Giải Toán 10 Bài 1 (Cánh diều): Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ. Định lý côsin và định lý sin trong tam giác

Giải bài tập Toán 10 Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ. Định lý côsin và định lý sin trong tam giác

Giải Toán 10 trang 62 Tập 1

Câu hỏi khởi động trang 62 Toán lớp 10 Tập 1: Cột cờ Lũng Cú là cột cờ Quốc gia, nằm ở đỉnh Lũng Cú hay còn gọi là đỉnh núi Rồng (Long Sơn) thuộc xã Lũng Cú, huyện Đồng Văn, tỉnh Hà Giang, cách cực Bắc Việt Nam khoảng 3,3 km. Thời nhà Lý, cột cờ Lũng Cú chỉ được làm bằng cây sa mộc. Ngày nay, cột cờ có độ cao 33,15 m bao gồm bệ cột cao 20,25 m và cán cờ cao 12,9 m. Chân bệ cột cờ có 8 mặt phù điêu bằng đá xanh mô phỏng hoa văn mặt của trống đồng Đông Sơn và những họa tiết minh họa các giai đoạn qua từng thời kì lịch sử của đất nước, cũng như con người, tập quán của các dân tộc ở Hà Giang. Trên đỉnh cột là Quốc kì Việt Nam có diện tích là 54 m², biểu tượng cho 54 dân tộc của đất nước ta.

(Nguồn: http://baophutho.vn)

Từ chân bệ cột cờ và đỉnh bệ cột cờ bạn Nam đo được góc nâng (so với phương nằm ngang) tới một vị trí dưới chân núi lần lượt là 45° và 50° (Hình 1).

Chiều cao h của đỉnh Lũng Cú so với chân núi là bao nhiêu mét?

Lời giải:

Ta có: Ay // CH $\Rightarrow \widehat{ACH}=\widehat{yAC}=45°$ (hai góc so le trong).

Tam giác ACH vuông tại H có $\widehat{ACH}={45}^0$ nên tam giác ACH vuông tại H

Suy ra CH = AH = h

Ta có: BH = AB + AH = 20,25 + h

Ta lại có: $\widehat{CBH}+\widehat{xBC}={90}^0$ (hai góc phụ nhau)

$\Rightarrow \widehat{CBH}= {90}^0 - \widehat{xBC}={90}^0-{50}^0={40}^0$

Tam giác BCH vuông tại H nên tan $\widehat{CBH}$ = $\frac{CH}{BH}$

Do đó ta có: $\frac{h}{20,25 +h}=\tan {40}^0\approx 0,84$

$\Rightarrow$ (20,25 +h).0,84 = h

$\Rightarrow$ 20,25 = 0,2h

$\Rightarrow$ 0,16h = 17,1

$\Rightarrow$ h = 106,3 m

Vậy chiều cao của đỉnh Lũng Cú so với chân núi là 106,3 m

Giải Toán 10 trang 63 Tập 1

Hoạt động 1 trang 63 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{ABC}=\alpha$ (Hình 2).

a) Nhắc lại định nghĩa sin α, cos α, tan α, cot α.

b) Biểu diễn tỉ số lượng giác của góc 90° – α theo tỉ số lượng giác của góc α.

Lời giải:

a) Xét tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{ABC}=\alpha$

Khi đó áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông, ta được:

$\sin \alpha =\frac{AC}{BC},\cos \alpha =\frac{AB}{BC},\tan \alpha =\frac{AC}{AB},\cot \alpha =\frac{AB}{AC}$.

b) Xét tam giác ABC, có:

$\hat{B}+\hat{C}={90}^0$ $\iff \hat{C}={90}^0-\hat{B}= {90}^0-\alpha$

Ta có: sin(90° – α)= sin C = $\frac{AB}{BC}$ = cos α;

cos(90° – α) = cos C = $\frac{AC}{BC}$= sin α;

tan(90° – α) = tan C = $\frac{AB}{AC}$ = cot B;

cot(90° – α) = cot C = $\frac{AC}{AB}$= tan B.

Vậy: sin(90° – α) = cos α; cos(90° – α) = sin α; tan(90° – α) = cot α; cot(90° – α) = tan α.

Hoạt động 2 trang 63 Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O nằm phía trên trục hoành bán kính R = 1 được gọi là nửa đường tròn đơn vị (Hình 3). Với mỗi góc nhọn α ta có thể xác định một điểm M duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}=\alpha$. Giả sử điểm M có tọa độ (x₀; y₀). Hãy tính sin α, cos α, tan α, cot α theo x₀, y_­0, r.

Lời giải:

Để tính sin α, cos α, tan α, cot α theo x₀, y_­0, thực hiện như sau:

Xét tam giác OMH vuông tại H, ta có:

$\sin \alpha =\frac{MH}{OM}=\frac{y_0}{1}=y_0,\cos \alpha =\frac{OH}{OM}=\frac{x_0}{1}=x_0,$

$\tan \alpha =\frac{MH}{OH}=\frac{y_0}{x_0},\cot \alpha =\frac{OH}{MH}=\frac{x_0}{y_0}$.

Giải Toán 10 trang 64 Tập 1

Hoạt động 3 trang 64 Toán lớp 10 Tập 1: Trên nửa đường tròn đơn vị ta có dây cung MN song song với trục Ox và $\widehat{xOM}=\alpha$ (Hình 6).

a) Chứng minh $\widehat{xON}=180°-\alpha .$

b) Biểu diễn giá trị lượng giác của góc 180° – α theo giá trị lượng giác của góc α.

Lời giải:

a) Do MN // Ox nên $\widehat{OMN}=\widehat{xOM}=\alpha$ (2 góc so le trong).

Do OM = ON = 1 nên tam giác OMN cân tại O.

$\Rightarrow \widehat{OMN}=\widehat{ONM}$.

$\Rightarrow \widehat{MON}=180°-2\widehat{OMN}=180°-2\alpha$.

Mà $\widehat{xON}=\widehat{xOM}+\widehat{MON}$ nên $\widehat{xON}=\alpha +\left(180°-2\alpha \right)=180°-\alpha$.

Vậy $\widehat{xON}=180°-\alpha .$

b) Ta có N(-x₀; y₀) và M(x₀; y₀) và M, N là các điểm nằm trên đường tròn đơn vị thỏa mãn $\widehat{xOM}=\alpha$ và $\widehat{xON}=180°-\alpha$ nên:

sin $\widehat{xOM}$ = y₀; cos $\widehat{xOM}$ = x₀; tan $\widehat{xOM}$ = $\frac{y_0}{x_0}$; cot $\widehat{xOM}$ = $\frac{x_0}{y_0}$;

sin $\widehat{xON}$ = y₀; cos $\widehat{xON}$ = -x₀; tan $\widehat{xON}$ = $\frac{y_0}{-x_0}=-\frac{y_0}{x_0}$; cot $\widehat{xON}$ = $\frac{-x_0}{y_0}=-\frac{x_0}{y_0}$.

Vậy sin(180° – α) = sin α; cos(180° – α) = – cos α;

tan(180° – α) = – tan α; cot(180° – α) = – cot α.

Giải Toán 10 trang 66 Tập 1

Hoạt động 4 trang 66 Toán lớp 10 Tập 1: Ta có thể tìm giá trị lượng giác (đúng hoặc gần đúng) của một góc (từ 0° đến 180°) bằng cách sử dụng các phím: $\boxed{\sin },\boxed{cos},\boxed{\tan }$ trên máy tính cầm tay.

Tính sin75°, cos175°, tan64° (làm tròn đến hàng phần chục nghìn).

Lời giải:

Để tính các giá trị lượng giác sin75°, cos175°, tan64°, sau khi đưa máy tính về chế độ “độ” ta làm như sau:

Vậy sin 75° = 0,9659; cos 175° = – 0,9962 , tan 64° = 2,0503 (chú ý dấu phẩy thập phân trên máy tính cầm tay là dấu “.”).

Hoạt động 5 trang 66 Toán lớp 10 Tập 1: Ta có thể tìm số đo (đúng hoặc gần đúng) của một góc từ 0° đến 180° khi biết giá trị lượng giác của góc đó bằng cách sử dụng các phím: $\boxed{SHIFT}$ cùng với $\boxed{\sin };\boxed{cos};\boxed{\tan }$ trên máy tính cầm tay.

Tìm số đo góc α (từ 0° đến 180°) và làm tròn đến độ, biết:

a) cos α = – 0,97;

b) tan α = 0,68;

c) sin α = 0,45.

Lời giải:

Để tính gần đúng số đo góc α trong mỗi trường hợp trên, sau khi đưa máy tính về chế độ “độ”, ta làm như sau:

Vậy:

a) Với cos α = – 0,97 thì α ≈ 166°;

b) Với tan α = 0,68 thì α ≈ 34°;

c) Với sin α = 0,45 thì α ≈ 27°.

Luyện tập 1 trang 66 Toán lớp 10 Tập 1: Hãy tính chiều cao h của đỉnh Lũng Cú so với chân núi trong bài toán ở phần mở đầu.

Lời giải:

Ta có: Ay // CH $\Rightarrow \widehat{ACH}=\widehat{yAC}=45°$ (hai góc so le trong).

Tam giác ACH vuông tại H có $\widehat{ACH}={45}^0$ nên tam giác ACH vuông tại H

Suy ra CH = AH = h

Ta có: BH = AB + AH = 20,25 + h

Ta lại có: $\widehat{CBH}+\widehat{xBC}={90}^0$ (hai góc phụ nhau)

$\Rightarrow \widehat{CBH}= {90}^0 - \widehat{xBC}={90}^0-{50}^0={40}^0$

Tam giác BCH vuông tại H nên tan $\widehat{CBH}$ = $\frac{CH}{BH}$

Do đó ta có: $\frac{h}{20,25 +h}=\tan {40}^0\approx 0,84$

$\Rightarrow$ (20,25 +h).0,84 = h

$\Rightarrow$ 20,25 = 0,2h

$\Rightarrow$ 0,16h = 17,1

$\Rightarrow$ h = 106,3 m

Vậy chiều cao của đỉnh Lũng Cú so với chân núi là 106,3 m

Giải Toán 10 trang 67 Tập 1

Hoạt động 6 trang 67 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, $\widehat{BAC}=\alpha$. Kẻ đường cao BH.

Cho α là góc nhọn, chứng minh:

a) HC = |AC – AH| và BC² = AB² + AC² – 2AH . AC;

b) a² = b² + c² – 2bc cos α.

Lời giải:

a) Nếu góc C nhọn thì H nằm giữa A và C.

Do đó: HC = AC – AH = |AC – AH|.

Nếu góc C tù thì C nằm giữa A và H.

Do đó: HC = AH – AC = |AC – AH|.

Nếu góc C vuông thì C trùng với H. Do đó: HC = 0 = |AC – AH|.

Trong mọi trường hợp, ta đều có HC = |AC – AH|.

Xét các tam giác vuông BHC và AHB, áp dụng định lí Pythagore, ta có:

BC² = BH² + HC² = BH² + (AC – AH)² = (BH² + AH²) + AC² – 2AH . AC

= AB² + AC² – 2AH . AC.

b) Xét tam giác vuông AHB, ta có: AH = AB cosA = c.cosα.

Do đó BC² = AB² + AC² – 2 . AH . AC = b² + c² – 2bc.cosα.

Vậy a² = b² + c² – 2bc.cos α.

Hoạt động 7 trang 67 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, $\widehat{BAC}=\alpha$. Kẻ đường cao BH.

Cho α là góc tù. Chứng minh:

a) HC = AC + AH và BC² = AB² + AC² + 2 AH . AC;

b) a² = b² + c² – 2bc cos α.

Lời giải:

a) Do α là góc tù nên A nằm giữa H và C. Do đó: HC = AC + AH.

Xét các tam giác vuông BHC và AHB, áp dụng định lí Pythagore, ta có:

BC² = BH² + HC² = BH² + (AC + AH)²

= (BH² + AH²) + AC² + 2AH . AC

= AB² + AC² + 2AH . AC.

b) Xét tam giác AHB vuông tại H, ta có:

AH = AB cos(180° – α) = – c cos α.

Do đó BC² = AB² + AC² + 2AH . AC = b² + c² – 2bc.cos α.

Vậy a² = b² + c² – 2bc.cos α.

Giải Toán 10 trang 68 Tập 1

Hoạt động 8 trang 68 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, $\widehat{BAC}=\alpha$. Kẻ đường cao BH.

Cho α là góc vuông. Chứng minh a² = b² + c² – 2bc cos α.

Lời giải:

Do α = 90° nên tam giác ABC vuông tại A và cos α = cos 90^o = 0.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A ta có:

BC² = AC² + AB² = b² + c² - 0 = b² + c² - 2bc.cos α.

Vậy a² = b² + c² – 2bc.cos α.

Luyện tập 2 trang 68 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 6, BC = 7. Tính cos A.

Lời giải:

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC² – 2 AB . AC . cos A

$\Rightarrow cosA=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}$.

Thay số ta được: $\cos A=\frac{5^2+6^2-7^2}{\mathrm{2.5.6}}=\frac{1}{5}=0,2$.

Vậy cos A = 0,2.

Giải Toán 10 trang 69 Tập 1

Hoạt động 9 trang 69 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R và có BC = a, $\widehat{BAC}=\alpha$. Kẻ đường kính BD của đường tròn (O). Cho α là góc nhọn. Chứng minh:

a) $\widehat{BDC}=\alpha$;

b) $\frac{a}{\sin \alpha }=2R$.

Lời giải:

Do α là góc nhọn ta vẽ được hình như sau:

a) Trong đường tròn (O) ta có $\widehat{BAC}=\widehat{B\text{D}C}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ BC).

Vậy $\widehat{BDC}=\alpha$.

b) Do $\widehat{BCD}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) nên $\widehat{BCD}=90°$.

Khi đó $\Delta BC\text{D}$ là tam giác vuông tại C.

Xét trong tam giác BCD vuông tại C có $\sin \widehat{B\text{D}C}=\frac{BC}{B\text{D}}$ hay $\sin \alpha =\frac{a}{2\text{R}}$.

Do đó $\frac{a}{\sin \alpha }=2R$.

Hoạt động 10 trang 69 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R và có BC = a, $\widehat{BAC}=\alpha$. Kẻ đường kính BD của đường tròn (O). Cho α là tù. Chứng minh:

a) $\widehat{BDC}=180°-\alpha$;

b) $\frac{a}{\sin \alpha }=2R.$

Lời giải:

Do α là góc tù ta vẽ được hình như sau:

a) Do tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp nên $\widehat{BAC}+\widehat{B\text{D}C}=180°$.

Do đó $\widehat{B\text{D}C}=180°-\widehat{BAC}=180°-\alpha$.

b) Do $\widehat{BCD}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) nên $\widehat{BCD}=90°$.

Khi đó $\Delta BC\text{D}$ là tam giác vuông tại C.

Xét trong tam giác BCD vuông tại C có $\sin \widehat{B\text{D}C}=\frac{BC}{B\text{D}}$ hay $\sin \left(180°-\alpha \right)=\frac{a}{2\text{R}}$.

Mà sin α = sin(180^o - α) nên $\sin \alpha =\frac{a}{2\text{R}}$.

Do đó $\frac{a}{\sin \alpha }=2R$.

Giải Toán 10 trang 70 Tập 1

Hoạt động 11 trang 70 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R và có BC = a, $\widehat{BAC}=\alpha$. Kẻ đường kính BD của đường tròn (O). Cho α là góc vuông. Chứng minh: $\frac{a}{\sin \alpha }=2R$.

Lời giải:

Do $\widehat{BAC}=\alpha =90°$ và $\widehat{BAC}$ là góc nội tiếp trong đường tròn (O) nên $\widehat{BAC}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.

Do đó BC là đường kính của đường tròn (O).

Mà BD là đường kính của đường tròn (O) nên C D.

Do α = 90^o nên sin α = sin 90^o = 1.

Do BC là đường kính của đường tròn (O; R) nên BC = 2R hay a = 2R.

Do đó $\frac{a}{1}=2\text{R}$ hay $\frac{a}{\sin \alpha }=2R$.

Luyện tập 3 trang 70 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có bán kính R = 6 và có các góc $\widehat{B}=65°,\widehat{C}=85°$. Tính độ dài cạnh BC.

Lời giải:

Xét tam giác ABC: $\widehat{A}=180°-\widehat{B}-\widehat{C}=180°-65°-85°=30°$.

Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có $\frac{BC}{\sin \text{A}}=2\text{R}$

$\Rightarrow$ BC = sinA . 2R

$\Rightarrow$ BC = sin30^o . 12

$\Rightarrow$ BC = 6

Vậy BC = 6.

B. Bài tập

Giải Toán 10 trang 71 Tập 1

Bài 1 trang 71 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 3,5; AC = 7,5; $\widehat{A}=135°$. Tính độ dài cạnh BC và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Lời giải:

Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC² - 2.AB.AC.cos $\widehat{A}$

$\Rightarrow$ BC² = (3,5)² + (7,5)² - 2 . 3,5 . 7,5 . cos 135^o

$\Rightarrow$ BC² ≈ 105,6

$\Rightarrow$ BC ≈ 10,3

Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có:

$\frac{BC}{\sin A}=2\text{R}$

$\Rightarrow 2\text{R}=\frac{10,3}{\sin 135°}$

$\Rightarrow$ 2R ≈ 14,6

$\Rightarrow$ R ≈ 7,3

Vậy BC ≈ 10,3; R ≈ 7,3.

Bài 2 trang 71 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có $\widehat{B}=75°,\widehat{C}=45°$ và BC = 50. Tính độ dài cạnh AB.

Lời giải:

Trong tam giác ABC: $\widehat{A}=180°-\widehat{B}-\widehat{C}=180°-75°-45°=60°$.

Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có:

$\frac{BC}{\sin \text{A}}=\frac{AB}{\sin C}$

Thay số ta được: $\frac{50}{\sin 60°}=\frac{AB}{\sin 45°}$

$\Rightarrow \frac{50}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{AB}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$\Rightarrow 50.\frac{\sqrt{2}}{2}=AB.\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow 25\sqrt{2}=AB.\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow AB=25\sqrt{2}:\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow AB=\frac{50\sqrt{6}}{3}$

Vậy $AB=\frac{50\sqrt{6}}{3}$.

Bài 3 trang 71 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 7, BC = 8. Tính cosA, sinA và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lời giải:

Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC² - 2.AB.AC.cosA

$\Rightarrow$ cosA = $\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}$

$\Rightarrow$ cosA = $\frac{6^2+7^2-8^2}{\mathrm{2.6.7}}$

$\Rightarrow$ cosA = $\frac{1}{4}$

$\Rightarrow \widehat{A}$ ≈ 75,5^o

$\Rightarrow$ sinA ≈ 0,97

Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có:

$\frac{BC}{\sin \text{A}}=2\text{R}$

$\Rightarrow 2\text{R}=\frac{8}{0,97}$

$\Rightarrow$ 2R ≈ 8,25

$\Rightarrow$ R ≈ 4,13

Vậy cosA = $\frac{1}{4}$; sinA ≈ 0,97; R ≈ 4,13.

Bài 4 trang 71 Toán lớp 10 Tập 1: Tính giá trị đúng của các biểu thức sau (không dùng máy tính cầm tay):

a) A = cos 0° + cos 40° + cos 120° + cos 140°;

b) B = sin 5° + sin 150° – sin 175° + sin 180°;

c) C = cos 15° + cos 35° – sin 75° – sin 55°;

d) D = tan 25° . tan 45° . tan 115°;

e) E = cot 10° . cot 30° . cot 100°.

Lời giải:

a) A = cos 0° + cos 40° + cos 120° + cos 140°

A = 1 + cos(180^o - 140^o) + ($-\frac{1}{2}$) + cos 140^o

A = 1 + ($-\frac{1}{2}$) - cos 140^o + cos 140^o

A = $\frac{1}{2}$.

b) B = sin 5° + sin 150° – sin 175° + sin 180°

B = sin(180^o - 175^o) - sin 175^o + sin 150° + sin 180°

B = sin 175^o - sin 175^o + $\frac{1}{2}$ + 0

B = $\frac{1}{2}$.

c) C = cos 15° + cos 35° – sin 75° – sin 55°

C = cos(90^o - 75^o) - sin 75^o + cos(90^o - 55^o) - sin 55^o

C = sin 75^o - sin 75^o + sin 55^o - sin 55^o

C = 0.

d) D = tan 25° . tan 45° . tan 115°

D = tan(90^o - 65^o) . tan 45^o . tan(180^o - 65^o)

D = cot 65^o . tan 45^o . (– tan 65°)

D = – (cot 65° . tan 65°) . tan 45°

D = $-\left(\frac{cos65°}{\sin 65°}.\frac{\sin 65°}{cos65°}\right).\tan 45°$

D = -1 . 1

D = -1.

e) E = cot 10° . cot 30° . cot 100°.

E = cot(90^o - 80^o) . cot 30^o . cot(180^o - 80^o)

E = tan 80^o . cot 30^o . (- cot 80^o)

E = – (tan 80° . cot 80°) . cot 30°

E = (– 1) . $\sqrt{3}$

E = $-\sqrt{3}$.

Bài 5 trang 71 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh:

a) $\sin \frac{A}{2}=cos\frac{B+C}{2}$;

b) $\tan \frac{B+C}{2}=\cot \frac{A}{2}$.

Lời giải:

a) Trong tam giác ABC ta có: $\widehat{A}=180°-\left(\widehat{B\text{}}+\widehat{C}\right)$.

Khi đó $\frac{\widehat{A}}{2}=\frac{180°-\left(\widehat{B}+\widehat{C}\right)}{2}=90°-\frac{\widehat{B}+\widehat{C}}{2}$.

Suy ra $\widehat{\frac{A}{2}}$ và $\frac{\widehat{B}+\widehat{C}}{2}$ là hai góc phụ nhau.

Do đó $\sin \frac{A}{2}=\cos \left(90°-\frac{A}{2}\right)=\cos \left(\frac{B+C}{2}\right)$

Vậy $\sin \frac{A}{2}=cos\frac{B+C}{2}$.

b) Do $\widehat{\frac{A}{2}}$ và $\frac{\widehat{B}+\widehat{C}}{2}$ là hai góc phụ nhau nên $\cot \frac{A}{2}=\tan \left(90°-\frac{A}{2}\right)=\tan \left(\frac{B+C}{2}\right)$.

Vậy $\tan \frac{B+C}{2}=\cot \frac{A}{2}$.

Bài 6 trang 71 Toán lớp 10 Tập 1: Để đo khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B ở hai bên bờ một cái ao, bạn An đi dọc bờ ao từ vị trí A đến vị trí C và tiến hành đo các góc BAC, BCA. Biết AC = 25 m, $\widehat{BAC}=59,95°,\widehat{BAC}=82,15°$ (Hình 16). Hỏi khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Lời giải:

Ba vị trí A, B, C tạo thành ba đỉnh của tam giác.

Trong tam giác ABC:

$$\begin{gathered} \widehat{B}=180°-\widehat{A}-\widehat{C} \\ =180°-59,95°-82,15° \\ =37,9° \end{gathered}$$.

Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có:

$\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$

Thay số ta được: $\frac{25}{\sin 37,9°}=\frac{AB}{\sin 82,15°}$

$\Rightarrow AB=\frac{25}{\sin 37,9°}.\sin 82,15°$

$\Rightarrow$ AB ≈ 40 m.

Vậy khoảng cách từ A đến B khoảng 40 m.

Bài 7 trang 71 Toán lớp 10 Tập 1: Hai tàu đánh cá cùng xuất phát từ bến A và đi thẳng đều về hai vùng biển khác nhau, theo hướng tạo với nhau góc 75°. Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 8 hải lí một giờ và tàu thứ hai chạy với tốc độ 12 hải lí một giờ. Sau 2,5 giờ thì khoảng cách giữa hai tàu là bao nhiêu hải lí (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Lời giải:

Sau 2,5 giờ tàu thứ nhất đi được: 8 . 2,5 = 20 hải lí.

Sau 2,5 giờ tàu thứ hai đi được: 12 . 2,5 = 30 hải lí.

Gọi AC là quãng đường tàu thứ nhất đi được sau 2,5 giờ; AB là quãng đường tàu thứ hai đi được sau 2,5 giờ.

Khi đó khoảng cách giữa hai tàu là BC.

Ba vị trí A, B, C tạo thành ba đỉnh của tam giác.

Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC:

BC² = AB² + AC² - 2.AB.AC.cosA

$\Rightarrow$ BC² = 30² + 20² - 2.30.20.cos 75^o

$\Rightarrow$ BC² ≈ 989,4

$\Rightarrow$ BC ≈ 31,5 hải lí.

Vậy sau 2,5 giờ thì khoảng cách giữa hai tàu khoảng 31,5 hải lí.

Bài 8 trang 71 Toán lớp 10 Tập 1: Bạn A đứng ở đỉnh của tòa nhà và quan sát chiếc diều, nhận thấy góc nâng (góc nghiêng giữa phương từ mắt của bạn A tới chiếc diều và phương nằm ngang) là α = 35°; khoảng cách từ đỉnh tòa nhà tới mắt bạn A là 1,5 m. Cùng lúc đó ở dưới chân tòa nhà, bạn B cũng quan sát chiếc diều và thấy góc nâng là β = 75°; khoảng cách từ mặt đất đến mắt bạn B cũng là 1,5 m. Biết chiều cao của tòa nhà là h = 20 m (Hình 17). Chiếc diều bay cao bao nhiêu mét so với mặt đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Lời giải:

Ta đặt tên các điểm như hình vẽ dưới:

AC là khoảng cách từ đỉnh của tòa nhà tới mắt bạn A và BD là khoảng cách từ mặt đất tới mắt của bạn B nên AC = 1,5 m và BD = 1,5 m.

Do AC = BD = 1,5 m nên AC + BC = BD + BC hay AB = CD = h.

Do đó AB = 20 m.

Do $\beta =75°$ nên $\widehat{ABG}=90-\beta =90°-75°=15°$.

Do $\alpha =35°$ nên trong tam giác ABG có:

$\widehat{AGB}=180°-\widehat{ABG}-\widehat{BAG}=180°-15°-\left(90°+35°\right)=40°$

Áp dụng định lí sin vào tam giác ABG có:

$\frac{BG}{\sin \widehat{BAG}}=\frac{AB}{\sin \widehat{AGB}}$

Thay số ta được: $\frac{BG}{\sin 125°}=\frac{20}{\sin 40°}$

$\Rightarrow BG=\frac{20}{\sin 40°}.\sin 125°$

$\Rightarrow$ BG ≈ 25,5 m.

Xét tam giác vuông BEG có:

$\sin \widehat{EBG}=\frac{EG}{BG}$

$\Rightarrow \sin 75°=\frac{EG}{25,5}$

$\Rightarrow$ EG = 25,5 . sin 75^o

$\Rightarrow$ EG ≈ 24,6 m.

Ta thấy BD = EF nên EF = 1,5 m.

Khi đó GF = EG + EF = 24,6 + 1,5 = 26,1 m ≈ 26 m.

Vậy chiếc diều bay cao khoảng 26 m so với mặt đất.

Lý thuyết Toán 10 Bài 1. Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°. Định lí côsin và định lí sin trong tam giác – Cánh diều

1. Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

1.1 Định nghĩa

Với mỗi góc α (0 ≤ α ≤ 180°) ta xác định một điểm M (x₀, y₀) trên nửa đường tròn đơn vị sao cho góc $\widehat{\mathrm{xOM}}$= α. Khi đó ta có định nghĩa:

+) sin của góc α, kí hiệu là sinα, được xác định bởi: sinα = y₀;

+) côsin của góc α, kí hiệu là cosα, được xác định bởi: cosα = x₀;

+) tang của góc α, kí hiệu là tanα, được xác định bởi: tanα = $\frac{{\mathrm{y}}_0}{{\mathrm{x}}_0}$(x₀ ≠ 0);

+) côtang của góc α, kí hiệu là cotα, được xác định bởi: cotα = $\frac{{\mathrm{x}}_0}{{\mathrm{y}}_0}$(y₀ ≠ 0).

Các số sinα, cosα, tanα, cotα được gọi là các giá trị lượng giác của góc α.

Chú ý:

tanα = $\frac{\mathrm{sin\alpha }}{\mathrm{cos\alpha }}$(α ≠ 90°);

cotα = $\frac{\mathrm{cos\alpha }}{\mathrm{sin\alpha }}$(0 < α < 180°).

sin(90° – α) = cosα (0° ≤ α ≤ 90°);

cos(90° – α) = sinα (0° ≤ α ≤ 90°);

tan(90° – α) = cotα (0° ≤ α ≤ 90°);

cot(90° – α) = tanα (0° ≤ α ≤ 90°).

1.2. Tính chất

Trên hình bên ta có dây cung NM song song với trục Ox và nếu $\widehat{\mathrm{xOM}}$ = α thì $\widehat{\mathrm{xON}}$ = 180^o – α. Với 0° ≤ α ≤ 180° thì:

sin(180° – α) = sinα,

cos(180° – α) = – cosα,

tan(180° – α) = – tanα (α ≠ 90°),

cot(180° – α) = – cotα (α ≠ 0°, α ≠ 180°).

Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức sau:

A = cos0° + cos20° + cos 40° + ... + cos160° + cos180°.

Hướng dẫn giải:

A = cos0° + cos20° + cos 40° + ... + cos160° + cos180°

= cos0° + cos180° + cos20° + cos160° + ... + cos80° + cos100°

= cos0° – cos0° + cos20° – cos20° + ... + cos80° – cos80°

= 0.

1.3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Chú thích: Dấu “||” biểu thị sự không xác định của giá trị lượng giác tại góc đó.

Ví dụ:

sin30ׄ° = $\frac{1}{2}$;

cos120° = –$\frac{1}{2}$;

tan60° = $\sqrt{6}$;

cot120° = –$\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Chú ý: Cách sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác:

– Ta có thể tìm giá trị lượng giác (đúng hoặc gần đúng) của một góc từ 0° đến 180° bằng cách sử dụng các phím: sin, cos, tan trên máy tính cầm tay.

Ví dụ: Dùng máy tính cầm tay, tính các giá trị lượng giác sau (làm tròn đến hàng phần chục nghìn).

sin55°, cos140°, tan80°.

Hướng dẫn giải:

Để tính các giá trị lượng giác trên, sau khi đưa máy tính về chế độ “độ” ta làm như sau:

– Ta có thể tìm số đo (đúng hoặc gần đúng) của một góc từ 0° đến 180° khi biết giá trị lượng giác của góc đó bằng cách sử dụng các phím: SHIFT cùng với sin; cos; tan trên máy tính cầm tay.

Ví dụ: Sử dụng máy tính cầm tay, tìm số đo góc của α (từ 0° đến 180°) và làm tròn đến độ, biết:

a) sinα = 0,56

b) cosα = – 0,95

c) tanα = 0, 42

Hướng dẫn giải:

Để tính gần đúng số đo góc α trong mỗi trường hợp trên, sau khi đưa máy tính về chế độ “độ”, ta làm như sau:

2. Định lí côsin

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Khi đó:

a² = b² + c² – 2bccosA,

b² = c² + a² – 2cacosB,

c² = a² + b² – 2abcosC.

Lưu ý:

cosA = $\frac{{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2-{\mathrm{a}}^2}{2\mathrm{bc}}$,

cosB = $\frac{{\mathrm{c}}^2+{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2}{2\mathrm{ca}}$,

cosC = $\frac{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2-{\mathrm{c}}^2}{2\mathrm{ab}}$.

Ví dụ: Chứng minh a² = b² + c² – 2bccosA.

Hướng dẫn giải:

Cho tam giác ABC với BC = a, AC = b, AB = c.

Cho tam giác ABC, đặt AB = c, AC = b, BC = a, cosA = cosα

Kẻ BH vuông góc với AC.

Xét các tam giác vuông BHC và AHB, áp dụng định lý Py–ta–go ta có:

BC² = BH² + HC²

= BH² + (AC – AH)²

= BH² + AC² – 2.AC.AH + AH²

= (BH² + AH²) + AC² – 2.AC.AH

= AB² + AC² – 2.AC.AH

(BH² + AH² = AB² do áp dụng định lí Py–ta–go trong tam giác vuông AHB).

Xét tam giác vuông AHB, ta lại có:

cosA = $\frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{AB}}$

⇒ AH = AB.cosA = c.cosα

Do đó: a² = BC² = AB² + AC² – 2.AC.AH

= c² + b² –2b. c.cosα

= b² + c² –2bc.cosα (đpcm).

Ví dụ: Cho tam giác ABC có $\widehat{\mathrm{A}}$ = 60°, AB = 6, AC = 8. Tính BC.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC² – 2AB.AC.cosA

Thay số ta có:

BC² = 6² + 8² – 2.6.8.cos60°

⇔ BC² = 36 + 64 – 48 = 52

⇔ BC = $\sqrt{52}$ = $2\sqrt{13}$

Vậy BC = $2\sqrt{13}$.

3. Định lí sin

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và bán kính đường tròn ngoại tiếp là R. Khi đó:

$\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{sinA}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{sinB}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{sinC}}=2\mathrm{R}$

Lưu ý:

a = 2RsinA,

b = 2RsinB,

c = 2RsinC.

Ví dụ: Chứng minh định lí sin.

Hướng dẫn giải:

Ta chỉ cần chứng minh $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{sinA}}=2\mathrm{R}$, các dấu bằng kia chứng minh hoàn toàn tương tự. Ta xét ba trường hợp sau:

TH1: Tam giác ABC vuông tại A. Khi đó sinA = sin90° = 1. Vì BC là đường kính của đường trong ngoại tiếp tam giác ABC nên a = BC = 2R.

Vậy $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{sinA}}=\frac{\mathrm{BC}}{1}=2\mathrm{R}$.

TH2: Góc A nhọn. Gọi D là điểm sao cho BD là đường kính. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên $\widehat{\mathrm{A}}$ = $\widehat{\mathrm{D}}$.

Từ đó sinA = sinD = $\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BD}}$ = $\frac{\mathrm{a}}{2\mathrm{R}}$.

Suy ra $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{sinA}}=2\mathrm{R}$.

TH3: Góc $\widehat{\mathrm{A}}$ tù. Gọi D là điểm sao cho BD là đường kính. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên $\widehat{\mathrm{A}}$+ $\widehat{\mathrm{D}}$ = 180°. Suy ra sinA = sinD ( hai góc bù nhau có sin bằng nhau).

Ta có sinD = $\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BD}}$= $\frac{\mathrm{a}}{2\mathrm{R}}$

Suy ra $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{sinA}}=2\mathrm{R}$.

Ví dụ: Một người quan sát đỉnh của một ngọn núi từ hai vị trí khác nhau của tòa nhà. Lần đầu tiên người đó quan sát đỉnh núi từ tầng trệt với phương nhìn tạo với phương nằm ngang một góc 35° và lần thứ hai người này quan sát tại sân thượng của cùng tòa nhà đó với phương nhìn tạo với phương nằm ngang một góc 15°. Tính chiều cao ngọn núi đó so với mặt đất biết rằng tòa nhà cao 60 m.

Hướng dẫn giải:

Bài toán trên được mô phỏng lại như hình vẽ với A là vị trí của người đó tại sân thượng của tòa nhà, B là vị trí của người đó tại tầng trệt. C và D lần lượt là đỉnh và chân của ngọn núi.

Từ A hạ AE vuông góc với CD tại E.

Theo đề ra ta có $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{AB}=60\mathrm{m}\\ \widehat{\mathrm{DBC}}=35°\\ \widehat{\mathrm{DAE}}=15°\end{array}\right.$

Ta có:

$\widehat{\mathrm{ABD}}$ = $\widehat{\mathrm{ABC}}$ – $\widehat{\mathrm{DBC}}$= 90° – 35° = 55°;

$\widehat{\mathrm{BAD}}$ = $\widehat{\mathrm{BAE}}$+ $\widehat{\mathrm{DAE}}$ = 90° + 15° = 105°.

Mà $\widehat{\mathrm{ADB}}+\widehat{\mathrm{BAD}}+\widehat{\mathrm{ABD}}=180°$(Tổng 3 góc của một tam giác bằng 180°)

Suy ra:

$\widehat{\mathrm{ADB}}=180°-\widehat{\mathrm{BAD}}-\widehat{\mathrm{ABD}}$

= 180° – 105° – 55°

= 20°

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABD ta có:

$\frac{\mathrm{AB}}{\sin \widehat{\mathrm{ADB}}}=\frac{\mathrm{BD}}{\sin \widehat{\mathrm{BAD}}}$

⇔ BD = $\frac{\mathrm{AB}.\sin \widehat{\mathrm{BAD}}}{\sin \widehat{\mathrm{ADB}}}$= $\frac{60.\sin 105°}{\sin 20°}$≈ 169,45 (m).

Xét tam giác CBD vuông tại C, ta có:

CD = BD.sin$\widehat{\mathrm{DBC}}$ = 169,45.sin35° ≈ 97,19 (m).

Vậy ngọn núi cao xấp xỉ 97,19 m.