Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Toán 9 Bài 2 (Kết nối tri thức): Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

    Với giải bài tập Toán lớp 9 Bài 2: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 9 Bài 2.

    1 1,919 24/07/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Giải Toán 9 Bài 2: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

    Luyện tập 1 trang 12 Toán 9 Tập 1: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

    a) {x−3y=2−2x+5y=1;

    b) {4x+y=−17x+2y=1.

    Lời giải:

    a) Từ phương trình x−3y=2 ta có x=2+3y.

    Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được −2(2+3y)+5y=1 hay −4−y=1 suy ra y=−5. Từ đó x=2+3.(−5)=−13.

    Vậy hệ phương trình có nghiệm là (−13;−5).

    b) Từ phương trình 4x+y=−1 ta có y=−1−4x.

    Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được 7x+2(−1−4x)=1 hay −x−2=1 suy ra x=−3. Từ đó y=−1−4.(−3)=11.

    Vậy hệ phương trình có nghiệm là (−3;11).

    Luyện tập 2 trang 12 Toán 9 Tập 1: Giải hệ phương trình {−2x+y=34x−2y=−4 bằng phương pháp thế

    Lời giải:

    Ta có −2x+y=3 hay y=3+2x, thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được

    4x−2(3+2x)=−40x−6=−4

    0x=2 (vô lí) (1)

    Do không có giá trị nào của y thỏa mãn hệ thức (1) nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

    Luyện tập 3 trang 12 Toán 9 Tập 1: Giải hệ phương trình {x+3y=−13x+9y=−3 bằng phương pháp thế

    Lời giải:

    Ta có x+3y=−1 hay x=−1−3y (2) , thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được

    3(−1−3y)+9y=−30y−3=−3

    0y=0 (luôn đúng) (1)

    Ta thấy với mọi y∈R thì đều thỏa mãn phương trình (1), ứng với mỗi y ta tìm được một x tương ứng được tính bởi (2) .

    Vậy hệ phương trình có nghiệm (−1−3y;y) với y∈R tùy ý.

    Vận dụng 1 trang 12 Toán 9 Tập 1: Xét bài toán trong tình huống mở đầu. Gọi x là số luống trong vườn, y là số cây cải bắp trồng ở mỗi luống (x;y∈N∗).

    a) Lập hệ phương trình đối với hai ẩn x,y.

    b) Giải hệ phương trình nhận được ở câu a để tìm câu trả lời cho bài toán.

    Lời giải:

    a) Số cây cải trồng trong vườn là xy

    Nếu tăng thêm 8 luống, tức số luống sẽ là x+8; số bắp cải trồng trong 1 luống giảm đi 3 tức là số cây trong 1 luống sẽ là y−3, số bắp cải của cả vườn ít sẽ ít đi 108 cây nên ta có (x+8)(y−3)+108=xy suy ra −3x+8y=−84.

    Nếu giảm đi 4 luống, tức số luống sẽ là x−4, nhưng mỗi luống sẽ trồng thêm 2 cây, tức số cây trong 1 luống sẽ là y+2 thì số bắp cải cả vườn sẽ tăng thêm 64 cây nên ta có (x−4)(y+2)−64=xy suy ra 2x−4y=72.

    Nên ta có hệ phương trình {−3x+8y=−842x−4y=72

    b) Ta có −3x+8y=−84 suy ra x=84+8y3 thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được 2.84+8y3−4y=72 suy ra 43y=16 nên y=12.

    Với y=12 nên x=84+8.123=60.

    Vậy số luống là 60, số cây trong 1 luống là 12 cây.

    HĐ2 trang 13 Toán 9 Tập 1: Cho hệ phương trình 2x + 2y = 3x - 2y = 6Ta thấy hệ số của y trong hai phương trình là hai số đối của nhau (tổng của chúng bằng 0) . Từ đặc điểm đó, hãy giải hệ phương trình đã cho theo hướng dẫn sau:

    1. Cộng từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình một ẩn x. Giải phương trình này để tìm x.

    2. Sử dụng giá trị x tìm được, thay vào một trong hai phương trình của hệ để tìm giá trị của y rồi viết nghiệm của hệ phương trình đã cho.

    Lời giải:

    1. Cộng từng vế của hai phương trình trong hệ, ta được 3x = 9, suy ra x = 3.

    2. Thế x = 3 vào phương trình thứ hai, ta được 3 – 2y = 6 hay 2y = –3, suy ra y=−32.

    Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là 3 ;  −32.

    Giải Toán 9 trang 14 Tập 1

    Luyện tập 4 trang 14 Toán 9 Tập 1: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

    a) {−4x+3y=04x−5y=−8;

    b) {4x+3y=0x+3y=9.

    Lời giải:

    a) Cộng từng vế của hai phương trình ta được −2y=−8 suy ra y=4.

    Thế y=4 vào phương trình đầu ta được −4x+3.4=0 nên −4x=−12 suy ra x=3.

    Vậy(3;4) là nghiệm của hệ phương trình.

    b) Trừ từng vế của hai phương trình ta được (4x+3y)−(x+3y)=0−9 nên 3x=−9 suy ra x=−3.

    Thế x=−3 vào phương trình số hai ta được −3+3.y=9 nên 3y=12 suy ra y=4.

    Vậy (−3;4) là nghiệm của hệ phương trình.

    Luyện tập 5 trang 14 Toán 9 Tập 1: Giải hệ phương trình {4x+3y=6−6x+10y=−4 bằng phương pháp cộng đại số.

    Lời giải:

    Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với số 3, nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với số 2 ta được:

    {12x+9y=18−12x+20y=−8

    Cộng từng vế của hai phương trình ta có (12x+9y)+(−12x+20y)=18+(−8) nên 29y=10 suy ra y=1029.

    Thế y=1029 vào phương trình thứ nhất ta được 4x+3.1029=6 nên 4x=14429 suy ra x=3629.

    Vậy nghiệm của hệ phương trình là (3629;1029).

    Luyện tập 6 trang 14 Toán 9 Tập 1: Bằng phương pháp cộng đại số, giải hệ phương trình {−0.5x+0.5y=1−2x+2y=8.

    Lời giải:

    Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 4, ta được −2x+2y=4 nên hệ phương trình đã cho trở thành {−2x+2y=4−2x+2y=8

    Trừ từng vế của hai phương trình ta được (−2x+2y)−(−2x+2y)=4−8 suy ra 0x+0y=−4 (vô lí) .

    Phương trình này không có giá trị nào của x và y thỏa mãn nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

    Thực hành trang 15 Toán 9 Tập 1: Dùng MTCT thích hợp để tìm nghiệm của các hệ phương trình sau:

    a) {2x+3y=−4−3x−7y=13;

    b) {2x+3y=1−x−1,5y=1;

    c) {8x−2y−6=04x−y−3=0.

    Lời giải:

    a) {2x+3y=−4−3x−7y=13;

    Bấm máy tính ta được kết quả x=115;y=−145.

    Vậy nghiệm của hệ phương trình là(115;−145).

    b) {2x+3y=1−x−1,5y=1;

    Bấm máy tính màn hình hiển thị “No-solution”.

    Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

    c) {8x−2y−6=04x−y−3=0.

    Ta cần đưa hệ {8x−2y−6=04x−y−3=0 trở thành {8x−2y=64x−y=3

    Bấm máy tính màn hình hiển thị “Infinite Sol”.

    Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.

    Giải Toán 9 trang 16 Tập 1

    Vận dụng 2 trang 16 Toán 9 Tập 1: Thực hiện lần lượt các yêu cầu sau để tính số mililit dung dịch acid HCl nồng độ 20% và số mililit dung dịch acid HCl nồng độ 5% cần dùng để pha chế 2 lít dung dịch acid HCl nồng độ 10%.

    a) Gọi x là số mililit dung dịch HCl nồng độ 20%, y là số mililit dung dịch HCl nồng độ 5% cần lấy. Hãy biểu thị qua x và y:

    - Thể tích của dung dịch HCl 10% nhận được sau khi trộn lẫn hai dung dịch acid ban đầu.

    - Tổng số gam acid HCl nguyên chất có trong hai dung dịch acid này.

    b) Sử dụng kết quả ở câu a, hãy lập một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là x, y. Giải hệ phương trình này để tính số mililit cần lấy của mỗi dung dịch HCl ở trên.

    Lời giải:

    Khối lượng riêng của dung dịch HCl là 1,49 g/cm3

    Đổi 2l = 2000ml

    Khối lượng mol của HCl: 36,5 g/mol

    a) Thể tích của dung dịch HCl 10% nhận được sau khi trộn lẫn hai dung dịch acid ban đầu là 2 lít nên ta có phương trình: x+y=2000(ml).

    Tổng số gam HCl nguyên chất sau pha là: 36,5.0,008.x.10−3+36,5.0,002y.10−3=36,5.0,008 hay 36,5.0,008.x.10−3+36,5.0,002y.10−3=0,292 (gam)

    b) Từ câu a ta có hệ phương trình {x+y=20000,008.10−3.36,5.x+0,002.10−3.36,5y=0,292 hay {x+y=20004x+y=4000

    Từ phương trình đầu ta có x=2000−y thay vào phương trình thứ hai ta được 4(2000−y)+y=4000 suy ra 8000−3y=4000 nên y=40003. Thế y=40003 vào phương trình thứ nhất ta được x=20003.

    Vậy cần lấy 20003(ml) dung dịch HCl 20% và 40003(ml) dung dịch HCl 5%.

    Bài tập

    Bài 1.6 trang 16 Toán 9 Tập 1: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

    a) {x−y=33x−4y=2;

    b) {7x−3y=134x+y=2;

    c) {0,5x−1,5y=1−x+3y=2.

    Lời giải:

    a) {x−y=33x−4y=2;

    Từ phương trình đầu ta có x=3+y thế vào phương trình thứ hai ta được 3(3+y)−4y=2 suy ra 9−y=2 nên y=7. Thế y=7 vào phương trình đầu ta có x=10.

    Vậy nghiệm của hệ phương trình là (10;7).

    b) {7x−3y=134x+y=2;

    Từ phương trình thứ hai ta có y=2−4x thế vào phương trình đầu ta được 7x−3(2−4x)=13 suy ra −6+19x=13 nên x=1. Thế x=1 vào phương trình thứ hai ta có y=−2.

    Vậy nghiệm của hệ phương trình là (1;−2).

    c) {0,5x−1,5y=1−x+3y=2.

    Từ phương trình thứ hai ta có x=3y−2 thế vào phương trình đầu ta được 0,5(3y−2)−1,5y=1 suy ra 0y−1=1 hay 0y=2 (vô lí) . Phương trình này không có giá trị nào của y thỏa mãn.

    Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

    a) {3x+2y=62x−2y=14;

    b) {0,5x+0,5y=31,5x−2y=1,5;

    c) {−2x+6y=83x−9y=−12.

    Lời giải:

    a) {3x+2y=62x−2y=14;

    Cộng từng vế của hai phương trình ta có (3x+2y)+(2x−2y)=6+14 nên 5x=20 suy ra x=4.

    Thế x=4 vào phương trình thứ nhất ta được 3.4+2y=6 nên 2y=−6 suy ra y=−3.

    Vậy nghiệm của hệ phương trình là (4;−3).

    b) {0,5x+0,5y=31,5x−2y=1,5;

    Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 3 ta được 1,5x+1,5y=9, vậy hệ đã cho trở thành {1,5x+1,5y=91,5x−2y=1,5;

    Trừ từng vế của hai phương trình ta có (1,5x+1,5y)−(1,5x−2y)=9−1,5 nên 3,5y=7,5 suy ra y=157.

    Thế y=157 vào phương trình thứ hai ta được 1,5x−2.157=1,5 nên 1,5x=817 suy ra x=277.

    Vậy nghiệm của hệ phương trình là (277;157).

    c) {−2x+6y=83x−9y=−12.

    Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 12 ta được −x+3y=4, nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với 13 ta được x−3y=−4.

    Vậy hệ đã cho trở thành {−x+3y=4x−3y=−4

    Cộng từng vế của hai phương trình ta có (−x+3y)+(x−3y)=4+(−4) nên 0x+0y=0 (luôn đúng) .

    Ta thấy phương trình luôn đúng với x tùy ý và y tùy ý. Với giá trị tùy ý của y, giá trị của x được tính bởi phương trình −x+3y=4, suy ra x=3y−4 nên hệ phương trình đã cho có nghiệm (3y−4;y) với y∈R.

    Bài 1.8 trang 16 Toán 9 Tập 1: Cho hệ phương trình {2x−y=−3−2m2x+9y=3(m+3), trong đó m là số đã cho. Giải hệ phương trình trong mỗi trường hợp sau:

    a) m=−2;

    b) m=−3;

    c) m=3.

    Lời giải:

    a) Thay m=−2 vào hệ phương trình đã cho ta được {2x−y=−3−8x+9y=3

    Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 4, ta được 8x−4y=−12, nên hệ phương trình đã cho trở thành {8x−4y=−12−8x+9y=3.

    Cộng từng vế của hai phương trình ta có (8x−4y)+(−8x+9y)=(−12)+3 nên 5y=−9 suy ra y=−95. Thế y=−95 vào phương trình 2x−y=−3 ta được 2x−−95=−3 suy ra x=−125.

    Vậy nghiệm của hệ phương trình là (−125;−95).

    b) Thay m=−3 vào hệ phương trình đã cho ta được {2x−y=−3−18x+9y=0

    Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với 19, ta được −2x+y=0, nên hệ phương trình đã cho trở thành {2y−y=−3−2x+y=0

    Cộng từng vế của hai phương trình ta có (2x−y)+(−2x+y)=−3+0 nên 0x+0y=−3 (vô lí) . Phương trình này không có giá trị nào của x và của y thỏa mãn nên hệ phương trình vô nghiệm.

    c) Thay m=3 vào hệ phương trình đã cho ta được {2x−y=−3−18x+9y=18

    Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với 19, ta được −2x+y=2, nên hệ phương trình đã cho trở thành {2y−y=−3−2x+y=2

    Cộng từng vế của hai phương trình ta có (2x−y)+(−2x+y)=−3+2 nên 0x+0y=−1 (vô lí) .

    Phương trình này không có giá trị nào của x và của y thỏa mãn nên hệ phương trình vô nghiệm.

    a) {12x−5y+24=0−5x−3y−10=0;

    b) {13x−y=23x−3y=2;

    c) {3x−2y=1−x+2y=0;

    d) {49x−35y=1129x+15y=−2.

    Lời giải:

    a) {12x−5y+24=0−5x−3y−10=0;

    Bấm máy tính ta được kết quả x=−7761;y=10861.

    Vậy nghiệm của hệ phương trình là (−7761;10861).

    b) {13x−y=23x−3y=2;

    Bấm máy tính, màn hình hiển thị “Infinite Sol”. Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.

    c) {3x−2y=1−x+2y=0;

    Bấm máy tính ta được kết quả x=12;y=14.

    Vậy nghiệm của hệ phương trình là (12;14).

    d) {49x−35y=1129x+15y=−2.

    Bấm máy tính ta được kết quả x=92;y=−15.

    Vậy nghiệm của hệ phương trình là (92;−15).

    Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

    Luyện tập chung trang 19

    Bài 3: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

    Bài tập cuối chương 1 trang 24

    Bài 4: Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

    Bài 5: Bất đẳng thức và tính chất

    Tham khảo các loạt bài Toán 9 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 1,919 24/07/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: