Lý thuyết Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác – Toán 11 Cánh diều

Với lý thuyết Toán lớp 11 Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Cánh diều sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 11.

1 7,990 30/10/2023


Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác - Cánh diều

Bài giảng Toán 11 Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

A. Lý thuyết Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

I. Góc lượng giác

1. Góc hình học và số đo của chúng

Lý thuyết Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Chân trời sáng tạo 2023) hay, chi tiết | Toán lớp 11 (ảnh 1)

*Nhận xét:

- Đơn vị đo góc: độ hoặc radian (rad).

- Ta có: 180o=πrad, do đó 1 rad =(180π)o, 1o=(π180)rad.

- Người ta thường không viết chữ radian hay rad sau số đo góc.

VD: π2rad cũng được viết là π2.

2. Góc lượng giác và số đo của chúng

a, Khái niệm

- Cho 2 tia Ou, Ov. Nếu tia Om quay chỉ theo chiều dương (hay chỉ theo chiều âm) xuất phát từ Ou đến trùng với tia Ov thì ta nói: Tia Om quét một góc lượng giác với tia đầu Ou và tia cuối Ov.

Kí hiệu: (Ou, Ov).

- Mỗi góc lượng giác được xác định bởi tia đầu Ou, tia cuối Ov và số đo của góc đó.

b, Tính chất

- Cho hai góc lượng giác = và (O’u’,O’v’) có tia đầu trùng nhau (OuOu), tia cuối trùng nhau (OvOv).

Khi đó, nếu sử dụng đợn vị đo là độ thì ta có:

(Ou,Ov)=(Ou,Ov)+k360o,kZ.

Nếu sử dụng đơn vị đo là radian thì:

(Ou,Ov)=(Ou,Ov)+k2π,kZ.

* Hệ thức Chasles

Với 3 tia Ou, Ov, Ow bất kì ta có:

(Ou,Ov) + (Ov, Ow) = (Ou,Ow) +k2π,kZ.

II. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

1. Đường tròn lượng giác

Trong mặt phẳng toa độ đã được định hướng Oxy, lấy điểm A(1;0). Đường tròn tâm O, bán kính OA = 1 được gọi là đường tròn lượng giác (hay đường tròn đơn vị) gốc A.

2. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Lý thuyết Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Chân trời sáng tạo 2023) hay, chi tiết | Toán lớp 11 (ảnh 2)

- Trục tung là trục sin, trục hoành là trục côsin.

- Điểm M(x;y) nằm trên đường tròn như hình vẽ. Khi đó:

x=cosα, y=sinα.

tanα=sinαcosα=yx(x0)

cotα=cosαsinα=xy(y0)

* Dấu của các giá trị lượng giác của góc α

Lý thuyết Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Chân trời sáng tạo 2023) hay, chi tiết | Toán lớp 11 (ảnh 3)

Lý thuyết Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Chân trời sáng tạo 2023) hay, chi tiết | Toán lớp 11 (ảnh 4)

* Các công thức lượng giác cơ bản

sin2α+cos2α=11+tan2α=1cos2α(απ2+kπ,kZ)1+cot2α=1sin2α(αkπ,kZ)tanα.cotα=1(αkπ2,kZ)

3. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

  • Hai góc đối nhau αα

sin(α)=sinαcos(α)=cosαtan(α)=tanαcot(α)=cotα

  • Hai góc bù nhau (απ-α)

sin(πα)=sinαcos(πα)=cosαtan(πα)=tanαcot(πα)=cotα

  • Hai góc phụ nhau (απ2-α)

sin(π2α)=cosαcos(π2α)=sinαtan(π2α)=cotαcot(π2α)=tanα

  • Hai góc hơn kém π(απ + α)

sin(π+α)=sinαcos(π+α)=cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα

4. Sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị của một góc lượng giác

Đơn vị độ:

Lý thuyết Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Chân trời sáng tạo 2023) hay, chi tiết | Toán lớp 11 (ảnh 5)

Đơn vị radian:

Lý thuyết Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Chân trời sáng tạo 2023) hay, chi tiết | Toán lớp 11 (ảnh 6)

Lý thuyết Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác – Toán 11 Cánh diều (ảnh 1)

B. Bài tập Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Bài 1. Tìm số đo α của góc lượng giác (Ou, Ov) với 0 ≤ α ≤ 2π (0° ≤ α ≤ 360°), biết một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đó có số đo là:

a) 33π4;

b) 291983π3;

c) 3270°.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: Lý thuyết Toán 11 Cánh diều Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác.

Vì 0 ≤ α ≤ 2π nên 033π4+k2π2π.

33π4k2π25π4.

338k258.

Mà k ∈ ℤ, suy ra k = –4.

Vậy Lý thuyết Toán 11 Cánh diều Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác.

b) Ta có: Lý thuyết Toán 11 Cánh diều Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác.

Vì 0 ≤ α ≤ 2π nên 0291983π3+k2π2π.

291983π3k2π291989π3.

2919836k2919896.

Mà k ∈ ℤ, suy ra k = 48664.

Vậy α=291983π3+48664.2π=π3.

c) Ta có: (Ou,Ov) = α = 3270° + k.360° (k ∈ ℤ).

Vì 0° ≤ α ≤ 360° nên 0° ≤ 3270° + k.360° ≤ 360°.

⇔ –3270° ≤ k.360° ≤ –2910°.

10912k9712.

Mà k ∈ ℤ, suy ra k = –9.

Vậy α = 3270° + (–9).360° = 30°.

Bài 2.

a) Cho cosx=23. Tính A=tanx+3cotxtanx+cotx.

b) Cho sinx=453π2<x<2π. Tính B=sinx+3cosxtanx.

c) Cho tanx = 3. Tính C=sinxcosxsin3x+3cos3x+2sinx.

Hướng dẫn giải

a) Ta có A=tanx+3cotxtanx+cotx=tanx+3.1tanxtanx+1tanx (do cosx ≠ 0)

Lý thuyết Toán 11 Cánh diều Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

b) Vì 3π2<x<2π nên cosx > 0.

Ta có sin2x + cos2x = 1, suy ra

Lý thuyết Toán 11 Cánh diều Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác.

cosx=35 (do cosx > 0).

Suy ra tanx=sinxcosx=45:35=43.

Khi đó B=sinx+3cosxtanx=45+3.3543=34.

c) Do tanx = 3 nên cosx ≠ 0.

Chia cả tử và mẫu của C cho cos3x, ta được:

C=sinxcos3xcosxcos3xsin3xcos3x+3+2.sinxcos3x

Lý thuyết Toán 11 Cánh diều Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Bài 4. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

Lý thuyết Toán 11 Cánh diều Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Hướng dẫn giải

Tam giác ABC, có: A^+B^+C^=180°

Suy ra A^+2B^+C^=180°+B^B^+C^=180°A^.

Lý thuyết Toán 11 Cánh diều Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác Lý thuyết Toán 11 Cánh diều Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

VP = tanA.cot(B + C) = tanA.cot(180° – A) = tanA.(–cotA) = –tanA.cotA = –1 .

Khi đó VT = VP (= –1).

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài 5. Một bánh xe có bán kính R = 2,4 m quay một góc bằng 30°. Tính độ dài đường đi của một điểm bất kì trên vành bánh xe.

Hướng dẫn giải

Ta xem vành bánh xe là một đường tròn có bán kính R = 2,4 m.

Độ dài đường đi của một điểm bất kì trên vành bánh xe là độ dài của cung tròn có số đo 30°.

Vậy độ dài đường đi cần tìm là 30°.2π.R360°=30°.2π.2,4360°=0,4 m.

Bài 3. Tìm các giá trị lượng giác của góc lượng giác α=3π4.

Hướng dẫn giải

Lấy điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho OA,OM=α=3π4 (hình vẽ).

Lý thuyết Toán 11 Cánh diều Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của điểm M lên các trục Ox, Oy.

Khi đó AOM^=3π4.

Suy ra BOM^=KOM^=3π4π2=π4.

Tam giác KOM vuông tại K, có:

OK=OM.cosKOM^=1.cosπ4=22;

MK=OM.sinKOM^=1.sinπ4=22.

Suy ra tọa độ Lý thuyết Toán 11 Cánh diều Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác.

Vậy sin3π4=22; cos3π4=22; tan3π4=sin3π4cos3π4=1 cot3π4=cos3π4sin3π4=1.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác

Lý thuyết Bài 3: Hàm số lượng giác và đồ thị

Lý thuyết Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Lý thuyết Bài 1: Dãy số

Lý thuyết Bài 2: Cấp số cộng

1 7,990 30/10/2023


Xem thêm các chương trình khác: