Sách bài tập Toán 9 Bài 12 (Kết nối tri thức): Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

Giải SBT Toán 9 Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

Bài 4.18 trang 49 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH. Hãy tính cos C theo hai cách và suy ra AC² = BC . HC.

Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A ta có: $\cos C=\frac{AC}{BC}$

Xét tam giác HAC vuông tại H ta có: $\cos C=\frac{HC}{AC}$

Suy ra $\frac{AC}{BC}=\frac{HC}{AC}$, hay AC² = BC . HC (đpcm).

Bài 4.19 trang 49 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Gọi AH là đường cao của tam giác ABC vuông tại A. Tính $\tan \widehat{ABH}$ và $\tan \widehat{CAH}$, suy ra AH² = BH . CH.

Lời giải:

Xét tam giác vuông ABH có $\tan \widehat{ABH}=\frac{AH}{BH}$.

Xét tam giác vuông CAH có $\tan \widehat{ACH}=\frac{AH}{CH}$.

Vì hai góc BAH và CAH là hai góc phụ nhau (tam giác ABC vuông tại A) nên ta có:

$\tan \widehat{ABH}=\cot \widehat{ACH}=\frac{1}{\tan \widehat{ACH}}$ , hay $\frac{AH}{BH}=\frac{CH}{AH}$

Suy ra AH² = BH . CH (đpcm)

Bài 4.20 trang 49 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Chứng minh rằng $\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}$

(HD. Ta có sin B = $\frac{AH}{AB}$, sin C = $\frac{AH}{AC}$, cos B = sin C và áp dụng công thức sin² α + cos² α = 1 với mọi góc nhọn α).

Lời giải:

Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có: $\tan \widehat{ABH}=\frac{AH}{BH}$

Xét tam giác ACH vuông tại H ta có: $\tan \widehat{ACH}=\frac{AH}{HC}$

Vì $\widehat{ABH}$ và $\widehat{ACH}$ là hai góc phụ nhau (tam giác ABC vuông tại A) nên:

$\tan \widehat{ABH}=\cot \widehat{ACH}=\frac{1}{\tan \widehat{ACH}}$ hay $\frac{AH}{BH}=\frac{HC}{AH}$

Suy ra AH² = BH . CH (đpcm).

Bài 4.21 trang 49 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC có BC = 11 cm, $\widehat{ABC}=38°,\widehat{ACB}=30°.$ Gọi H là chân của đường vuông góc kẻ từ A đến BC. Hãy tính AH.

Lời giải:

Vì hai góc B và C của tam giác ABC đều nhọn nên đường cao AH có chân đường cao H nằm giữa B và C.

Gọi h (cm) là độ dài đường cao AH của tam giác ABC.

Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có:

$\tan \widehat{ABH}=\frac{AH}{BH}$ hay $\tan 38°=\frac{h}{BH}$, suy ra $BH=\frac{h}{\tan 38°}$

Xét tam giác ACH vuông tại H, ta có:

$\tan \widehat{ACH}=\frac{AH}{CH}$ hay $\tan 30°=\frac{h}{CH}$, suy ra $CH=\frac{h}{\tan 30°}$

Ta có: $BC=BH+CH$

Hay $11=\frac{h}{\tan 38°}+\frac{h}{\tan 30°}=h\left(\frac{1}{\tan 38°}+\frac{1}{\tan 30°}\right)$

Do đó $h=\frac{11}{\frac{1}{\tan 38°}+\frac{1}{\tan 30°}}\approx \mathrm{3,652}$(cm).

Vậy AH ≈ 3,652 cm.

Bài 4.22 trang 49 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Giải tam giác ABC vuông tại A, với AB = c, BC = a, CA = b trong các trường hợp (cạnh làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba):

a) a = 5, $\widehat{B}$ = 50°;

b) b = 5, $\widehat{B}$ = 40°;

c) b = 5, $\widehat{C}$ = 55°

Lời giải:

a) Ta có: $\widehat{C}=90°-\widehat{B}=90°-50°=40°$

$b=a.\sin B=5.\sin 50°\approx \mathrm{3,830}$

$c=a.\sin C=5.\sin 40°\approx \mathrm{3,214}$

Vậy tam giác ABC có a = 5, b ≈ 3,830, c ≈ 3,214, $\widehat{A}=90°,\widehat{B}=50°,\widehat{C}=40°$

b) Ta có: $\widehat{C}=90°-\widehat{B}=90°-40°=50°$

$a=\frac{b}{\sin B}=\frac{5}{\sin 40°}\approx \mathrm{7,779}$

$c=b.\cot 40°=5.\cot 40°\approx \mathrm{5,959}$

c) Ta có: $\widehat{B}=90°-\widehat{C}=90°-55°=35°$

$a=\frac{b}{\cos C}=\frac{5}{\cos 55°}\approx \mathrm{8,717}$

$c=b.\tan C=5.\tan 55°\approx \mathrm{7,141}$

Bài 4.23 trang 49 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho A, B là hai địa điểm ở hai bên bờ sông, biết AN và PM cùng vuông góc MN, MN = n (mét), MP = p (mét), p > n và $\widehat{MPA}=\alpha$ (H.4.12). Chứng minh rằng: $AB=\frac{p\tan \alpha -n}{\sin \alpha }$.

Lời giải:

Vì AN và PM cùng vuông góc với MN nên AN // PM.

Vì AN // PM nên $\widehat{BAN}=\widehat{BPM}=\alpha$

+ Xét tam giác BAN vuông tại N ta có:

$BN=AB\sin \widehat{BAN}=AB.\sin \alpha$

+ Xét tam giác BPM vuông tại M ta có:

$BM=PM.\tan \widehat{BPM}=p.\tan \alpha$

Ta có: BM – BN = MN

p . tan α – AB . sinα = n

AB . sinα = p . tanα – n

$AB=\frac{p.\tan \alpha -n}{\sin \alpha }$ (đpcm).

Bài 4.24 trang 49 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Một người đứng xa toà nhà 100 m, dùng giác kế thẳng đứng ngắm thấy điểm trên nóc nhà với góc nhìn 15° (so với phương nằm ngang) (H.4.13). Hỏi toà nhà cao bao nhiêu mét (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất), biết chiều cao của giác kế là 1,7 m?

Lời giải:

Gọi C là chân tòa nhà, D là điểm trên nóc tòa nhà, A là điểm đặt mắt giác kế.

Kẻ đường cao AH của tam giác ACD, ta có:

CH = 1,7 m, AH = 100 m, $\widehat{DAH}=15°$

Xét tam giác AHD vuông tại H, ta có:

$HD=AH.\tan \widehat{DAH}=100.\tan 15°$

Do đó CD = CH + HD = 1,7 + 100 . tan 15° ≈ 28,5 (m)

Vậy tòa nhà cao xấp xỉ 28,5 m.

Bài 4.25 trang 50 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Hai trạm quan trắc tàu biển đặt ở hai mỏm núi A và B cách nhau 2 km, nhìn thấy chiếc tàu C ở phía xa với với $\widehat{CAB}=50°,\widehat{CBA}=45°$(H.4.14). Hỏi tàu còn cách đường thẳng AB bao nhiêu mét?

Lời giải:

Kẻ đường cao CH vuông góc với AB.

+ Xét tam giác ACH vuông tại H ta có:

$AH=CH.\cot A=CH.\cot 50°$

+ Xét tam giác BCH vuông tại H, ta có:

$BH=CH.\cot B=CH.\cot 45°$

Do AB = AH + HB, nên

$2000=CH.\cot 50°+CH.\cot 45°$$=CH\left(\cot 50°+\cot 45°\right)$

Suy ra $CH=\frac{2000}{\cot 50°+\cot 45°}\approx 1087$(m).

Vậy tàu còn cách đường thẳng AB xấp xỉ 1 087 m.

Bài 4.26 trang 50 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Trong một trận chiến đấu, một máy bay của đối phương bay ở độ cao 1 800 m. Khẩu pháo cao xạ ngắm chiếc máy bay đó dưới một góc 35° so với phương nằm ngang. Tìm khoảng cách từ pháo cao xạ đến máy bay (làm tròn đến mét).

Lời giải:

Gọi vị trí của khẩu pháo cao xạ là A, vị trí máy bay là B, C là vị trí hình chiếu của máy bay với mặt đất.

Khi đó ta có: BC = 1 800 m, $\widehat{BAC}=35°$, khoảng cách từ pháo cao xạ tới máy bay là độ dài đoạn AB.

Xét tam giác ABC vuông tại C ta có:

$AB=\frac{BC}{\sin A}=\frac{1800}{\sin 35°}\approx 3138$ (m).

Vậy khoảng cách từ pháo cao xạ tới máy bay xấp xỉ bằng 3 138 m.

Bài 4.27 trang 50 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Từ một đài quan sát ở cạnh bờ biển, có độ cao 300 m so với mặt biển, nhìn thấy một con tàu dưới một góc 25° (so với phương nằm ngang của mực nước biển). Hỏi khoảng cách từ tàu đến đài quan sát xấp xỉ bao nhiêu mét?

Lời giải:

Gọi vị trí đài quan sát là A, vị trí chân đài quan sát là H, vị trí con tàu là B.

Khi đó ta có: AH = 300 m, $\widehat{ABH}=25°$, khoảng cách từ tàu đến chân đài quan sát là đoạn BH.

Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có:

$BH=AH.\cot \widehat{ABH}=300.\cot 25°\approx 643$ (m).

Vậy khoảng cách từ tàu đến chân đài quan sát xấp xỉ 643 m.

Lý thuyết Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

1. Hệ thức giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông

Công thức tính cạnh góc vuông theo cạnh huyền và sin, côsin của các góc nhọn

Ví dụ 1:

Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$\begin{array}{l}b=a.\sin B=a.\cos C;\\ c=a.\sin C=a.\cos B.\end{array}$

2. Hệ thức giữa hai cạnh góc vuông

Công thức tính cạnh góc vuông theo cạnh góc vuông kia và tang, côtang của các góc nhọn

Ví dụ 2:

Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$\begin{array}{l}b=c.\tan B=c.\cot C;\\ c=b.\tan C=b.\cot B.\end{array}$

3. Giải tam giác vuông

Bài toán Giải tam giác vuông

Trong một tam giác vuông, nếu cho biết trước hai cạnh (hoặc một góc nhọn và một cạnh) thì ta sẽ tìm được tất cả các cạnh và các góc còn lại của tam giác vuông đó.