Xét tam giác đều ABC có cạnh bằng 2a. Tính đường cao AH của tam giác ABC (H.4.7b)

Giải Toán 9 Bài 11: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

HĐ3 trang 69 Toán 9 Tập 1: Xét tam giác đều ABC có cạnh bằng 2a.

a) Tính đường cao AH của tam giác ABC (H.4.7b).

b) Tính sin30°, cos30°, sin60° và cos60°.

c) Tính tan30°, cot30°, tan60° và cot60°.

Lời giải:

a) Tam giác ABC đều có đường cao AH nên AH cũng là đường trung tuyến của tam giác. Do đó H là trung điểm của BC nên $BH=HC=\frac{BC}{2}=\frac{2a}{2}=a.$

Xét ∆ABH vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có:

AB² = AH² + HB², suy ra AH² = AB² – HB² = (2a)² – a² = 4a² – a² = 3a².

Do đó $AH=\sqrt{3a^2}=a\sqrt{3}.$

b) Tam giác ABC đều nên $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=60°.$

Tam giác ABC đều có đường cao AH nên AH cũng là đường phân giác của $\widehat{BAC}$ của tam giác. Do đó $\widehat{BAH}=\widehat{CAH}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}=\frac{1}{2}\cdot 60°=30°.$

Do đó $\sin 30°=\sin \widehat{BAH}=\frac{BH}{AB}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2};$

$\cos 30°=\cos \widehat{BAH}=\frac{AH}{AB}=\frac{a\sqrt{3}}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2};$

$\sin 60°=\sin B=\frac{AH}{AB}=\frac{a\sqrt{3}}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2};$

$\cos 60°=\cos B=\frac{BH}{AB}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}.$

c) $\tan 30°=\tan \widehat{BAH}=\frac{BH}{AH}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3};$

$\cot 30°=\cot \widehat{BAH}=\frac{AH}{BH}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3};$

$\tan 60°=\tan B=\frac{AH}{BH}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3};$

$\cot 60°=\tan \widehat{ABH}=\frac{BH}{AH}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$