Sách bài tập Toán 9 Bài 10 (Kết nối tri thức): Căn bậc ba và căn thức bậc ba

Giải SBT Toán 9 Bài 10: Căn bậc ba và căn thức bậc ba

Bài 3.21 trang 38 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Sử dụng định nghĩa căn bậc ba của một số thực, tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $\sqrt[3]{-27}+2\sqrt[3]{\frac{1}{8}}+5\sqrt[3]{-\mathrm{0,008}};$

b) $\sqrt[3]{\mathrm{0,001}}-3\sqrt[3]{\frac{8}{125}}+2\sqrt[3]{-64}$

Lời giải:

a) $\sqrt[3]{-27}+2\sqrt[3]{\frac{1}{8}}+5\sqrt[3]{-\mathrm{0,008}}$

$=\sqrt[3]{{\left(-3\right)}^3}+2\sqrt[3]{{\left(\frac{1}{2}\right)}^3}+5\sqrt[3]{{\left(\mathrm{0,2}\right)}^3}$

$-3+2.\frac{1}{2}+\mathrm{5.0,2}= –3.$

b) $\sqrt[3]{\mathrm{0,001}}-3\sqrt[3]{\frac{8}{125}}+2\sqrt[3]{-64}$

$=\sqrt[3]{{\left(\mathrm{0,1}\right)}^3}-3\sqrt[3]{{\left(\frac{2}{5}\right)}^3}+2\sqrt[3]{{\left(-4\right)}^3}$

$=\mathrm{0,1}-3.\frac{2}{5}+2.\left(-4\right)=-\frac{91}{10}$

Bài 3.22 trang 38 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Không dùng MTCT, tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $\left(\sqrt[3]{64}-\sqrt[3]{27}\right).\sqrt[3]{\frac{125}{8}}$

b) $\frac{5\sqrt[3]{-8}-10\sqrt[3]{\mathrm{0,008}}+3\sqrt[3]{343}}{\sqrt[3]{\mathrm{0,064}}+\sqrt[3]{\mathrm{0,125}}}$

Lời giải:

a) $\left(\sqrt[3]{64}-\sqrt[3]{27}\right).\sqrt[3]{\frac{125}{8}}$

$=\left(\sqrt[3]{4^3}-\sqrt[3]{3^3}\right).\sqrt[3]{{\left(\frac{5}{2}\right)}^3}$

$=\left(4-3\right).\frac{5}{2}=\frac{5}{2}$

b) $\frac{5\sqrt[3]{-8}-10\sqrt[3]{\mathrm{0,008}}+3\sqrt[3]{343}}{\sqrt[3]{\mathrm{0,064}}+\sqrt[3]{\mathrm{0,125}}}$

$=\frac{5\sqrt[3]{{\left(-2\right)}^3}-10\sqrt[3]{{\mathrm{0,2}}^3}+3\sqrt[3]{7^3}}{\sqrt[3]{{\mathrm{0,2}}^3}+\sqrt[3]{{\mathrm{0,5}}^3}}$

$=\frac{5.\left(-2\right)-\mathrm{10.0,2}+3.7}{\mathrm{0,2}+\mathrm{0,5}}$

$=\frac{9}{\mathrm{0,9}}=10$

Bài 3.23 trang 38 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Tìm x, biết rằng:

a) $\sqrt[3]{2x-1}=1$

b) $5x-\sqrt{64x^3}=25$

Lời giải:

a) $\sqrt[3]{2x-1}=1$

${\left(\sqrt[3]{2x-1}\right)}^3=1^3$

2x - 1 = 1

2x = 2

x = 1.

Vậy phương trình có nghiệm x = 1.

b) $5x-\sqrt{64x^3}=25$

$5x-\sqrt{{\left(4x\right)}^3}=25$

5x – 4x = 25

x = 25

Vậy phương trình có nghiệm x = 25.

Bài 3.24 trang 38 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Tương tự căn bậc hai, căn bậc ba có tính chất sau: Nếu a < b thì $\sqrt[3]{a}<\sqrt[3]{b}$. Sử dụng tính chất nảy, so sánh:

a) 5 và $\sqrt[3]{123}$;

b) $\sqrt[3]{\mathrm{0,009}}$ và 0,2.

Lời giải:

a) Ta có: $5=\sqrt[3]{5^3}=\sqrt[3]{125}>\sqrt[3]{123}$

Vậy $5>\sqrt[3]{123}$

b) Ta có: $\sqrt[3]{\mathrm{0,009}}>\sqrt[3]{\mathrm{0,008}}=\sqrt[3]{{\left(\mathrm{0,2}\right)}^3}=\mathrm{0,2}$

Vậy $\sqrt[3]{\mathrm{0,009}}>\mathrm{0,2}$

Bài 3.25 trang 38 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Tính diện tích tôn cần dùng để làm một cái thùng không nắp hình lập phương chứa được 215 lít nước (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Lời giải:

Đổi 215 lít = 215 dm³.

Gọi x (dm) là độ dài cạnh của thùng (x > 0).

Thể tích của thùng nước là:

x³ = 215

Suy ra $x=\sqrt[3]{215}$(dm).

Vậy độ dài cạnh của thùng nước là $\sqrt[3]{215}$dm.

Diện tích tôn cần dùng để làm thùng là:

$5.{\left(\sqrt[3]{215}\right)}^2\approx \mathrm{179,44}$ (dm³)

Vậy diện tích tôn cần dùng để làm cái thùng xấp xỉ 179,44 dm³.

Bài 3.26 trang 39 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Sử dụng MTCT, tính giá trị biểu thức (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba):

a) $P=2\sqrt[3]{x^2-1}$ tại x = 5;

b) $P=\sqrt[3]{2x-1}-\sqrt[3]{x+1}$ tại x = 0,5.

Lời giải:

a) Thay x = 5 vào biểu thức $P=2\sqrt[3]{x^2-1}$ ta được:

$P=2\sqrt[3]{x^2-1}=2\sqrt[3]{5^2-1}\approx \mathrm{5,769}$

Cách bấm máy tính cầm tay:

Ta thu được kết quả: $P=2\sqrt[3]{5^2-1}\approx \mathrm{5,769}$

Vậy $P=2\sqrt[3]{x^2-1}\approx \mathrm{5,769}$ tại x = 5.

b) Thay x = 0,5 vào biểu thức $P=\sqrt[3]{2x-1}-\sqrt[3]{x+1}$ ta được:

$P=\sqrt[3]{2x-1}-\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{\mathrm{2.0,5}-1}-\sqrt[3]{\mathrm{0,5}+1}=-\sqrt[3]{\mathrm{1,5}}\approx -\mathrm{1,145}$

Cách bấm máy tính cầm tay:

Ta thu được kết quả: $P=\sqrt[3]{\mathrm{2.0,5}-1}-\sqrt[3]{\mathrm{0,5}+1}\approx -\mathrm{1,145}$

Vậy $P=2\sqrt[3]{x^2-1}\approx -\mathrm{1,145}$ tại x = 0,5.

Bài 3.27 trang 39 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Khoảng cách trung bình d (tính bằng mét) giữa một hành tinh và Mặt Trời được tính theo công thức $d=\sqrt[3]{\frac{{10}^{19}{T}^2}{\mathrm{2,97}}}$, trong đó T (tính bằng giây) là thời gian hành tinh quay một vòng quanh Mặt Trời. Biết rằng Trái Đất quay một vòng quanh Mặt Trời trong khoảng 365 ngày. Hãy tính khoảng cách trung bình giữa Trái Đất và Mặt Trời là bao nhiêu triệu kilômét (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải:

Ta có:

1 phút = 60 giây

1 giờ = 60 phút = 3 600 giây

1 ngày = 24 giờ = 86 400 giây

1 năm = 365 ngày = 31 536 000 giây

Khoảng cách trung bình giữa Trái Đất và Mặt Trời là:

$d=\sqrt[3]{\frac{{10}^{19}{T}^2}{\mathrm{2,97}}}=\sqrt[3]{\frac{{10}^{19}\cdot 31536{000}^2}{\mathrm{2,97}}}:{10}^9\approx \mathrm{149,6}$ (triệu km)

Vậy khoảng cách trung bình giữa Trái Đất và Mặt Trời khoảng 149,6 triệu km.

Lý thuyết Căn bậc ba và căn thức bậc ba

1. Căn bậc ba

Khái niệm căn bậc ba của một số thực

Chú ý:

- Mỗi số a đều có duy nhất một căn bậc ba.

- Căn bậc ba của số a được kí hiệu là $\sqrt[3]{a}$, trong đó số 3 được gọi là chỉ số của căn.

Nhận xét: Từ định nghĩa căn bậc ba, ta có ${\left(\sqrt[3]{a}\right)}^3=\sqrt[3]{a^3}=a$ với mọi số thực a.

Ví dụ:

$\sqrt[3]{64}=\sqrt[3]{4^3}=4$;

$\sqrt[3]{-27}=\sqrt[3]{{\left(-3\right)}^3}=-3$.

Tính căn bậc ba của một số bằng máy tính cầm tay

Ta có thể sử dụng loại MTCT thích hợp để tính căn bậc ba của một số.

2. Căn thức bậc ba

Khái niệm căn thức bậc ba của một biểu thức

Chú ý:

- Căn thức bậc ba của biểu thức A được kí hiệu là $\sqrt[3]{A}$ , trong đó số 3 được gọi là chỉ số của căn.

Nhận xét: Từ định nghĩa căn bậc ba, ta có ${\left(\sqrt[3]{A}\right)}^3 = \sqrt[3]{A^3} =A$

Tính căn bậc ba của một số bằng máy tính cầm tay

Để tính $\sqrt[3]{A}$ tại những giá trị cho trước của biến, ta thay các giá trị cho trước của biến vào căn thức rồi tính giá trị của biểu thức số nhận được.