*Lời giải

1) AD,BE là đường cao của ∆ABC nên $\widehat{CEH}=\widehat{HDC}={90}^{\circ }$

$\Rightarrow \widehat{CEH}+\widehat{HDC}={180}^{\circ }$

Suy ra tức giác CEHD là tứ giác nội tiếp (điều cần chứng minh)

Nhận xét: Bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp bằng cách chứng minh tổng hai góc đối diện bằng ${180}^{\circ }$

Tứ giác CEHD có tổng cặp góc đối diện bằng ${180}^{\circ }$: $\widehat{CEH}+\widehat{HDC}={180}^{\circ }$ nên là tứ giác nội tiếp.

2) CF, BE là đường cao của ∆ABC nên $\widehat{CEB}=\widehat{BFC}={90}^{\circ }$

=> Điểm E, F thuộc đường tròn đường kính BC.

=> B, C, E, F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC (điều cần chứng minh).

Nhận xét: Bài toán chứng minh bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn bằng cách chứng minh hai điểm nhìn một cạnh tạo bởi hai điểm còn lại cùng dưới một góc vuông.

 3) Tam giác AEH và ADH có chung góc tại đỉnh A và $\widehat{AEH}=\widehat{ADC}={90}^{\circ }$ nên ∆AEH đồng dạng với ∆ADC $\Rightarrow \frac{AE}{AD}=\frac{AH}{AC}\Rightarrow AE.AC=AH.AD$ (điều cần chứng minh).

Tam giác BEC và ADC có chung góc tại đỉnh C và $\widehat{BEC}=\widehat{ADC}={90}^{\circ }$ nên ∆BEC ∆ADC

$\Rightarrow \frac{BE}{AD}=\frac{BC}{AC}\Rightarrow AD.BC=CE.AC$ (điều cần chứng minh).

Nhận xét:  Bài toán chứng minh các đẳng thức bằng cách chứng minh các cặp tam giác đồng dạng.

 4) Ta có:

$\widehat{A_1}=\widehat{C_1}$ (cùng phụ với $\widehat{FBC}$);

$\widehat{A_1}=\widehat{C_2}$ (cùng chắn cung của (O));

Suy ra $\widehat{C_1}=\widehat{C_2}$

⇒ CD là phân giác của $\widehat{HCM}$

Tam giác CHM có CD vừa là phân giác vừa là đường cao nên cân tại C, suy ra CD đồng thời cũng la trung trực của HM.

⇒ H, M đối xứng với nhau qua BC (điều cần chứng minh).

5) Ta có:

$\widehat{E_1}=\widehat{C_1}$ (cùng chắn cung trong đường tròn đi qua bốn điểm B, C, E, F);

$\widehat{C_1}=\widehat{E_2}$ (cùng chắn cung trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEHD);

Suy ra: $\widehat{E_1}=\widehat{E_2}$

⇒ EB là phân giác của $\widehat{FED}$.

Chứng minh tương tự: FC là phân giác của $\widehat{DFE}$

Mà $FC\cap EB=\left\{H\right\}$ nên H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.

* Phương pháp giải:

a) Để chứng minh △MAB=△MDC, hãy so sánh các cặp cạnh và góc tương ứng: MB=MC (M là trung điểm), BMA=CMD (đối đỉnh) và MA=MD (giả thiết). Từ đó suy ra hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c.g.c).

b) Từ △MAB=△MDC, suy ra AB=CD và MBA=MCD (so le trong), do đó AB∥CD. Chứng minh △ABC=△CDA bằng cách so sánh các cạnh và góc: AB=CD, AC chung, BAC=DCA.

c) Để chứng minh △BDC là tam giác vuông, chứng minh △BDC=△CAB bằng cách so sánh các cạnh và góc: AB=CD, BC chung, ABC=DCB. Từ đó suy ra BDC=CAB. Nếu tam giác ABC vuông tại A, thì CAB=90∘, suy ra BDC=90∘.

* Lý thuyết nắm thêm và các công thức để tính diện tích tam giác:

Công thức tính diện tích tam giác

Cho tam giác có BC = a, AC = b, AB = c với:

• $h_a,h_b,h_c$ là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB

• R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác;

• r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác;

• $p=\frac{a+b+c}{2}$ là nửa chu vi tam giác;

• S là diện tích tam giác.

Khi đó ta có các công thức tính diện tích tam giác ABC như sau:

$$\begin{gathered} S=\frac{1}{2}a{h}_a=\frac{1}{2}b{h}_b=\frac{1}{2}c{h}_c \\ S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ca\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C \\ S=\frac{abc}{4R} \\ S=pr \\ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \end{gathered}$$

(Công thức Hê-rông)

$\to$Dựa vào dữ kiện bài ra để sử dụng linh hoạt một trong các công thức ở trên.

Định lí Côsin 

Đối với tam giác ABC, ta thường kí hiệu A, B, C là các góc của tam giác tại đỉnh tương ứng; a, b, c tương ứng là độ dài của các cạnh đối diện với đỉnh A, B, C; p là nửa chu vi; S là diện tích; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.

Định lí Côsin. Trong tam giác ABC:

a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA.

b2 = c2 + a2 – 2ca.cosB.

c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC.

Định lí sin

Trong tam giác ABC: $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{sinA}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{sinB}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{sinC}}=2\mathrm{R}$.

Giải tam giác và ứng dụng thực tế

- Việc tính độ dài các cạnh và số đo các góc của một tam giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó được gọi là giải tam giác.

Chú ý: Áp dụng định lí côsin, sin và sử dụng máy tính cầm tay, ta có thể tính (gần đúng) các cạnh và các góc của một tam giác trong các trường hợp sau:

+ Biết hai cạnh và góc xen giữa.

+ Biết ba cạnh.

+ Biết một cạnh và hai góc kề.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Trắc nghiệm Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác (có đáp án)

Tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Chương 3. Hệ thức lượng trong tam giác - Kết nối tri thức

Sách bài tập Toán 10 Bài 6 (Kết nối tri thức): Hệ thức lượng trong tam giác