Toán 9 (Kết nối tri thức) Bài tập cuối chương 5 trang 112

Giải Toán 9 Bài tập cuối chương 5 trang 112

Bài tập

Bài 5.32 trang 112 Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O; 4 cm) và hai điểm A, B. Biết rằng $OA=\sqrt{15}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}cm}$ và OB = 4 cm. Khi đó:

A. Điểm A nằm trong (O), điểm B nằm ngoài (O).

B. Điểm A nằm ngoài (O), điểm B nằm trên (O).

C. Điểm A nằm trên (O), điểm B nằm trong (O).

D. Điểm A nằm trong (O), điểm B nằm trên (O).

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Vì $OA=\sqrt{15}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}cm}<4\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}cm}$ nên điểm A nằm trong (O; 4 cm).

Vì OB = 4 cm nên điểm B nằm trên (O; 4 cm).

Vậy điểm A nằm trong (O), điểm B nằm trên (O).

Bài 5.33 trang 112 Toán 9 Tập 1: Cho hình 5.43, trong đó BD là đường kính, $\widehat{AOB}=40°;\widehat{BOC}=100°.$

Khi đó:

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

• Vì $\widehat{DOC}$ và $\widehat{BOC}$ là hai góc kề bù nên $\widehat{DOC}+\widehat{BOC}=180°$ .

Suy ra $\widehat{DOC}=180°-\widehat{BOC}=180°-100°=80°.$

Do đó $sđ\stackrel{⏜}{DC}=80°$ .

• Vì $\widehat{AOD}$ và $\widehat{AOB}$ là hai góc kề bù nên $\widehat{AOD}+\widehat{AOB}=180°$ .

Suy ra $\widehat{AOD}=180°-\widehat{AOB}=180°-40°=140°.$

Do đó $sđ\stackrel{⏜}{AD}=140°$ .

Vậy $sđ\stackrel{⏜}{DC}=80°$ và $sđ\stackrel{⏜}{AD}=140°$ .

Bài 5.34 trang 112 Toán 9 Tập 1: Cho hai đường tròn (A; R₁), (B; R₂), trong đó R₂ < R₁. Biết rằng hai đường tròn (A) và (B) cắt nhau (H.5.44).

Khi đó:

A. AB < R₁ − R₂.

B. R₁ − R₂ < AB < R₁ + R₂.

C. AB > R₁ + R₂.

D. AB = R₁ + R₂.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ABC, ta có:

AC – BC < AB < AC + BC.

Do đó R₁ − R₂ < AB < R₁ + R₂.

Bài 5.35 trang 112 Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O; R) và hai đường thẳng a₁ và a₂. Gọi d₁, d₂ lần lượt là khoảng cách từ điểm O đến a₁ và a₂. Biết rằng (O) cắt a₁ và tiếp xúc với a₂ (H.5.45).

Khi đó:

A. d₁ < R, d₂ = R.

B. d₁ = R, d₂ < R.

C. d₁ > R, d₂ = R.

D. d₁ < R, d₂ < R.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

• Vì (O) cắt a₁ nên d₁ < R.

• Vì (O) tiếp xúc a₂ nên d₂ = R.

Vậy d₁ < R, d₂ = R.

Bài 5.36 trang 112 Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O) đường kính BC và điểm A (khác B và C).

a) Chứng minh rằng nếu A nằm trên (O) thì ABC là một tam giác vuông; ngược lại, nếu ABC là tam giác vuông tại A thì nằm trên (O).

b) Giả sử A là một trong hai giao điểm của đường tròn (B; BO) với đường tròn (O). Tính các góc của tam giác ABC.

c) Với cùng giả thiết câu b), tính độ dài cung AC và diện tích hình quạt nằm trong (O) giới hạn bởi các bán kính OA và OC, biết rằng BC = 6 cm.

Lời giải:

a)

Vì điểm A nằm trên đường tròn tâm O nên AO = BO = CO.

Tam giác ABC có AO là đường trung tuyến ứng với cạnh BC và $AO=\frac{1}{2}BC$ nên tam giác ABC vuông tại A.

Chiều ngược lại: Nếu tam giác ABC vuông tại A, gọi O là trung điểm của cạnh huyền BC thì ta có AO = BO = CO (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông).

Từ đó ta có A, B, C thuộc đường tròn tâm O.

b)

Vì điểm A là giao điểm của hai đường tròn (O) và (B) nên A thuộc (O) đường kính BC nên tam giác BAC vuông tại A.

Tam giác ABO có AB = BO = AO nên tam giác ABO đều suy ra

$\widehat{ABO}=\widehat{AOB}=\widehat{BAO}=60°.$

Tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat{B}+\widehat{C}=90°$ .

Suy ra $\widehat{C}=90°-\widehat{B}=90°-60°=30°.$

c) Ta có: $\widehat{AOB}+\widehat{AOC}=180°$ (hai góc kề bù)

Suy ra $\widehat{AOC}=180°-\widehat{AOB}=180°-60°=120°.$

Đường kính BC = 6 cm nên bán kính đường tròn (O) là: 6 : 2 = 3 (cm).

Độ dài cung AC là: $\frac{2\pi \cdot 3\cdot 120}{360}=2\pi \text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(cm)}$ .

Diện tích phần quạt chứa OA, OC là: $\frac{\pi R^2\cdot 120}{360}=\frac{3^2\pi \cdot 120}{360}=3\pi \left({\text{cm}}^2\right).$

Bài 5.37 trang 113 Toán 9 Tập 1: Cho AB là một dây bất kì (không phải là đường kính) của đường tròn (O; 4 cm). Gọi C và D lần lượt là các điểm đối xứng với A và B qua tâm O.

a) Hai điểm C và D có nằm trên đường tròn (O) không? Vì sao?

b) Biết rằng ABCD là một hình vuông. Tính độ dài cung lớn AB và diện tích hình quạt tròn tạo bởi hai bán kính OA và OB.

Lời giải:

a) Vì A thuộc (O), C là điểm đối xứng của A qua O nên C thuộc (O);

Vì B thuộc (O), D là điểm đối xứng của B qua O nên D thuộc (O).

b) ABCD là hình vuông nên AC và BD vuông góc

Do đó: $\widehat{AOB}=90°$ . Suy ra $sđ\stackrel{⏜}{AB}=90°.$

Khi đó, số đo cung lớn AB là: 360° − 90° = 270°.

Độ dài cung lớn AB là: $\frac{n}{180}\cdot \pi R=\frac{270}{180}\cdot 4\pi =6\pi \text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(cm)}$ .

Diện tích hình quạt tròn tạo bởi hai bán kính OA và OB là:

$\frac{n}{360}\cdot \pi R^2=\frac{90}{360}\cdot \pi \cdot 4^2=4\pi \left({\text{cm}}^2\right)$.

Vậy độ dài cung lớn AB là 6π (cm); diện tích hình quạt tròn tạo bởi hai bán kính OA và OB là 4π (cm²).

Bài 5.38 trang 113 Toán 9 Tập 1: Cho điểm B nằm giữa hai điểm A và C, sao cho AB = 2 cm và BC = 1 cm. Vẽ các đường tròn (A; 1,5 cm), (B; 3 cm) và (C; 2 cm). Hãy xác định các cặp đường tròn:

a) Cắt nhau;

b) Không giao nhau;

c) Tiếp xúc với nhau.

Lời giải:

a) Cặp đường thẳng cắt nhau: (A) và (B); (A) và (C).

b) Không có cặp đường tròn nào không giao nhau.

c) Tiếp xúc với nhau: (B) và (C).

Bài 5.39 trang 113 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác vuông ABC ( $\widehat{A}$ vuông). Vẽ hai đường tròn (B; BA) và (C; CA) cắt nhau tại A và A'. Chứng minh rằng:

a) BA và BA' là hai tiếp tuyến cắt nhau của (C; CA).

b) CA và CA' là hai tiếp tuyến cắt nhau của (B; BA).

Lời giải:

a) Xét ΔABC và ΔA'BC có:

BA = BA'

BC chung

CA = CA'

Do đó ΔABC = ΔA'BC (c.c.c).

Suy ra $\widehat{BAC}=\widehat{B{A}^{\text{'}}C}=90°$ (hai góc tương ứng)

Khi đó CA′ ⊥ BA′ tại A′ nên BA′ là tiếp tuyến của (C; CA)

Lại có: CA ⊥ BA tại A nên BA là tiếp tuyến của (C; CA)

Vậy CA và CA′ là hai tiếp tuyến cắt nhau của (C; CA).

b) CA′ ⊥ BA′ tại A′ nên CA′ là tiếp tuyến của (B; BA).

CA ⊥ BA tại A nên CA là tiếp tuyến của (B; BA).

Vậy BA và BA′ là hai tiếp tuyến cắt nhau của (B; BA).

Bài 5.40 trang 113 Toán 9 Tập 1: Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng d đi qua A cắt (O) tại E và cắt (O') tại F (E và F) khác A. Biết điểm A nằm trong đoạn EF. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AE và AF (H.5.46).

a) Chứng minh rằng tứ giác OO'KI là một hình thang vuông.

b) Chứng minh rằng $IK=\frac{1}{2}EF.$

c) Khi d ở vị trí nào (d vẫn qua A) thì OO'KI là một hình chữ nhật?

Lời giải:

a) Tam giác OAE cân tại O có OI là trung tuyến nên OI cũng là đường cao.

Tam giác O'AF cân tại O có O'K là trung tuyến nên O'K cũng là đường cao.

Suy ra OI // O'K (vì cùng vuông góc với d).

Do đó OO'KI là hình thang.

Hình thang OO'KI có $\widehat{OIA}=90°$ nên OO'KI là một hình thang vuông (đpcm).

b) Vì I là trung điểm của AE nên $IA=\frac{1}{2}AE.$

Vì K là trung điểm của AF nên $AK=\frac{1}{2}AF.$

Suy ra $IK=IA+AK=\frac{1}{2}AE+\frac{1}{2}AF=\frac{1}{2}EF.$

Vậy $IK=\frac{1}{2}EF.$

c) Hình thang OO′KI là hình chữ nhật khi và chỉ khi $\widehat{OI{O}^{\text{'}}}=90°$ hay OI ⊥ OO′.

Mà d ⊥ OI nên d // OO′.

Vậy d vẫn qua A và d // OO′ thì OO'KI là một hình chữ nhật.