Toán 9 Bài 11 (Kết nối tri thức): Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Giải Toán 9 Bài 11: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Mở đầu trang 66 Toán 9 Tập 2: Ta có thể xác định “góc dốc” α của một đoạn đường dốc khi biết độ dài của dốc là a và độ cao của đỉnh dốc so với đường nằm ngang là h không? (H.4.1). (Trong các tòa chung cư, người ta thường thiết kế đoạn dốc cho người đi xe lăn với góc dốc bé hơn 6°).

Lời giải:

Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Theo định nghĩa tỉ số lượng giác sin, ta có $\sin \alpha =\frac{h}{a}.$

Vậy ta sẽ xác định được “góc dốc” α của một đoạn đường dốc khi biết độ dài của dốc là a và độ cao của đỉnh dốc so với đường nằm ngang là h.

1. Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn

Giải Toán 9 trang 67 Tập 1

Câu hỏi trang 67 Toán 9 Tập 1: Xét góc C của tam giác ABC vuông tại A (H.4.3). Hãy chỉ ra cạnh đối và cạnh kề của góc C.

Lời giải:

Góc C có cạnh đối là AB và cạnh kề là AC.

HĐ1 trang 67 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A và tam giác A’B’C’ vuông tại A’ có $\widehat{B}=\widehat{B^{\text{'}}}=\alpha .$ Chứng minh rằng:

a) ∆ABC ᔕ ∆A’B’C’;

b) $\frac{AC}{BC}=\frac{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}};\frac{AB}{BC}=\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}};\frac{AC}{AB}=\frac{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}};\frac{AB}{AC}=\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}.$

Lời giải:

a) Xét ∆ABC và ∆A’B’C’ có:

$\widehat{A}=\widehat{A^{\text{'}}}=90°; \widehat{B}=\widehat{B^{\text{'}}}=\alpha .$

Do đó ∆ABC ᔕ ∆A’B’C’ (g.g).

b) Từ ∆ABC ᔕ ∆A’B’C’ (câu a), suy ra: $\frac{AB}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{AC}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{BC}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$(tỉ lệ các cạnh tương ứng).

Từ $\frac{AB}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{AC}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}},$ ta có $\frac{AB}{AC}=\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ và (tính chất tỉ lệ thức).

Từ $\frac{AC}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{BC}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}},$ ta có $\frac{AC}{BC}=\frac{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ (tính chất tỉ lệ thức).

Từ $\frac{AB}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{BC}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}},$ ta có $\frac{AB}{BC}=\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ (tính chất tỉ lệ thức).

Vậy $\frac{AC}{BC}=\frac{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}};\frac{AB}{BC}=\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}};\frac{AC}{AB}=\frac{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}};\frac{AB}{AC}=\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}.$

Giải Toán 9 trang 68 Tập 1

Luyện tập 1 trang 68 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5 cm, AC = 12 cm. Hãy tính các tỉ số lượng giác của góc B.

Lời giải:

Xét ∆ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC² = 5² + 12² = 169 nên BC = 13 (cm).

Theo định nghĩa của tỉ số lượng giác sin, côsin, tang, côtang ta có:

$\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{12}{13},\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{5}{13};\tan B=\frac{AC}{AB}=\frac{12}{5};\cot B=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{12}.$

Luyện tập 1 trang 68 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5 cm, AC = 12 cm. Hãy tính các tỉ số lượng giác của góc B.

Lời giải:

Xét ∆ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC² = 5² + 12² = 169 nên BC = 13 (cm).

Theo định nghĩa của tỉ số lượng giác sin, côsin, tang, côtang ta có:

$\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{12}{13},\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{5}{13};\tan B=\frac{AC}{AB}=\frac{12}{5};\cot B=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{12}.$

Giải Toán 9 trang 69 Tập 1

HĐ2 trang 69 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A và AB = AC = a (H.4.7a).

a) Hãy tính BC và các tỉ số $\frac{AB}{BC},\frac{AC}{BC}.$ Từ đó suy ra sin45°, cos45°.

b) Hãy tính các tỉ số $\frac{AB}{AC}$và $\frac{AC}{AB}.$Từ đó suy ra tan45°, cot45°.

Lời giải:

Xét ∆ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC² = a² + a² = 2a², suy ra $BC=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}$(cm).

∆ABC vuông tại A có AB = AC nên ∆ABC vuông cân tại A nên $\widehat{B}=\widehat{C}=45°.$

a) Ta có: $\frac{AB}{BC}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ và $\frac{AC}{BC}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Do đó $\sin 45°=\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{2}}{2};$ $\cos 45°=\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

b) Ta có: $\frac{AB}{AC}=\frac{a}{a}=1;\frac{AC}{AB}=\frac{a}{a}=1.$

Do đó $\tan 45°=\tan B=\frac{AC}{AB}=1;\cot 45°=\cot B=\frac{AB}{AC}=1.$

HĐ3 trang 69 Toán 9 Tập 1: Xét tam giác đều ABC có cạnh bằng 2a.

a) Tính đường cao AH của tam giác ABC (H.4.7b).

b) Tính sin30°, cos30°, sin60° và cos60°.

c) Tính tan30°, cot30°, tan60° và cot60°.

Lời giải:

a) Tam giác ABC đều có đường cao AH nên AH cũng là đường trung tuyến của tam giác. Do đó H là trung điểm của BC nên $BH=HC=\frac{BC}{2}=\frac{2a}{2}=a.$

Xét ∆ABH vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có:

AB² = AH² + HB², suy ra AH² = AB² – HB² = (2a)² – a² = 4a² – a² = 3a².

Do đó $AH=\sqrt{3a^2}=a\sqrt{3}.$

b) Tam giác ABC đều nên $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=60°.$

Tam giác ABC đều có đường cao AH nên AH cũng là đường phân giác của $\widehat{BAC}$ của tam giác. Do đó $\widehat{BAH}=\widehat{CAH}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}=\frac{1}{2}\cdot 60°=30°.$

Do đó $\sin 30°=\sin \widehat{BAH}=\frac{BH}{AB}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2};$

$\cos 30°=\cos \widehat{BAH}=\frac{AH}{AB}=\frac{a\sqrt{3}}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2};$

$\sin 60°=\sin B=\frac{AH}{AB}=\frac{a\sqrt{3}}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2};$

$\cos 60°=\cos B=\frac{BH}{AB}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}.$

c) $\tan 30°=\tan \widehat{BAH}=\frac{BH}{AH}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3};$

$\cot 30°=\cot \widehat{BAH}=\frac{AH}{BH}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3};$

$\tan 60°=\tan B=\frac{AH}{BH}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3};$

$\cot 60°=\tan \widehat{ABH}=\frac{BH}{AH}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$

Giải Toán 9 trang 70 Tập 1

Luyện tập 2 trang 70 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{C}=45°$ và AB = c. Tính BC và AC theo c.

Lời giải:

Ta có: $\tan C=\frac{AB}{AC},$ suy ra $AC=\frac{AB}{\tan C}=\frac{c}{\tan 45°},$ mà tan45° = 1 nên $AC=\frac{c}{1}=c.$

Tương tự, $\sin C=\frac{AB}{BC},$ suy ra $BC=\frac{AB}{\sin C}=\frac{c}{\sin 45°},$ mà $\sin 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$ nên $BC=\frac{c}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{2c}{\sqrt{2}}=c\sqrt{2}.$

2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

HĐ4 trang 70 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại C, có $\widehat{A}=\alpha ,\widehat{B}=\beta$(H.4.9). Hãy viết các tỉ số lượng giác của góc α, β theo độ dài các cạnh của tam giác ABC. Trong các tỉ số đó, cho biết các cặp tỉ số bằng nhau.

Lời giải:

Xét ∆ABC vuông tại C, theo định nghĩa tỉ số lượng giác, ta có:

$sin\alpha =\frac{BC}{AB};\cos \alpha =\frac{AC}{AB};\tan \alpha =\frac{BC}{AC};\cot \alpha =\frac{AC}{BC};$

$sin\beta =\frac{AC}{AB};\cos \beta =\frac{BC}{AB};\tan \beta =\frac{AC}{BC};\cot \beta =\frac{BC}{AC}.$

Từ đó ta có: sinα = cosβ; cosα = sinβ; tanα = cosβ; cotα = tanβ.

Luyện tập 3 trang 70 Toán 9 Tập 1: Hãy giải thích tại sao sin35° = cos55°, tan35° = cot55°.

Lời giải:

Ta có sin35° = cos(90° – 35°) = 55°; tan35° = cot(90° – 35°) = cot55°.

3. Sử dụng máy tính cầm tay tính tỉ số lượng giác của một góc nhọn

Luyện tập 4 trang 71 Toán 9 Tập 1: Sử dụng MTCT tính các tỉ số lượng giác và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba:

a) sin40°54’;

b) cos52°15’;

c) tan69°36’;

d) cot25°18’.

Lời giải:

Làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba, ta được:

sin40°54’ ≈ 0,655; cos52°15’ ≈ 0,612; tan69°36’ ≈ 2,689; cot25°18’ ≈ 2,116.

Giải Toán 9 trang 72 Tập 1

Luyện tập 5 trang 72 Toán 9 Tập 1: Dùng MTCT, tìm các góc α (làm tròn đến phút), biết:

a) sinα = 0,3782;

b) cosα = 0,6251;

c) tanα = 2,154;

d) cotα = 3,253.

Lời giải:

Vận dụng trang 72 Toán 9 Tập 1: Trở lại bài toán ở tình huống mở đầu. Trong một tòa chung cư, biết đoạn dốc vào sảnh tòa nhà dài 4 m, độ cao của đỉnh dốc bằng 0,4 m.

a) Hãy tính góc dốc.

b) Hỏi góc đó có đúng tiêu chuẩn của dốc cho người đi xe lăn không?

Lời giải:

a) Theo định nghĩa tỉ số lượng giác sin, ta có $\sin \alpha =\frac{h}{a}=\frac{\mathrm{0,4}}{4}=\mathrm{0,1,}$ do đó α ≈ 5°44’.

b) Trong các tòa chung cư, người ta thường thiết kế đoạn dốc cho người đi xe lăn với góc dốc bé hơn 6°.

Vì α ≈ 5°44’ < 6° nên góc đó đúng tiêu chuẩn của dốc cho người đi xe lăn.

Tranh luận trang 72 Toán 9 Tập 1: Để tính khoảng cách giữa hai địa điểm A, B không đo trực tiếp được, chẳng hạn A và B là hai địa điểm ở hai bên sông, người ta lấy điểm C về phía bờ sông có chứa B sao cho tam giác ABC vuông tại B. Ở bên bờ sông chứa B, người ta đo được $\widehat{ACB}=\alpha$ và BC = a (H.4.10). Với các dữ liệu đó, đã tính được khoảng cách AB chưa? Nếu được, hãy tính AB, biết α = 55°, a = 70 m.

Vuông cho rằng: Không thể tính được AB vì trong tam giác vuông ABC, theo định lí Pythagore, phải biết được hai cạnh mới tính được cạnh thứ ba.

Tròn khẳng định: Với các dữ liệu đã biết là có thể tính được khoảng cách AB rồi.

Em hãy cho biết ý kiến của mình.

Lời giải:

Em đồng ý với ý kiến của bạn Tròn, tức là với các dữ liệu đã biết là có thể tính được khoảng cách AB.

Giải thích: Ta có $\tan \alpha =\frac{AB}{BC},$ suy ra AB = BC.tanα = a.tanα.

Với α = 55°, a = 70 m, ta có: AB = 70.tan55° ≈ 99,97 (m).

Bài tập

Giải Toán 9 trang 73 Tập 1

Bài 4.1 trang 73 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tính các tỉ số lượng giác sin, coossin, tang, cotang của các góc nhọn B và C khi biết:

a) AB = 8 cm, BC = 17 cm;

b) AC = 0,9 cm, AB = 1,2 cm.

Lời giải:

a) Xét ∆ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC²

Suy ra AC² = BC² – AB² = 17² – 8² = 225.

Do đó AC = 15 cm.

Xét ∆ABC vuông tại A, theo định nghĩa tỉ số lượng giác sin, côsin, tang, cotang và định lí tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau, ta có:

● $\sin B=\cos C=\frac{AC}{BC}=\frac{15}{17};$

● $\cos B=\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{8}{17};$

● $\tan B=\cot C=\frac{AC}{AB}=\frac{15}{8};$

● $\cot B=\tan C=\frac{AB}{AC}=\frac{8}{15}.$

b) Xét ∆ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC² = 1,2² + 0,9² = 2,25

Do đó BC = 1,5 cm.

Xét ∆ABC vuông tại A, theo định nghĩa tỉ số lượng giác sin, côsin, tang, cotang và định lí tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau, ta có:

● $\sin B=\cos C=\frac{AC}{BC}=\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{1,5}}=\frac{3}{5};$

● $\cos B=\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{1,5}}=\frac{4}{5};$

● $\tan B=\cot C=\frac{AC}{AB}=\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{1,2}}=\frac{3}{4};$

● $\cot B=\tan C=\frac{AB}{AC}=\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,9}}=\frac{4}{3}.$

Bài 4.2 trang 73 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác vuông có một góc nhọn 60° và cạnh kề với góc 60° bằng 3 cm. Hãy tính cạnh đối của góc này.

Lời giải:

Xét ∆ABC có $\widehat{B}=60°,$ cạnh kề với góc B là AB = 3 cm. Ta cần tính cạnh đối của góc B là AC.

Theo định nghĩa tỉ số lượng giác tan, ta có $\tan B=\frac{AC}{AB}.$

Suy ra $AC=AB.tanB=3tan60°=3\sqrt{3}$(cm).

Vậy cạnh đối của góc nhọn 60° là $3\sqrt{3}\text{ cm}.$

Bài 4.3 trang 73 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác vuông có một góc nhọn bằng 30° và cạnh đối với góc này bằng 5 cm. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác.

Lời giải:

Xét ∆ABC vuông tại A có $\widehat{B}=30°,$ cạnh đối với góc B là AC = 5 cm. Ta cần tính cạnh huyền của tam giác là BC.

Theo định nghĩa tỉ số lượng giác sin, ta có $\sin B=\frac{AC}{BC}.$

Suy ra $BC=\frac{AC}{\sin B}=\frac{5}{\sin 30°}=\frac{5}{\frac{1}{2}}=10$(cm).

Vậy cạnh huyền của tam giác là 10 cm.

Bài 4.4 trang 73 Toán 9 Tập 1: Cho hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng lần lượt là 3 và √3. Tính góc giữa đường chéo và cạnh ngắn hơn của hình chữ nhật (sử dụng bảng giá trị lượng giác trang 69).

Lời giải:

Gọi hình chữ nhật trong bài là hình chữ nhật ABCD với chiều rộng là cạnh $AD=\sqrt{3},$ chiều dài là cạnh CD = 3, đường chéo AC, góc tạo bởi đường chéo và cạnh ngắn hơn của hình chữ nhật là góc α.

Xét ∆ABC vuông tại D, theo định nghĩa tỉ số lượng giác tan, ta có:

$\tan \alpha =\frac{CD}{AD}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3},$ suy ra α = 60°.

Vậy góc giữa đường chéo và cạnh ngắn hơn của hình chữ nhật đã cho là 60°.

Bài 4.5 trang 73 Toán 9 Tập 1: a) Viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 45°:

sin55°, cos62°, tan57°, cot64°.

b) Tính $\frac{\tan 25°}{\cot 65°},\tan 34°-\cot 56°.$

Lời giải:

a) Áp dụng định lí tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau, ta có:

⦁ sin55° = cos(90° – 55°) = cos35°;

⦁ cos62° = sin(90° – 62°) = sin28°;

⦁ tan57° = cot(90° – 57°) = cot33°;

⦁ cot64° = tan(90° – 64°) = tan26°.

b) Áp dụng định lí tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau, ta có:

$\frac{\tan 25°}{\cot 65°}=\frac{\cot \left(90°-25°\right)}{\cot 65°}=\frac{\cot 65°}{\cot 65°}=1;$

⦁ tan34° – cot56° = tan34° – tan(90° – 56°) = tan34° – tan34° = 0.

Bài 4.6 trang 73 Toán 9 Tập 1: Dùng MTCT, tính (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba):

a) sin40°12’;

b) cos52°54’;

c) tan63°36’;

d) cot35°20’.

Lời giải:

Làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba, ta được:

sin40°12’ ≈ 0,645; cos52°54’ ≈ 0,603; tan63°36’ ≈ 2,014; cot35°20’ ≈ 1,411.

Bài 4.7 trang 73 Toán 9 Tập 1: Dùng MTCT, tìm số đo của góc nhọn x (làm tròn đến phút), biết rằng:

a) sinx = 0,2368;

b) cosx = 0,6224;

c) tanx = 1,236;

d) cotx = 2,154.

Lời giải:

Xem thêm lời giải bài tập Toán 9 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Luyện tập chung trang 63

Bài tập cuối chương 3 trang 65

Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

Luyện tập chung trang 80

Bài tập cuối chương 4 trang 81