Sách bài tập Toán 9 Bài 9 (Kết nối tri thức): Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Với giải sách bài tập Toán 9 Bài 9: Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 9 Bài 9.

1 206 01/10/2024

Trang trước

Trang sau

Giải SBT Toán 9 Bài 9: Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Bài 3.15 trang 36 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Tính giá trị biểu thức $P = {(\sqrt{20} + 2 \sqrt{45} - 3 \sqrt{80})}^{2}$ .

Lời giải:

$P = {(\sqrt{20} + 2 \sqrt{45} - 3 \sqrt{80})}^{2}$

$= {(\sqrt{4.5} + 2 \sqrt{9.5} - 3 \sqrt{16.5})}^{2}$

$= {(\sqrt{2^{2} .5} + 2 \sqrt{3^{2} .5} - 3 \sqrt{4^{2} .5})}^{2}$

$= {(2 \sqrt{5} + 2.3 \sqrt{5} - 3.4 \sqrt{5})}^{2}$

$= {(2 \sqrt{5} + 6 \sqrt{5} - 12 \sqrt{5})}^{2}$

$= {(- 4 \sqrt{5})}^{2} = 42 . 5 = 80$

Vậy P = 80.

Bài 3.16 trang 36 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần: $9 \sqrt{2}; 8 \sqrt{3}; 5 \sqrt{6}; 4 \sqrt{7}$

Lời giải:

Ta có:

$9 \sqrt{2} = \sqrt{9^{2} .2} = \sqrt{162}$

$8 \sqrt{3} = \sqrt{8^{2} .3} = \sqrt{192}$

$5 \sqrt{6} = \sqrt{5^{2} .6} = \sqrt{150}$

$4 \sqrt{7} = \sqrt{4^{2} .7} = \sqrt{112}$

Do $\sqrt{112} < \sqrt{150} < \sqrt{162} < \sqrt{192}$ nên $4 \sqrt{7} < 5 \sqrt{6} < 9 \sqrt{2} < 8 \sqrt{3}$

Bài 3.17 trang 36 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Thực hiện phép tính ${(\frac{1}{\sqrt{8} + \sqrt{7}} + \sqrt{175} - 2 \sqrt{2})}^{2} .$

Lời giải:

${(\frac{1}{\sqrt{8} + \sqrt{7}} + \sqrt{175} - 2 \sqrt{2})}^{2}$

$= {(\frac{\sqrt{8} - \sqrt{7}}{(\sqrt{8} + \sqrt{7}) (\sqrt{8} - \sqrt{7})} + \sqrt{25.7} - \sqrt{2^{2} .2})}^{2}$

$= {(\frac{\sqrt{8} - \sqrt{7}}{8 - 7} + \sqrt{5^{2} .7} - \sqrt{8})}^{2}$

$= {(\sqrt{8} - \sqrt{7} + 5 \sqrt{7} - \sqrt{8})}^{2}$

$= {(4 \sqrt{7})}^{2} = 42 . 7 = 112 .$

Bài 3.18 trang 36 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Thực hiện phép tính $\sqrt{\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{17 - 12 \sqrt{2}}} - \sqrt{\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{17 + 12 \sqrt{2}}} .$

Lời giải:

$\sqrt{\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{17 - 12 \sqrt{2}}} - \sqrt{\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{17 + 12 \sqrt{2}}}$

$= \sqrt{\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{9 - 2.3.2 \sqrt{2} + 8}} - \sqrt{\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{9 + 2.3.2 \sqrt{2} + 8}}$

$= \sqrt{\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{3^{2} - 2.3.2 \sqrt{2} + {(2 \sqrt{2})}^{2}}} - \sqrt{\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{3^{2} + 2.3.2 \sqrt{2} + {(2 \sqrt{2})}^{2}}}$

$= \sqrt{\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{{(3 - 2 \sqrt{2})}^{2}}} - \sqrt{\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{2}}}$

$= \sqrt{\frac{1}{3 - 2 \sqrt{2}}} - \sqrt{\frac{1}{3 + 2 \sqrt{2}}}$

$= \sqrt{\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{(3 - 2 \sqrt{2}) (3 + 2 \sqrt{2})}} - \sqrt{\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{(3 - 2 \sqrt{2}) (3 + 2 \sqrt{2})}}$

$= \sqrt{\frac{2 + 2 \sqrt{2} .1 + 1}{3^{2} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}} - \sqrt{\frac{2 - 2 \sqrt{2} .1 + 1}{3^{2} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}}$

$= \sqrt{\frac{{(\sqrt{2} + 1)}^{2}}{9 - 8}} - \sqrt{\frac{{(\sqrt{2} - 1)}^{2}}{9 - 8}}$

$= (\sqrt{2} + 1) - (\sqrt{2} - 1) = 2$

Bài 3.19 trang 36 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Không sử dụng MTCT, chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị là một số nguyên:

$P = (\frac{\sqrt{5} + 1}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5} - 1}{1 + \sqrt{3} - \sqrt{5}}) (\sqrt{3} - \frac{4}{\sqrt{3}} + 2) \sqrt{0,2}$

Lời giải:

Ta có:

$\frac{\sqrt{5} + 1}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5} - 1}{1 + \sqrt{3} - \sqrt{5}}$

$= \frac{(\sqrt{5} + 1) (1 + \sqrt{3} - \sqrt{5}) + (\sqrt{5} - 1) (1 + \sqrt{3} + \sqrt{5})}{(1 + \sqrt{5} + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3} - \sqrt{5})}$

$= \frac{(\sqrt{5} + 1) [(1 + \sqrt{3}) - \sqrt{5}] + (\sqrt{5} - 1) [(1 + \sqrt{3}) + \sqrt{5}]}{[(1 + \sqrt{3}) + \sqrt{5}] [(1 + \sqrt{3}) - \sqrt{5}]}$

$= \frac{(1 + \sqrt{3}) [(\sqrt{5} + 1) + (\sqrt{5} - 1)] + \sqrt{5} . [- (\sqrt{5} + 1) + (\sqrt{5} - 1)]}{{(1 + \sqrt{3})}^{2} - 5}$

$= \frac{2 \sqrt{5} (1 + \sqrt{3}) - 2 \sqrt{5}}{4 + 2 \sqrt{3} - 5}$ $= \frac{2 \sqrt{5} (1 + \sqrt{3} - 1)}{2 \sqrt{3} - 1}$

$= \frac{2 \sqrt{5} . \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} - 1} = \frac{2 \sqrt{15}}{2 \sqrt{3} - 1}$

$\sqrt{3} - \frac{4}{\sqrt{3}} + 2 = \frac{{(\sqrt{3})}^{2} + 4 + 2 \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{- 1 + 2 \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Do đó $P = \frac{2 \sqrt{15}}{2 \sqrt{3} - 1} . \frac{2 \sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}} . \sqrt{0,2} = 2 \sqrt{5.0,2} = 2 \sqrt{1} = 2$

Vậy P có giá trị là một số nguyên (P = 2).

Bài 3.20 trang 36 sách bài tập Toán 9 Tập 1:

a) Trục căn ở mẫu của biểu thức $\frac{3 + \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} - 1}$

b) Tính giá trị biểu thức $P = x (x^{4} - 6 x^{2} + 1)$ tại $x = \frac{3 + \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} - 1}$

Lời giải:

a) $\frac{3 + \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} - 1}$ $= \frac{(3 + \sqrt{2}) (2 \sqrt{2} - 1)}{(2 \sqrt{2} - 1) (2 \sqrt{2} + 1)}$

$= \frac{6 \sqrt{2} + 4 + 3 + \sqrt{2}}{{(2 \sqrt{2})}^{2} - 1}$ $= \frac{7 \sqrt{2} + 7}{8 - 1}$

$= \frac{7 (\sqrt{2} + 1)}{7}$ $= \sqrt{2} + 1$

b) Theo câu a, ta có $x = \frac{3 + \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} + 1$

Khi đó ta có $x^{2} = {(\sqrt{2} + 1)}^{2} = 3 + 2 \sqrt{2}$

$P = x (x^{4} - 6 x^{2} + 1)$

$= x (x^{4} - 2.3. x^{2} + 9 - 8)$

$= x [{(x^{2} - 3)}^{2} - 8]$

$= (\sqrt{2} + 1) [{(3 + 2 \sqrt{2} - 3)}^{2} - 8]$

$= (\sqrt{2} + 1) [{(2 \sqrt{2})}^{2} - 8] = 0$

Vậy với $x = \frac{3 + \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} - 1}$ thì P = 0.

Lý thuyết Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Nếu a là một số và b là một số không âm thì $\sqrt{a^{2} . b} = | a | \sqrt{b}$ .

Ví dụ:

$\sqrt{45} = \sqrt{3^{2} .5} = 3 \sqrt{5}$ ;

$\sqrt{243 a} = \sqrt{9^{2} .3 a} = 9 \sqrt{3 a}$ .

Với những căn thức bậc hai mà biểu thức dưới dấu căn có mẫu, ta thường khử mẫu của biểu thức lấy căn (biến đổi căn thức bậc hai đó thành một biểu thức mà trong căn thức không còn mẫu).

Ví dụ: $\sqrt{\frac{4}{7}} = \sqrt{\frac{4.7}{7^{2}}} = \sqrt{{(\frac{2}{7})}^{2} .7} = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$ .

2. Đưa thừa số vào trong dấu căn

Phép đưa thừa số vào trong dấu căn

- Nếu a và b là hai số không âm thì $a \sqrt{b} = \sqrt{a^{2} b}$ .

- Nếu a là số âm và b là số không âm thì $a \sqrt{b} = - \sqrt{a^{2} b}$ .

Ví dụ:

$5 \sqrt{2} = \sqrt{5^{2} .2} = \sqrt{50}$ ;

Với $a \geq 0$ thì $- 2 \sqrt{a} = - \sqrt{2^{2} . a} = - \sqrt{4 a}$ .

3. Trục căn thức ở mẫu

Cách trục căn thức ở mẫu

- Với các biểu thức A, B và B > 0, ta có $\frac{A}{\sqrt{B}} = \frac{A \sqrt{B}}{B}$ .

- Với các biểu thức A, B, C mà $A \geq 0, A \neq B^{2}$ , ta có:

$\frac{C}{\sqrt{A} + B} = \frac{C (\sqrt{A} - B)}{A - B^{2}}; \frac{C}{\sqrt{A} - B} = \frac{C (\sqrt{A} + B)}{A - B^{2}}$ .

- Với các biểu thức A, B, C mà $A \geq 0, B \geq 0, A \neq B$ , ta có:

$\frac{C}{\sqrt{A} + \sqrt{B}} = \frac{C (\sqrt{A} - \sqrt{B})}{A - B}; \frac{C}{\sqrt{A} - \sqrt{B}} = \frac{C (\sqrt{A} + \sqrt{B})}{A - B}$ .

Ví dụ:

$\frac{2}{3 \sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5}}{3 {(\sqrt{5})}^{2}} = \frac{2 \sqrt{5}}{3.5} = \frac{2 \sqrt{5}}{15}$ ;

$\frac{a}{3 - 2 \sqrt{2}} = \frac{a (3 + 2 \sqrt{2})}{(3 - 2 \sqrt{2}) . (3 + 2 \sqrt{2})} = \frac{a (3 + 2 \sqrt{2})}{3^{2} - {(2 \sqrt{2})}^{2}} = \frac{a (3 + 2 \sqrt{2})}{9 - 8} = (3 + 2 \sqrt{2}) a$ .

4. Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Khi rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần phối hợp các phép tính (cộng, trừ, nhân, chia) và các phép biến đổi đã học (đưa thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn; khử mẩu của biểu thức lấy căn; trục căn thức ở mẫu).

Ví dụ:

$\begin{array}{l} A = 2 \sqrt{3} - \sqrt{75} + \sqrt{{(1 - \sqrt{3})}^{2}} \\ = 2 \sqrt{3} - \sqrt{{3.5}^{2}} + | 1 - \sqrt{3} | \\ = 2 \sqrt{3} - 5 \sqrt{3} + \sqrt{3} - 1 \\ = - 1 - 2 \sqrt{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} B = x \sqrt{x} - \frac{x^{2} - x}{\sqrt{x} + 1} \\ = x \sqrt{x} - \frac{(x^{2} - x) (\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1)} \\ = x \sqrt{x} - \frac{x (x - 1) (\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1)} \\ = x \sqrt{x} - \frac{x (x - 1) (\sqrt{x} - 1)}{x - 1} \\ = x \sqrt{x} - x (\sqrt{x} - 1) \\ = x \sqrt{x} - x \sqrt{x} + x \\ = x \end{array}$

1 206 01/10/2024

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3