Sách bài tập Toán 9 (Kết nối tri thức) Bài tập cuối chương 2 trang 28

Giải SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 2 trang 28

A. Trắc nghiệm

Bài 1 trang 28 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Nghiệm của bất phương trình –5x – 1 < 0 là

A. $x>-\frac{1}{5}$.

B. $x<-\frac{1}{5}$.

C. $x\ge -\frac{1}{5}$.

D. $x\le -\frac{1}{5}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

–5x – 1 < 0

–5x < 1

$x>\frac{1}{-5}$

$x>-\frac{1}{5}$

Bài 2 trang 29 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Điều kiện xác định của phương trình $\frac{2x}{x-1}+\frac{3x+1}{2x+1}=\frac{7x^2}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}$ là

A. x ≠ 1.

B. $x\ne \frac{1}{2}$.

C. x ≠ 1 và $x\ne \frac{1}{2}$.

D. $x\in ℝ$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Điều kiện xác định của phương trình đã cho là

x – 1 ≠ 0 và 2x + 1 ≠ 0 hay x ≠ 1 và $x\ne -\frac{1}{2}$.

Bài 3 trang 29 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Phương trình 2x + 1 = m có nghiệm lớn hơn –2 với

A. m > 0.

B. m > –2.

C. m > –3.

D. m ≤ –3.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: 2x + 1 = m

2x = m – 1

$x=\frac{m-1}{2}$

Nghiệm của phương trình lớn hơn –2 nên ta có:

$\frac{m-1}{2}>-2$

m – 1 > (–2) . 2

m – 1 > –4

m > (–4) + 1

m > –3.

Vậy phương trình 2x + 1 = m có nghiệm lớn hơn –2 với m > –3.

Bài 4 trang 29 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Nghiệm của bất phương trình 3x – 1 ≤ 2x + 2 là

A. x > 3.

B. x < 3.

C. x ≥ 3.

D. x ≤ 3.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

3x – 1 ≤ 2x + 2

3x – 2x ≤ 2 + 1

x ≤ 3.

Vậy nghiệm của bất phương trình là x ≤ 3.

Bài 5 trang 29 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho a > b, khi đó ta có

A. 2a > b + 1.

B. –2a > –2b.

C. 2a > a + b.

D. 3a < a + 2b.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Vì a > b nên:

a + a > a + b

2a > a + b

B. Tự luận

• Bài 2.20 trang 29 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Giải các phương trình sau:

  a) 5x(x + 2) – 10x – 20 = 0;

  b) x² – 4x = x – 4.

  Lời giải:

  a) 5x(x + 2) – 10x – 20 = 0

  5x(x + 2) – (10x + 20) = 0

  5x(x + 2) – 5(x + 2) = 0

  (5x – 5)(x + 2) = 0

  5x – 5 = 0 hoặc x + 2 = 0.

  ⦁ Với 5x – 5 = 0, suy ra 5x = 5 hay .

  ⦁ Với x + 2 = 0, suy ra x = –2.

  Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 và x = –2.

  b) x² – 4x = x – 4.

  x(x – 4) = x – 4

  x(x – 4) – (x – 4) = 0

  (x – 1)(x – 4) = 0

  x – 1 = 0 hoặc x – 4 = 0.

  ⦁ Với x – 1 = 0 suy ra x = 1.

  ⦁ Với x – 4 = 0 suy ra x = 4.

  Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 và x = 4.

• Bài 2.21 trang 29 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Giải các phương trình sau:

  a) $\frac{6}{8+x^3}=\frac{1}{x^2-2x+4}+\frac{1}{x+2}$;

  b) $\frac{x}{x+5}+\frac{x-5}{x}=2$.

  Lời giải:

  a) $\frac{6}{8+x^3}=\frac{1}{x^2-2x+4}+\frac{1}{x+2}$;

  $\frac{6}{8+x^3}=\frac{x+2+x^2-2x+4}{\left(x^2-2x+4\right)\left(x+2\right)}$

  $\frac{6}{8+x^3}=\frac{x^2-x+6}{x^3+8}$

  x² – x + 6 = 6

  x² – x = 6 – 6

  x² – x = 0

  x(x – 1) = 0

  x = 0 hoặc x – 1 = 0 hay x = 1.

  Vậy phương trình có nghiệm x = 0 và x = 1.

  b) $\frac{x}{x+5}+\frac{x-5}{x}=2$.

  $\frac{x^2+\left(x-5\right)\left(x+5\right)}{x\left(x+5\right)}=\frac{2x\left(x+5\right)}{x\left(x+5\right)}$

  x² + (x – 5)(x + 5) = 2x(x + 5)

  x² + x² – 25 = 2x² + 10x

  –25 = 10x

  $x=\frac{-25}{10}$

  x= –2,5

  Vậy phương trình có nghiệm là x = –2,5.

• Bài 2.22 trang 29 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Giải các bất phương trình sau:

  a) (3x + 1)(x + 2) > x(3x – 2) + 1;

  b) 2x(x + 1) + 3 < x(2x + 5) – 7.

  Lời giải:

  a) (3x + 1)(x + 2) > x(3x – 2) + 1;

  3x² + 7x + 2 > 3x² – 2x + 1

  7x + 2 > –2x + 1

  7x + 2x > 1 – 2

  9x > –1

  $x>-\frac{1}{9}$

  Vậy $x>-\frac{1}{9}$.

  b) 2x(x + 1) + 3 < x(2x + 5) – 7.

  2x² + 2x + 3 < 2x² + 5x – 7

  2x + 3 < 5x – 7

  2x – 5x < –7 – 3

  –3x < –10

  $x>\frac{-10}{-3}$

  $x>\frac{10}{3}$

  Vậy $x>\frac{10}{3}$.

• Bài 2.23 trang 29 sách bài tập Toán 9 Tập 1:

  a) Cho a < b và c < d, chứng minh rằng a + c < b + d.

  b) Cho 0 < a < b và 0 < c < d, chứng minh rằng 0 < ac < bd.

  Lời giải:

  a) Vì a < b nên a + c < b + c.

  Vì c < d nên b + c < b + d.

  Suy ra a + c < b + c < b + d hay a + c < b + d.

  Vậy với a < b và c < d thì a + c < b + d.

  b) Vì 0 < a và 0 < c nên 0 < ac.

  Vì 0 < a < b và 0 < c nên ac < bc. (1)

  Vì c < d và 0 < b nên bc < bd. (2)

  Từ (1) và (2) ta được ac < bc < bd hay ac < bd.

  Vậy với 0 < a < b và 0 < c < d thì 0 < ac < bd.

• Bài 2.24 trang 29 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Chứng minh rằng với số a > 0, b > 0 bất kì, ta luôn có $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$

  Lời giải:

  Xét hiệu $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2$, ta có:

  $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\frac{{\left(a-b\right)}^2}{ab}$

  Với a > 0, b > 0 thì (a – b)² ≥ 0, ab > 0 nên $\frac{{\left(a-b\right)}^2}{ab}\ge 0$ hay $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\ge 0$.

  Suy ra $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$.

  Vậy với số a > 0, b > 0 bất kì, ta luôn có $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$.

• Bài 2.25 trang 29 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Hà phải làm 4 bài kiểm tra tiếng Anh: nghe, nói, đọc và viết. Bài nghe, nói, đọc Hà đạt điểm số lần lượt là 78, 83 và 89. Hỏi bài kiểm tra viết, Hà phải đạt điểm số là bao nhiêu để điểm số trung bình Hà đạt được của cả 4 bài kiểm tra ít nhất là 85?

  Lời giải:

  Gọi điểm bài kiệm tra viết của Hà là x.

  Điểm trung bình 4 bài kiểm tra của Hà là:

  $\frac{78+83+89+x}{4}=\frac{250+x}{4}$

  Điểm trung bình của 4 bài kiểm tra của Hà cần đạt được ít nhất là 85 nên ta có:

  $\frac{250+x}{4}\ge 85$

  250 + x ≥ 85 . 4

  250 + x ≥ 340

  x ≥ 340 – 250

  x ≥ 90

  Vậy bài thi viết của Hà cần đạt ít nhất là 90 điểm.

• Bài 2.26 trang 29 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Mức lương tối thiểu theo quy định ở Pháp năm 2022 là 10,25 € cho mỗi giờ làm việc. Trong dịp hè, Laurent David làm thêm tại một khách sạn theo mức lương tối thiểu như quy định và anh ấy muốn kiếm được ít nhất 1500 € trong mùa hè này.

  a) Hãy viết một bất phương trình mô tả tình huống này.

  b) Hỏi anh ấy cần làm việc ít nhất bao nhiêu giờ để kiếm được số tiền trên?

  (€ là viết tắt của từ Euro, là loại tiền tệ mà 20 nước thuộc liên minh Châu Âu đang sử dụng chung)

  Lời giải:

  Gọi số giờ David làm thêm là x (giờ).

  Số tiền David kiếm được là 10,25x (€).

  David muốn kiếm được ít nhất 1 500 € nên ta có:

  10,25x ≥ 1 500

  $x\ge \frac{1 500}{10,25}$

  x ≥ 146,34

  Vậy David cần làm thêm ít nhất là 147 giờ để kiếm được số tiền như trên.

• Bài 2.27 trang 29 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ A đến B trên cùng quãng đường dài 150 km. Vận tốc xe thứ nhất hơn vận tốc xe thứ hai là 10 km/h và xe thứ nhất đến B sớm hơn xe thứ hai là 30 phút. Hỏi vận tốc của hai xe là bao nhiêu?

  Lời giải:

  Đổi 30 phút = $\frac{1}{2}$ giờ.

  Gọi vận tốc của xe thứ nhất là x (km/h).

  Vận tốc xe thứ hai là x – 10 (km/h) (x>10).

  Thời gian xe thứ nhất đi từ A đến B là $\frac{150}{x}$ (giờ).

  Thời gian xe thứ hai đi từ A đến B là $\frac{150}{x-10}$ (giờ).

  Xe thứ nhất đến sớm hơn xe thứ hai 30 phút ($\frac{1}{2}$ giờ) nên ta có:

  $\frac{150}{x-10}-\frac{150}{x}=\frac{1}{2}$

  $\frac{150x-150\left(x-10\right)}{x\left(x-10\right)}=\frac{1}{2}$

  $\frac{150x-150x+1500}{x^2-10x}=\frac{1}{2}$

  $\frac{1500}{x^2-10x}=\frac{1}{2}$

  x² – 10x = 1500 . 2

  x² – 10x = 3000

  x² – 10x + 25 = 3000 + 25

  (x–5)² = 3025

  (x–5)² = 55²

  (x–5)² – 55² = 0

  (x – 5 – 55)(x – 5 + 55) = 0

  (x – 60)(x + 50) = 0

  x – 60 = 0 hoặc x + 50 = 0.

  ⦁ Với x – 60 = 0 suy ra x = 60(chọn).

  ⦁ Với x + 50 = 0 suy ra x = –50 (loại).

  Vậy vận tốc xe thứ nhất là 60 km/h, vận tốc xe thứ hai là 60 – 10 = 50 (km/h).

• Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 2

  1. Phương trình tích

  Để giải phương trình (ax + b)(cx + d) = 0, ta giải hai phương trình ax + b = 0 và cx + d = 0. Sau đó lấy tất cả các nghiệm của chúng.

  Nhận xét: Để giải phương trình, ta thực hiện theo hai bước:

  Bước 1. Đưa phương trình về phương trình tích (ax + b)(cx + d) = 0.

  Bước 2. Giải phương trình tích tìm được.

  2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

  2.1. Điều kiện xác định của một phương trình

  Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta thường đặt điều kiện cho ẩn để tất cả các mẫu thức trong phương trình đều khác 0 và gọi là điều kiện xác định (viết tắt là ĐKXĐ) của phương trình.

  2.2. Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

  Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

  Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình.

  Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

  Bước 3. Giải phương trình vừa tìm được.

  Bước 4 (Kết luận). Trong các giá trị tìm được của ẩn ở Bước 3, giá trị nào thỏa mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho.

  3. Bất đẳng thức

  3.1. Nhắc lại thứ tự trên tập hợp số thực

  − Trên tập số thực, với hai số a và b có ba trường hợp sau:

  • Số a bằng số b, kí hiệu a = b;

  • Số a lớn hơn số b, kí hiệu a > b;

  • Số a nhỏ hơn số b, kí hiệu a < b.

  − Khi biểu diễn số thực trên trục số, điểm biểu diễn số bé hơn nằm trước điểm biểu diễn số lớn hơn

  • Số a lớn hơn hoặc bằng số b, tức là a > b hoặc a = b, kí hiệu a ≥ b;

  • Số a nhỏ hơn hoặc bằng số b, tức là a < b hoặc a = b, kí hiệu a ≤ b.

  3.2. Khái niệm bất đẳng thức

  Ta gọi hệ thức dạng a > b (hay a < b, a ≥ b, a ≤ b), được gọi là bất đẳng thức và a được gọi là vế trái, b được gọi là vế phải của bất đẳng thức.

  3.3. Tính chất bắc cầu

  Bất đẳng thức có tính chất quan trọng sau:

  Nếu a < b và b < c thì a < c (tính chất bắc cầu của bất đẳng thức).

  Chú ý: Tương tự, các thứ tự lớn hơn (>), lớn hơn hoặc bằng (≥), nhỏ hơn hoặc bằng (≤) cũng có tính chất bắc cầu.

  4. Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

  Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

  Với ba số a, b và c, ta có:

  • Nếu a < b thì a + c < b + c.

  • Nếu a ≤ b thì a + c ≤ b + c.

  • Nếu a > b thì a + c > b + c.

  • Nếu a ≥ b thì a + c ≥ b + c.

  5. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

  −Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương thì được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

  Với ba số a, b và c > 0, ta có:

  • Nếu a < b thì ac < bc;

  • Nếu a ≤ b thì ac ≤ bc;

  • Nếu a > b thì ac > bc;

  • Nếu a ≥ b thì ac ≥ bc.

  −Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm thì được một bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

  Với ba số a, b và c > 0, ta có:

  • Nếu a < b thì ac > bc;

  • Nếu a ≤ b thì ac ≥ bc;

  • Nếu a > b thì ac < bc;

  • Nếu a ≥ b thì ac ≤ bc.

  6. Khái niệm bất phương trình bậc nhất một ẩn

  6.1. Khái niệm bất phương trình bậc nhất một ẩn

  Bất phương trình dạng ax + b < 0 (hoặc ax + b > 0, ax + b ≤0, ax + b ≥ 0), trong đó a, b là hai số đã cho, a ≠ 0 được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn (ẩn x).

  6.2. Nghiệm của bất phương trình bậc nhất một ẩn

  •Số x₀ là một nghiệm của bất phương trình A(x) > B(x) nếu A(x₀) > B(x₀)là khẳng định đúng.

  • Giải một bất phương trình là tìm tất cả các nghiệm của bất phương trình đó.

  7. Cách giải bất phương trình bậc nhất một ẩn

  Bất phương trình bậc nhất một ẩn ax + b > 0 (a ≠ 0) được giải như sau:

  ax + b < 0

  ax < −b.

  • Nếu a > 0 thì $x<-\frac{b}{a}.$

  • Nếu a < 0 thì $x>-\frac{b}{a}.$

  Chú ý:

  − Các bất phương trình ax + b > 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0 được giải tương tự.

  − Ta cũng có thể giải được các bất phương trình một ẩn đưa được về dạng ax + b < 0,ax + b > 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0.