Giải Toán 9 Bài 20 (Kết nối tri thức): Định lí Viète và ứng dụng

Giải bài tập Toán 9 Bài 20: Định lí Viète và ứng dụng

Mở đầu trang 21 Toán 9 Tập 2: Bác An có 40 m hàng rào lưới thép. Bác muốn dùng nó để rào xung quanh một mảnh đất trống (đủ rộng) thành một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 96 m² để trồng rau. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó.

Lời giải:

Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:

Gọi hai kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật là x₁; x­₂ (m).

Ta có nửa chu vi và diện tích mảnh vườn hình chữ nhật lần lượt là x₁ + x­₂ (m) và x₁x₂ (m²).

Theo bài, hàng rào 40 m rào xung quanh mảnh vườn nên nửa chu vi mảnh vườn là 40 : 2 = 20 (m), do đó x₁ + x­₂ = 20.

Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật là 96 m², do đó x₁x₂ = 96.

Khi đó, x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình: x² – 20x + 96 = 0.

Ta có ∆’ = (–10)² – 1.96 = 4 > 0 và $\sqrt{\Delta }=\sqrt{4}=2.$

Do đó phương trình có hai nghiệm là: $x_1=\frac{10+2}{1}=12;$ $x_2=\frac{10-2}{1}=8.$

Vậy chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó lần lượt là 12 (m) và 8 (m) (do chiều dài luôn lớn hơn chiều rộng).

HĐ1 trang 21 Toán 9 Tập 2: Xét phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0). Giả sử ∆ = b² – 4ac ≥ 0.

Nhắc lại công thức tính hai nghiệm x­₁, x₂ của phương trình trên.

Lời giải:

Xét phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0).

⦁ Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a},$ $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}.$

⦁ Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:

$x_1=x_2=-\frac{b}{2a}.$

HĐ2 trang 21 Toán 9 Tập 2: Từ kết quả HĐ1, hãy tính x₁ + x₂ và x₁x₂.

Lời giải:

Ta có:

⦁ $x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}+\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a};$

⦁ $x_1{x}_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\cdot \frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{\left(-b+\sqrt{\Delta }\right)\left(-b-\sqrt{\Delta }\right)}{{\left(2a\right)}^2}$

$=\frac{\left(-b+\sqrt{\Delta }\right)\left(-b-\sqrt{\Delta }\right)}{{\left(2a\right)}^2}=\frac{{\left(-b\right)}^2-{\left(\sqrt{\Delta }\right)}^2}{4a^2}$

$=\frac{b^2-\left(b^2-4ac\right)}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}.$

Luyện tập 1 trang 22 Toán 9 Tập 2: Không giải phương trình, hãy tính biệt thức ∆ (hoặc ∆’) để kiểm tra điều kiện có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm của các phương trình bậc hai sau:

a) 2x² – 7x + 3 = 0;

b) 25x² – 20x + 4 = 0;

c) $2\sqrt{2}{x}^2-4=0.$

Lời giải:

a) 2x² – 7x + 3 = 0

Ta có ∆ = (–7)² – 4.2.3 = 25 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có:

$x_1+x_2=-\frac{-7}{2}=\frac{7}{2};$ $x_1{x}_2=\frac{3}{2}.$

b) 25x² – 20x + 4 = 0

Ta có ∆’ = (–10)² – 25.4 = 0 nên phương trình có hai nghiệm trùng nhau x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có:

$x_1+x_2=-\frac{-20}{25}=\frac{4}{5};$ $x_1{x}_2=\frac{4}{25}.$

c) $2\sqrt{2}{x}^2-4=0.$

Ta có ${\Delta }^{\text{'}}=0^2–2\sqrt{2}\cdot \left(-4\right)=8\sqrt{2}>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có:

$x_1+x_2=-\frac{0}{2\sqrt{2}}=0;$ $x_1{x}_2=\frac{-4}{2\sqrt{2}}=-\sqrt{2}.$

Tranh luận trang 22 Toán 9 Tập 2: Tròn nói: “Không cần giải, tớ biết ngay tổng và tích hai nghiệm của phương trình x² – x + 1 = 0 đều bằng 1”.

Ý kiến của em thế nào?

Lời giải:

Ta có ∆ = (–1)² – 4.1.1 = –3 < 0 nên phương trình vô nghiệm.

Do đó, không tính được tổng và tích các nghiệm của phương trình x² – x + 1 = 0.

Vậy bạn Tròn nói sai.

Luyện tập 1 trang 22 Toán 9 Tập 2: Không giải phương trình, hãy tính biệt thức ∆ (hoặc ∆’) để kiểm tra điều kiện có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm của các phương trình bậc hai sau:

a) 2x² – 7x + 3 = 0;

b) 25x² – 20x + 4 = 0;

c) $2\sqrt{2}{x}^2-4=0.$

Lời giải:

a) 2x² – 7x + 3 = 0

Ta có ∆ = (–7)² – 4.2.3 = 25 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có:

$x_1+x_2=-\frac{-7}{2}=\frac{7}{2};$ $x_1{x}_2=\frac{3}{2}.$

b) 25x² – 20x + 4 = 0

Ta có ∆’ = (–10)² – 25.4 = 0 nên phương trình có hai nghiệm trùng nhau x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có:

$x_1+x_2=-\frac{-20}{25}=\frac{4}{5};$ $x_1{x}_2=\frac{4}{25}.$

c) $2\sqrt{2}{x}^2-4=0.$

Ta có ${\Delta }^{\text{'}}=0^2–2\sqrt{2}\cdot \left(-4\right)=8\sqrt{2}>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có:

$x_1+x_2=-\frac{0}{2\sqrt{2}}=0;$ $x_1{x}_2=\frac{-4}{2\sqrt{2}}=-\sqrt{2}.$

HĐ3 trang 22 Toán 9 Tập 2: Cho phương trình 2x² – 7x + 5 = 0.

a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a + b + c.

b) Chứng tỏ rằng x­₁ = 1 là một nghiệm của phương trình.

c) Dùng định lí Viète để tìm nghiệm còn lại x₂ của phương trình.

Lời giải:

a) Ta có a = 2, b = –7, c = 5 và a + b + c = 2 + (–7) + 5 = 0.

b) Thay x₁ = 1 vào phương trình 2x² – 7x + 5 = 0, ta được:

2.1² – 7.1 + 5 = 0 (đúng).

Vậy x­₁ = 1 là một nghiệm của phương trình 2x² – 7x + 5 = 0.

c) Theo định lí Viète, ta có: $x_1+x_2=-\frac{-7}{2}=\frac{7}{2}.$

Hay $1+x_2=\frac{7}{2},$ suy ra $x_2=\frac{7}{2}-1=\frac{5}{2}.$

Vậy $x_2=\frac{5}{2}.$

HĐ4 trang 22 Toán 9 Tập 2: Cho phương trình 3x² + 5x + 2 = 0.

a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a – b + c.

b) Chứng tỏ rằng x₁ = –1 là một nghiệm của phương trình.

c) Dùng định lí Viète để tìm nghiệm còn lại x₂ của phương trình.

Lời giải:

a) Ta có a = 3, b = 5, c = 2 và a – b + c = 3 – 5 + 2 = 0.

b) Thay x₁ = –1 vào phương trình 3x² + 5x + 2 = 0, ta được:

3.(–1)² + 5.(–1) + 2 = 0 (đúng).

Vậy x­₁ = –1 là một nghiệm của phương trình 3x² + 5x + 2 = 0.

c) Theo định lí Viète, ta có: $x_1+x_2=-\frac{5}{3}.$

Hay $-1+x_2=-\frac{5}{3},$ suy ra $x_2=-\frac{5}{3}+1=-\frac{2}{3}.$

Vậy $x_2=-\frac{2}{3}.$

Luyện tập 2 trang 23 Toán 9 Tập 2: Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) 3x² – 11x + 8 = 0;

b) 4x² + 15x + 11 = 0;

c) $x^2+2\sqrt{2}x+2=0,$ biết phương trình có một nghiệm là $x=-\sqrt{2}.$

Lời giải:

a) Ta có a + b + c = 3 + (–11) + 8 = 0 nên phương trình có hai nghiệm x₁ = 1, $x_2=\frac{8}{3}.$

b) Ta có a – b + c = 4 – 15 + 11 = 0 nên phương trình có hai nghiệm x₁ = –1, $x_2=-\frac{11}{4}.$

c) Giả sử phương trình có một nghiệm $x_1=-\sqrt{2}$ và nghiệm còn lại là x­₂.

Theo định lí Viète, ta có: x­₁x₂ = 2.

Do đó $x_2=\frac{2}{x_1}=\frac{2}{-\sqrt{2}}=-\sqrt{2}.$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1=x_2=-\sqrt{2}.$

Thử thách nhỏ trang 23 Toán 9 Tập 2: Vuông đố Tròn: “Hãy tìm một phương trình bậc hai mà tổng và tích các nghiệm của phương trình là hai số đối nhau.”

Tròn trả lời: “Tớ tìm ra rồi! Đó là phương trình x² + x + 1 = 0”.

Em có đồng ý với ý kiến của Tròn không? Vì sao?

Lời giải:

Xét phương trình x² + x + 1 = 0 có ∆ = 1² – 4.1.1 = –3 < 0.

Do đó phương trình trên vô nghiệm.

Vậy em không đồng ý với ý kiến của Tròn.

HĐ5 trang 23 Toán 9 Tập 2: Giả sử hai số có tổng S = 5 và tích P = 6. Thực hiện các bước sau để lập phương trình bậc hai nhận hai số đó làm nghiệm.

a) Gọi một số là x. Tính số kia theo x.

b) Sử dụng kết quả câu a và giả thiết, hãy lập phương trình để tìm x.

Lời giải:

a) Số còn lại là 5 – x.

b) Tích của hai số x và 5 – x là: x(5 – x).

Theo bài, ta có:

x(5 – x) = 6

5x – x² = 6

x² – 5x + 6 = 0.

Ta có ∆ = (–5)² – 4.1.6 = 1 > 0.

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{5+1}{2\cdot 1}=3,$ $x_2=\frac{5-1}{2\cdot 1}=2.$

Luyện tập 3 trang 24 Toán 9 Tập 2: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng –11, tích của chúng bằng 28.

Lời giải:

Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình x² + 11x + 28 = 0.

Ta có ∆ = 11² – 4.1.28 = 9 > 0 và $\sqrt{\Delta }=\sqrt{9}=3.$

Suy ra phương trình có hai nghiệm $x_1=\frac{-11+3}{2\cdot 1}=-4,$ $x_2=\frac{-11-3}{2\cdot 1}=-7.$

Vậy hai số cần tìm là –4 và –7.

HĐ5 trang 23 Toán 9 Tập 2: Giả sử hai số có tổng S = 5 và tích P = 6. Thực hiện các bước sau để lập phương trình bậc hai nhận hai số đó làm nghiệm.

a) Gọi một số là x. Tính số kia theo x.

b) Sử dụng kết quả câu a và giả thiết, hãy lập phương trình để tìm x.

Lời giải:

a) Số còn lại là 5 – x.

b) Tích của hai số x và 5 – x là: x(5 – x).

Theo bài, ta có:

x(5 – x) = 6

5x – x² = 6

x² – 5x + 6 = 0.

Ta có ∆ = (–5)² – 4.1.6 = 1 > 0.

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{5+1}{2\cdot 1}=3,$ $x_2=\frac{5-1}{2\cdot 1}=2.$

Vận dụng trang 24 Toán 9 Tập 2: Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

Lời giải:

Gọi hai kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật là x₁; x­₂ (m).

Ta có nửa chu vi và diện tích mảnh vườn hình chữ nhật lần lượt là x₁ + x­₂ (m) và x₁x₂ (m²).

Theo bài, hàng rào 40 m rào xung quanh mảnh vườn nên nửa chu vi mảnh vườn là 40 : 2 = 20 (m), do đó x₁ + x­₂ = 20.

Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật là 96 m², do đó x₁x₂ = 96.

Khi đó, x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình: x² – 20x + 96 = 0.

Ta có ∆’ = (–10)² – 1.96 = 4 > 0 và $\sqrt{\Delta }=\sqrt{4}=2.$

Do đó phương trình có hai nghiệm là: $x_1=\frac{10+2}{1}=12;$ $x_2=\frac{10-2}{1}=8.$

Vậy chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó lần lượt là 12 (m) và 8 (m) (do chiều dài luôn lớn hơn chiều rộng).

Bài 6.23 trang 24 Toán 9 Tập 2: Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của các phương trình sau:

а) x² – 12x + 8 = 0;

b) 2x² + 11x – 5 =0;

c) 3x² – 10 = 0;

d) x² – x + 3 = 0.

Lời giải:

a) x² – 12x + 8 = 0.

Ta có: ∆’ = (–6)² – 1.8 = 28 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có:

x₁ + x₂ = 12; x₁x₂ = 8.

b) 2x² + 11x – 5 =0.

Ta có: ∆ = 11² – 4.2.(–5) = 161 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có:

$x_1+x_2=-\frac{11}{2};x_1{x}_2=\frac{-5}{2}.$

c) 3x² – 10 = 0.

Ta có: ∆’ = 0² – 3.(–10) = 30 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có:

$x_1+x_2=-\frac{0}{3}=0;$ $x_1{x}_2=\frac{-10}{3}.$

d) x² – x + 3 = 0.

Ta có: ∆ = (–1)² – 4.1.3 = –11 < 0 nên phương trình vô nghiệm.

Bài 6.24 trang 24 Toán 9 Tập 2: Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

а) 2x² – 9x + 7 = 0;

b) 3x² + 11x + 8 = 0;

c) 7x² – 15x + 2 = 0, biết phương trình có một nghiệm x₁ = 2.

Lời giải:

a) Ta có: a + b + c = 2 + (–9) + 7 = 0 nên phương trình có hai nghiệm: x₁ = 1; $x_2=\frac{7}{2}.$

b) Ta có: a – b + c = 3 – 11 + 8 = 0 nên phương trình có hai nghiệm: x₁ = –1; $x_2=\frac{-8}{3}.$

c) Gọi x_2­ là nghiệm còn lại của phương trình.

Theo định lí Viète, ta có: $x_1{x}_2=\frac{2}{7}.$

Do đó $x_2=\frac{2}{7}:x_1=\frac{2}{7}:2=\frac{1}{7}.$

Vậy phương trình có hai nghiệm là x₁ = 2 và $x_2=\frac{1}{7}.$

Bài 6.25 trang 24 Toán 9 Tập 2: Tìm hai số u và v, biết:

a) u + v = 20, uv = 99;

b) u + v = 2, uv = 15.

Lời giải:

a) Vì u + v = 20, uv = 99 nên u và v là hai nghiệm của phương trình x² – 20x + 99 = 0.

Ta có ∆’ = (–10)² – 1.99 = 1 > 0 và $\sqrt{{\Delta }^{\text{'}}}=1.$

Suy ra phương trình có hai nghiệm $x_1=\frac{10+1}{1}=11;$ $x_2=\frac{10-1}{1}=9.$

Vậy u = 11; v = 9 hoặc u = 9; v = 11.

b) Vì u + v = 2, uv = 15 nên u và v là hai nghiệm của phương trình x² – 2x + 15 = 0.

Ta có ∆’ = (–1)² – 1.15 = –14 < 0 nên phương trình trên vô nghiệm.

Vậy không có số u và v nào thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bài 6.26 trang 24 Toán 9 Tập 2: Chứng tỏ rằng nếu phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm là x₁ và x₂ thì đa thức ax² + bx + c phân tích được thành nhân tử như sau:

ax² + bx + c = a(x – x­₁)(x – x₂).

Áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x² + 11x + 18;

b) 3x² + 5x – 2.

Lời giải:

⦁ Phương trình ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm là x₁ và x₂ nên theo định lí Viète, ta có:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ và $x_1{x}_2=\frac{c}{a}.$

Suy ra b = –a(x₁ + x₂) và c = ax₁x₂.

Do đó:

ax² + bx + c = ax² – a(x₁ + x₂)x + ax₁x₂

= ax² – ax₁x – ax₂x + ax₁x₂

= ax(x – x₁) – ax₂(x – x₁)

= a(x – x₁)(x – x₂).

Vậy nếu phương trình ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm là x₁ và x₂ thì đa thức ax² + bx + c phân tích được thành nhân tử là: ax² + bx + c = a(x – x­₁)(x – x₂).

⦁ Áp dụng: Phân tích các đa thức thành nhân tử:

a) x² + 11x + 18.

Phương trình x² + 11x + 18 = 0 có ∆ = 11² – 4.1.18 = 49 > 0 và $\sqrt{\Delta }=\sqrt{49}=7.$

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-11+7}{2\cdot 1}=-2;$ $x_2=\frac{-11-7}{2\cdot 1}=-9.$

Vậy đa thức x² + 11x + 18 phân tích được thành nhân tử như sau:

x² + 11x + 18 = (x + 2)(x + 9).

b) 3x² + 5x – 2.

Phương trình 3x² + 5x – 2 = 0 có ∆ = 5² – 4.3.(–2) = 49 > 0 và $\sqrt{\Delta }=\sqrt{49}=7.$

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-5+7}{2\cdot 3}=\frac{1}{3};$$x_2=\frac{-5-7}{2\cdot 3}=-2.$

Vậy đa thức 3x² + 5x – 2 phân tích được thành nhân tử như sau:

$3x^2+5x–2=3\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x+2\right).$

Bài 6.27 trang 24 Toán 9 Tập 2: Một bể bơi hình chữ nhật có diện tích 300 m² và chu vi là 74 m. Tính các kích thước của bể bơi này.

Lời giải:

Gọi hai kích thước của bể bơi hình chữ nhật là x₁; x­₂ (m).

Ta có nửa chu vi và diện tích bể bơi hình chữ nhật lần lượt là x₁ + x­₂ (m) và x₁x₂ (m²).

Theo bài, bể bơi hình chữ nhật có chu vi 74 m nên nửa chu vi bể bơi hình chữ nhật là 74 : 2 = 37 (m), do đó x₁ + x­₂ = 37.

Diện tích bể bơi hình chữ nhật là 300 m², do đó x₁x₂ = 300.

Khi đó, x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình: x² – 37x + 300 = 0.

Ta có ∆ = (–37)² – 4.1.300 = 169 > 0 và $\sqrt{\Delta }=\sqrt{169}=13.$

Suy ra phương trình trên có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{37+13}{2\cdot 1}=25;$ $x_2=\frac{37-13}{2\cdot 1}=12.$

Vậy chiều dài và chiều rộng của bể bơi lần lượt là 25 m và 12 m (do chiều dài luôn lớn hơn chiều rộng).

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 21: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Luyện tập chung (trang 29)

Bài tập cuối chương 6

Bài 22: Bảng tần số và biểu đồ tần số

Bài 23: Bảng tần số tương đối và biểu đồ tần số tương đối