Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Lý thuyết Các phép biến đổi lượng giác – Toán 11 Cánh diều

    Với lý thuyết Toán lớp 11 Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Cánh diều sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 11.

    1 4,121 30/10/2023
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác - Cánh diều

    Bài giảng Toán 11 Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác

    A. Lý thuyết Các phép biến đổi lượng giác

    I. Công thức cộng

    sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asinbsin(a−b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asinbcos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asinbcos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asinbtan⁡(a+b)=tan⁡a+tan⁡b1−tan⁡atan⁡btan⁡(a−b)=tan⁡a−tan⁡b1+tan⁡atan⁡b

    II. Công thức nhân đôi

    sin⁡2a=2sin⁡acos⁡acos⁡2a=cos2a−sin2a=2cos2a−1=1−2sin2atan⁡2a=2tan⁡a1−tan2a

    Suy ra, công thức hạ bậc:

    sin2a=1−cos⁡2a2,cos2a=1+cos⁡2a2

    III. Công thức biến đổi tích thành tổng

    cos⁡acos⁡b=12[cos⁡(a+b)+cos⁡(a−b)]sin⁡asin⁡b=12[cos⁡(a−b)−cos⁡(a+b)]sin⁡acos⁡b=12[sin⁡(a+b)+sin⁡(a−b)]

    IV. Công thức biến đổi tổng thành tích

    cos⁡a+cos⁡b=2cos⁡a+b2cos⁡a−b2cos⁡a−cos⁡b=−2sin⁡a+b2sin⁡a−b2sin⁡a+sin⁡b=2sin⁡a+b2cos⁡a−b2sin⁡a−sin⁡b=2cos⁡a+b2sin⁡a−b2

    Lý thuyết Các phép biến đổi lượng giác – Toán 11 Cánh diều (ảnh 1)

    B. Bài tập Các phép biến đổi lượng giác

    Bài 1. Cho cos2a=−45, với π4<a<π2. Tính sina, cosa, Lý thuyết Toán 11 Cánh diều Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác, sin2a, Lý thuyết Toán 11 Cánh diều Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác.

    Hướng dẫn giải

    Vì π4<a<π2 nên sina > 0, cosa > 0.

    • Áp dụng công thức hạ bậc, ta được: sin2a=1−cos2a2=1+452=910

    Suy ra sina=310 (do sina > 0)

    • Áp dụng công thức hạ bậc, ta được: cos2a=1+cos2a2=1−452=110.

    Suy ra cosa=110.

    • Áp dụng công thức cộng đối với sin, ta được:

    Lý thuyết Toán 11 Cánh diều Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác

    =310.12+110.32=30+31020.

    • Áp dụng công thức nhân đôi, ta được:

    sin2a=2sinacosa=2.310.110=35.

    • Áp dụng công thức cộng đối với côsin, ta được:

    Lý thuyết Toán 11 Cánh diều Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác

    Bài 2. Chứng minh rằng:

    a) cos3x.sinx−sin3x.cosx=14sin4x;

    Lý thuyết Toán 11 Cánh diều Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác

    Hướng dẫn giải

    a) VT = cos3x.sinx – sin3x.cosx

    = cosx.sinx.(cos2x – sin2x)

    =12sin2x.cos2x

    =14sin4x = VP.

    Vậy ta có điều phải chứng minh.

    Lý thuyết Toán 11 Cánh diều Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác

    Bài 3. Tính α + β biết tanα=25,  tanβ=37.

    Hướng dẫn giải

    Áp dụng công thức cộng đối với tang, ta được: Lý thuyết Toán 11 Cánh diều Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác

    Vậy α+β=π4.

    Bài 4. Cho ∆ABC. Chứng minh rằng:

    a) sinA+sinB+sinC=4cosA2cosB2cosC2;

    b) sinA+sinBcosA+cosB=cotC2;

    c) sin2A+sin2B+sin2C=2SR2, với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC và S là diện tích ∆ABC.

    Hướng dẫn giải

    ∆ABC, có: A^+B^+C^=180°, suy ra A^+B^=180°−C^

    Do đó A^+B^2=90°−C^2.

    Lý thuyết Toán 11 Cánh diều Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác

    b) VT=sinA+sinBcosA+cosB=2sinA+B2cosA−B22cosA+B2cosA−B2

    Lý thuyết Toán 11 Cánh diều Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác

    Vậy ta có điều phải chứng minh.

    c) VT = sin2A + sin2B + sin2C

    = 2sin(A + B).cos(A – B) + 2sinC.cosC

    = 2sin(180° – C).cos(A – B) + 2sinC.cosC

    = 2sinC.cos(A – B) + 2sinC.cosC

    = 2sinC.[cos(A – B) + cosC]

    = 2sinC.[cos(A – B) + cos(180° – A – B)]

    = 2sinC.[cos(A – B) – cos(A + B)]

    = –4sinC.sinA.sin(–B)

    = 4sinA.sinB.sinC

    =4.a2R.b2R.c2R=abc4R.2R2=2SR2=VP.

    Vậy ta có điều phải chứng minh.

    Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

    Lý thuyết Bài 3: Hàm số lượng giác và đồ thị

    Lý thuyết Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

    Lý thuyết Bài 1: Dãy số

    Lý thuyết Bài 2: Cấp số cộng

    Lý thuyết Bài 3: Cấp số nhân

    Tham khảo các loạt bài Toán 11 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 4,121 30/10/2023
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: