Toán 9 Bài 14 (Kết nối tri thức): Cung và dây của một đường tròn

Giải Toán 9 Bài 14: Cung và dây của một đường tròn

Mở đầu trang 87 Toán 9 Tập 1: Trong các cuộc thi đấu thể thao, người ta thường tổ chức thi bắn cung. Thuở xưa, cây cung được làm ra bằng cách buộc một sợi dây (gọi là dây cung) vào hai đầu của một đoạn tre (hoặc gỗ) có tính đàn hồi cao. Đoạn tre bị kéo căng, cong lại tạo nên hình ảnh của một phần đường tròn, đó cũng chính là hình ảnh “cung” trong Toán học. Trong bài này chúng ta sẽ tìm hiểu về những vấn đề liên quan đến khái niệm này.

1. Dây và đường kính của đường tròn

HĐ trang 87 Toán 9 Tập 1: Xét dây AB tùy ý không đi qua tâm của đường tròn (O; R) (H.5.7). Dựa vào quan hệ giữa các cạnh của tam giác AOB, chứng minh AB < 2R.

Lời giải:

Xét tam giác AOB có: AB < OA + OB (bất đẳng thức tam giác).

Mà OA = OB = R nên AB < 2R.

Luyện tập 1 trang 88 Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn đường kính BC. Chứng minh rằng với điểm A bất kì (khác B và C) trên đường tròn, ta đều có: BC < AB + AC < 2BC.

Lời giải:

Xét tam giác ABC có: BC < AB + AC (bất đẳng thức tam giác). (1)

Xét đường tròn đường kính BC có dây cung AB, AC ta có: AB < BC, AC < BC.

Suy ra: AB + AC < 2BC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra: BC < AB + AC < 2BC.

2. Góc ở tâm, cung và số đo của một cung

Câu hỏi trang 89 Toán 9 Tập 1: Tại sao số đo cung lớn của một đường tròn luôn lớn hơn 180°?

Lời giải:

Gọi $sđ\stackrel{⏜}{AB}$ nhỏ là $sđ\stackrel{⏜}{AmB}$ ; $sđ\stackrel{⏜}{AB}$ lớn là $sđ\stackrel{⏜}{AnB}$ .

Xét đường tròn tâm O ta có $sđ\stackrel{⏜}{AmB}+sđ\stackrel{⏜}{AnB}=360°.$

Mà $sđ\stackrel{⏜}{AnB}>sđ\stackrel{⏜}{AmB}$ .

Nên $sđ\stackrel{⏜}{AnB}+sđ\stackrel{⏜}{AnB}>sđ\stackrel{⏜}{AnB}+sđ\stackrel{⏜}{AmB}=360°.$

Suy ra $2.sđ\stackrel{⏜}{AnB}>360°$ hay $sđ\stackrel{⏜}{AnB}>180°$ .

Vậy số đo cung lớn luôn lớn hơn 180°.

Luyện tập 2 trang 90 Toán 9 Tập 1: Cho điểm C nằm trên đường tròn (O). Đường trung trực của đoạn OC cắt (O) tại A. Tính số đo của các cung $\stackrel{⏜}{ACB}$ và $\stackrel{⏜}{ABC}.$

Lời giải:

Vì AB là đường trung trực của AB của OC nên AC = OA (tính chất đường trung trực).

Mà OA = OC = R nên AC = OA = OC.

Nên ΔACO là tam giác đều.

Do đó: $\widehat{ACO}=60°$ (tính chất của tam giác đều)

Suy ra $sđ\stackrel{⏜}{AC}=60°$ .

Tương tự ta có: $sđ\stackrel{⏜}{BC}=60°$ .

Suy ra: $sđ\stackrel{⏜}{ACB}=sđ\stackrel{⏜}{AC}+sđ\stackrel{⏜}{BC}=60°+60°=120°.$

Ta có $\stackrel{⏜}{ABC}$ là cung lớn có chung hai mút A, C với cung nhỏ $\stackrel{⏜}{AC}.$

Do đó $sđ\stackrel{⏜}{ABC}=360°-sđ\stackrel{⏜}{AC}=360°-60°=300°.$

Vậy $sđ\stackrel{⏜}{ACB}=120°$ và $sđ\stackrel{⏜}{ABC}=300°.$

Bài tập

Bài 5.5 trang 90 Toán 9 Tập 1: >Cho nửa đường tròn đường kính AB và một điểm M tùy ý thuộc nửa đường tròn đó. Chứng minh rằng khoảng cách từ M đến AB không lớn hơn $\frac{AB}{2}.$

Lời giải:

Gọi H là hình chiếu của M trên AB.

Khi đó khoảng cách từ M đến AB bằng độ dài đoạn MH.

Xét tam giác MHO vuông tại H có: MH ≤ MO.

Lại có $OM=\frac{AB}{2}$ (do AB là đường kính, OM là bán kính của đường tròn (O)).

Vậy $MH\le \frac{AB}{2}.$

Bài 5.6 trang 90 Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O; 5 cm) và AB là một dây bất kì của đường tròn đó. Biết AB = 6 cm.

a) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng AB.

b) Tính tan α nếu góc ở tâm chắn cung AB bằng 2α.

Lời giải:

a) Gọi H là trung điểm của AB.

Suy ra $AH=\frac{AB}{2}=\frac{6}{2}=3\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(cm)}.$

Xét ∆OAH và ∆OBH có:

OA = OB = R

Cạnh OH chung

HA = HB (do H là trung điểm của AB)

Do đó ∆OAH = ∆OBH (c.c.c).

Suy ra $\widehat{OHA}=\widehat{OHB}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{OHA}$ và $\widehat{OHB}$ là hai góc bù nhau nên $\widehat{OHA}+\widehat{OHB}=180°$ hay $2\widehat{OHB}=180°$

Suy ra $\widehat{OHA}=\widehat{OHB}=90°$ nên OH ⊥ AB.

Do đó khoảng cách từ O đến đường thẳng AB bằng độ dài đoạn OH.

Xét tam giác OAH vuông tại H có:

AH² + OH² = OA² (định lý Pythagore)

Hay OH² = OA² − AH² = 5² − 3² = 16.

Nên OH = 4 cm.

Vậy khoảng cách từ O đến đường thẳng AB bằng 4 cm.

b) Theo giả thiết, góc ở tâm chắn cung AB là $\widehat{AOB}=2\alpha$ .

Từ câu a) ∆OAH = ∆OBH suy ra $\widehat{HOA}=\widehat{HOB}$ (hai góc tương ứng).

Lại có: $\widehat{HOA}+\widehat{HOB}=\widehat{AOB}$ nên $2\widehat{HOA}=2\alpha$ hay $\widehat{HOA}=\alpha .$

Suy ra $\tan \alpha =\frac{AH}{OH}=\frac{3}{4}.$

Bài 5.7 trang 90 Toán 9 Tập 1: Tâm O của một đường tròn cách dây AB của nó một khoảng 3 cm. Tính bán kính của đường tròn (O), biết rằng dây cung nhỏ AB có số đo bằng 100° (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Lời giải:

Gọi H là trung điểm của AB.

Theo giả thiết, góc ở tâm chắn cung AB là $\widehat{AOB}=100°$ .

Xét ∆OAH và ∆OBH có:

OA = OB = R

Cạnh OH chung

HA = HB (do H là trung điểm của AB)

Do đó ∆OAH = ∆OBH (c.c.c).

Suy ra $\widehat{HOA}=\widehat{HOB}$ (hai góc tương ứng).

Lại có: $\widehat{HOA}+\widehat{HOB}=\widehat{AOB}$ nên $2\widehat{HOA}=\widehat{AOB}=100°$ hay $\widehat{HOA}=50°.$

Xét tam giác OAH vuông tại H có: $\cos \widehat{HOA}=\frac{OH}{OA}$ .

Suy ra $OA=\frac{OH}{\cos \widehat{HOA}}=\frac{3}{\cos 50°}\approx 4,7\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(cm)}.$

Vậy bán kính của đường tròn (O) khoảng 4,7 cm.

Bài 5.8 trang 90 Toán 9 Tập 1: Trên mặt một chiếc đồng hồ có các vạch chia như Hình 5.12. Hỏi cứ sau mỗi khoảng thời gian 36 phút:

a) Đầu kim phút vạch trên một cung có số đo bằng bao nhiêu độ?

b) Đầu kim giờ vạch trên một cung có số đo bằng bao nhiêu độ?

Lời giải:

a) Cứ 60 phút kim phút chạy hết 1 vòng đồng hồ, tức là vạch trên 1 cung có số đo bằng

360°.

Mỗi phút kim phút vạch trên một cung có số đo là: $\frac{360°}{60}=6°.$

Như vậy sau 36 phút, kim phút vạch trên 1 cung có số đo bằng:

6° . 36 = 216°.

b) Sau 1 giờ, kim giờ vạch trên 1 cung có số đo bằng: $\frac{360°}{12}=30°.$

Mỗi phút kim giờ vạch trên một cung có số đo là: $\frac{30°}{60}=0,5°.$

Như vậy sau 36 phút, kim giờ vạch trên 1 cung có số đo bằng:

0,5° . 36 = 18°.