếp tuyến BN và CN của (O) cắt nhau tại N nên $\widehat{CON}=\widehat{BON}$

Từ đó ta có:

$\widehat{AOM}+\widehat{COM}+\widehat{CON}+\widehat{BON}=180°$

$2\left(\widehat{COM}+\widehat{CON}\right)=180°$

$\widehat{COM}+\widehat{CON}=90°$

Suy ra MP ⊥ NQ. Mà MNPQ là hình bình hành nên hai đường chéo của hình bình hành MNPQ vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Do đó MNPQ là hình thoi. (đpcm)

Bài 5.34 trang 72 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') tiếp xúc ngoài với nhau tại A, hai điểm $B\in \left(O\right)$ và $C\in \left(O\right)$ sao cho B và C nằm cùng phía đối với đường thẳng OO' và OB // O'C.

a) Chứng minh góc BAC là góc vuông.

b) Cho biết R = 3 cm, R' = 1 cm và BC cắt OO' tại D. Tính độ dài đoạn OD.

Lời giải:

a) Do OA = OB nên tam giác OAB cân tại O, suy ra ${\widehat{A}}_1={\widehat{B}}_1$

Từ đó ta có: ${\widehat{A}}_1+{\widehat{B}}_1+{\widehat{O}}_1=180°=2{\widehat{A}}_1+{\widehat{O}}_1,$ suy ra $2{\widehat{A}}_1=180°-{\widehat{O}}_1$. (1)

Do O'C = O'A nên tam giác O'AC cân tại O'. Tương tự như trên ta có:

$2{\widehat{A}}_2=180°-{\widehat{O\text{'}}}_1$ (2)

Từ (1) và (2), ta có: $2\left({\widehat{A}}_1+{\widehat{A}}_2\right)=360°-({\widehat{O}}_1+{\widehat{O\text{'}}}_1)$. (3)

Mà OB // O'C nên ${\widehat{O}}_2={\widehat{O\text{'}}}_1$(hai góc đồng vị).

Do ${\widehat{O}}_2+{\widehat{O}}_1=180°$ nên ${\widehat{O\text{'}}}_1+{\widehat{O}}_1=180°$.

Thay vào (3) ta được:

$2\left({\widehat{A}}_1+{\widehat{A}}_2\right)=360°-({\widehat{O}}_1+{\widehat{O\text{'}}}_1)=360°-180°=180°$ hay ${\widehat{A}}_1+{\widehat{A}}_2=\frac{180°}{2}=90°$

Từ đó suy ra $\widehat{BAC}=180°-({\widehat{A}}_1+{\widehat{A}}_2)=180°-90°=90°$

Do đó góc BAC là góc vuông. (đpcm).

b) Vì O'C // OB nên ∆DOB ᔕ ∆DO'C.

Do đó ta có $\frac{DO}{DO\text{'}}=\frac{OB}{O\text{'}C}=\frac{3}{1}=3$

Mà DO' = DO – OO' = DO – (OA + O'A) = DO – (3 + 1) = DO – 4 (cm).

Suy ra $\frac{DO}{DO-4}=3$ hay DO = 3(DO – 4). Khi đó DO = 6 cm.

Vậy độ dài đoạn OD là 6 cm.

Bài 5.35 trang 72 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn tâm O, đường kính MN. Một đường tròn (N) cắt (O) tại A và B.

a) Chứng minh rằng MA và MB là hai tiếp tuyến của (N).

b) Đường thẳng qua N và vuông góc với NA cắt MB tại C. Chứng minh hai điểm M và N đối xứng với nhau qua OC.

c) Đường thẳng qua M và vuông góc với MA cắt NB tại D. Chứng minh ba điểm O, C và D thẳng hàng.

Lời giải:

a) Vì MN là đường kính của (O), A là một điểm nằm trên (O) nên tam giác MAN vuông tại A hay MA ⊥ AN.

Mà A nằm trên (N) nên MA là tiếp tuyến tại A của (N). (đpcm)

Mặt khác, MN là đường kính của (O), B là một điểm nằm trên (O) nên tam giác MBN vuông tại A hay MB ⊥ BN.

Mà B nằm trên (N) nên MB là tiếp tuyến tại B của (N). (đpcm)

b) Vì AM ⊥ AN và CN ⊥ AN nên AM // CM, suy ra ${\widehat{M}}_1={\widehat{N}}_1$ (hai góc so le trong).

Mà MA và MN là hai tiếp tuyến của (N) nên MN là đường phân giác của góc AMB hay ${\widehat{M}}_1={\widehat{M}}_2$

Do đó ${\widehat{M}}_2={\widehat{M}}_1={\widehat{N}}_1$, suy ra tam giác CMN cân tại C.

Tam giác CMN cân tại C có OM = ON nên OC là trung tuyến của CO và đồng thời là trung trực của MN.

Vậy M và N đối xứng với nhau qua OC. (đpcm)

c) Do MD ⊥ MA và AN ⊥ AM nên MD // AN, do đó $\widehat{DNM}=\widehat{ANM}$.

Mà MA và MN là hai tiếp tuyến cắt nhau của (N) nên MN là đường phân giác của góc ANB. Do đó $\widehat{DNM}=\widehat{ANM}$

Tử đó suy ra $\widehat{DMN}=\widehat{DNM}=\widehat{ANM}$, do đó tam giác DMN cân tại D.

Tam giác DMN cân tại D nên D nằm trên đường trung trực CO của MN hay ba điểm O, C, D thẳng hàng. (đpcm).