Giải Toán 10 Bài 4 (Cánh diều): Bất phương trình bậc hai một ẩn

Giải bài tập Toán 10 Bài 4: Bất phương trình bậc hai một ẩn

Video giải bài tập Toán 10 Bài 4: Bất phương trình bậc hai một ẩn

Câu hỏi khởi động

Giải Toán 10 trang 49 Tập 1

Câu hỏi khởi động trang 49 Toán lớp 10 Tập 1: Bác Dũng muốn uốn tấm tôn phẳng có dạng hình chữ nhật với bề ngang 32 cm thành một rãnh dẫn nước bằng cách chia tấm tôn đó thành ba phần rồi gấp hai bên lại theo một góc vuông (Hình 25). Để đảm bảo kĩ thuật, diện tích mặt cắt ngang của rãnh dẫn nước phải lớn hơn hoặc bằng 120 cm².

Rãnh dẫn nước phải có độ cao ít nhất là bao nhiêu xăng-ti-mét?

Lời giải:

Sau khi học xong bài này ta giải được bài toán này như sau:

Tiến hành uốn tấm tôn ta được một rãnh dẫn nước có mặt cắt ngang với kích thước x (cm) và 32 – x (cm)

Khi đó diện tích mặt cắt ngang là (32 – 2x)x (cm²).

Để đảm bảo kĩ thuật, diện tích mặt cắt ngang của rãnh dẫn nước phải lớn hơn hoặc bằng 120 cm² nên ta có:

(32 – 2x)x ≥ 120 ⇔ – 2x² + 32x – 120 ≥ 0.

Xét tam thức bậc hai – 2x² + 32x – 120 có:

∆’ = 16² – (-2).(-120) = 16 > 0

Suy ra phương trình có hai nghiệm x₁ = 6, x₂ = 10.

Ta lại có hệ số a = – 2 < 0, bảng xét dấu:

Suy ra – 2x² + 32x – 120 ≥ 0 với mọi x ∈ [6; 10].

Vậy rãnh dẫn nước phải có độ cao ít nhất là 6 cm.

1. Bất phương trình bậc hai một ẩn

Hoạt động 1 trang 49 Toán lớp 10 Tập 1: Quan sát và nêu đặc điểm của biểu thức ở vế trái của bất phương trình 3x² – 4x – 8 < 0.

Lời giải:

Biểu thức ở vế trái của bất phương trình là 3x² – 4x – 8, đây là một tam thức bậc hai có hệ số a = 3 > 0, b = -3 và c = -8.

Luyện tập 1 trang 49 Toán lớp 10 Tập 1:

a) Cho hai ví dụ về bất phương trình bậc hai một ẩn.

b) Cho hai ví dụ về bất phương trình mà không phải là bất phương trình bậc hai một ẩn.

Lời giải:

a) Hai ví dụ về bất phương trình bậc hai một ẩn:

9x² – 8 ≥ 0;

- 4x² – 5x + 2 < 0.

b) Hai ví dụ về bất phương trình không phải bất phương trình bậc hai một ẩn:

0x² – 7x ≤ 0;

6x² + 4x – 3 > 0.

2. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

Giải Toán 10 trang 50 Tập 1

Hoạt động 2 trang 50 Toán lớp 10 Tập 1:

a) Lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai f(x) = x² – x – 2.

b) Giải bất phương trình x² – x – 2 > 0.

Lời giải:

a) Tam thức bậc hai f(x) = x² – x – 2 có ∆ = (– 1)² – 4 . 1 . (– 2) = 9 > 0.

Do đó tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt là x₁ = 2, x₂ = - 1.

Lại có hệ số a = 1 > 0 nên ta có bảng xét dấu sau:

b) Dựa vào bảng xét dấu ở câu a, ta thấy:

f(x) > 0 trong khoảng $\left(-\infty ;-1\right)\cup \left(2;+\infty \right)$ hay x² – x – 2 > 0 khi $x\in \left(-\infty ;-1\right)\cup \left(2;+\infty \right)$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình x² – x – 2 > 0 là (– ∞; – 1) ∪ (2; +∞).

Luyện tập 2 trang 50 Toán lớp 10 Tập 1: Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) 3x² – 2x + 4 ≤ 0;

b) – x² + 6x – 9 ≥ 0.

Lời giải:

a) Tam thức bậc hai 3x² – 2x + 4 có ∆ = (– 2)² – 4 . 3 . 4 = – 44 < 0 và hệ số a = 3 > 0.

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy 3x² – 2x + 4 > 0 với mọi $x\in ℝ$.

Do đó không có giá trị nào của x thỏa mãn 3x² – 2x + 4 ≤ 0

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.

b) Tam thức bậc hai – x² + 6x – 9 có ∆ = 6² – 4 . (– 1) . (– 9) = 0.

Suy ra tam thức có nghiệm kép là x = 3.

Ta lại có: a = – 1 < 0 nên ta có bảng xét dấu sau:

Suy ra tam thức – x² + 6x – 9 < 0 với mọi $x\in ℝ\backslash \left\{3\right\}$ và – x² + 6x – 9 = 0 tại x = 0.

Do đó bất phương trình – x² + 6x – 9 ≥ 0 khi và chỉ khi x = 3.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x = 3.

Hoạt động 3 trang 50, 51 Toán lớp 10 Tập 1: Cho bất phương trình x² – 4x + 3 > 0 (2).

Quan sát parabol (P): y = x² – 4x + 3 ở Hình 26 và cho biết:

a) Bất phương trình (2) biểu diễn phần parabol (P) nằm ở phía nào của trục hoành.

b) Phần parabol (P) nằm phía trên trục hoành ứng với những giá trị nào của x.

Lời giải:

a) Quan sát Hình 26, ta thấy:

Phần parabol (P) nằm phía trên trục hoành biểu diễn các giá trị dương của y hay x² – 4x + 3 > 0. Do đó bất phương trình (2) biểu diễn phần parabol (P) nằm phía trên của trục hoành.

b) Với x < 1 hoặc x > 3 thì tương ứng ta có phần parabol (P) nằm phía trên trục hoành.

Vậy phần parabol nằm phía trên trục hoành tương ứng với x < 1 hoặc x > 3.

Giải Toán 10 trang 51 Tập 1

Luyện tập 3 trang 51 Toán lớp 10 Tập 1: Giải mỗi bất phương trình bậc hai sau bằng cách sử dụng đồ thị:

a) x² + 2x + 2 > 0;

b) – 3x² + 2x – 1 > 0.

Lời giải:

a) Đặt y = x² + 2x + 2.

Ta có: a = 1, b = 2, c = 2 và ∆ = 2² – 4 . 1 . 2 = – 4 < 0.

- Tọa độ đỉnh I(– 1; 1).

- Trục đối xứng x = – 1.

- Ta có bảng sau:

Đồ thị hàm số là đường cong đi qua các điểm A(-3;5), B(-2; 2), I(-1; 1), C(0; 2) và D(1; 5)

Ta có a = 1 > 0 nên bề lõm của đồ thị hướng lên trên.

Đồ thị hàm số đã cho:

Quan sát đồ thị trên, ta thấy toàn bộ phần parabol y = x² + 2x + 2 nằm phía trên trục hoành với mọi $x\in ℝ$.

Do đó x² + 2x + 2 > 0 với mọi $x\in ℝ$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình x² + 2x + 2 > 0 là $ℝ$.

b) Đặt y = – 3x² + 2x – 1.

Ta có: a = – 3, b = 2, c = – 1, ∆ = 2² – 4 . (– 3) . (– 1) = – 8 < 0.

- Tọa độ đỉnh $I\left(\frac{1}{3};-\frac{2}{3}\right)$.

- Trục đối xứng $x=\frac{1}{3}.$

- Ta có bảng sau:

Đồ thị hàm số là đường cong đi qua các điểm D(-1; -6), E(0; -1), $I\left(\frac{1}{3};-\frac{2}{3}\right)$, $G\left(\frac{2}{3};-1\right)$, $H\left(\frac{5}{3};-6\right)$.

Do a = – 3 < 0 nên đồ thị có bề lõm hướng xuống dưới.

Đồ thị của hàm số đã cho là:

Quan sát hình vẽ trên ta thấy: đồ thị hàm số y = – 3x² + 2x – 1 nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành nên bất phương trình – 3x² + 2x – 1 > 0 vô nghiệm với mọi x $\in ℝ$.

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.

3. Ứng dụng của bất phương trình bậc hai một ẩn

Giải Toán 10 trang 53 Tập 1

Luyện tập 4 trang 53 Toán lớp 10 Tập 1: Tổng chi phí T (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất Q sản phẩm được cho bởi biểu thức T = Q² + 30Q + 3 300; giá bán của 1 sản phẩm là 170 nghìn đồng. Số sản phẩm được sản xuất trong khoảng nào để đảm bảo không bị lỗ (giả thiết các sản phẩm được bán hết)?

Lời giải:

Theo đề bài, ta có điều kiện của Q là: $Q\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Giá bán 1 sản phẩm là 170 nghìn đồng, khi đó số tiền thu được khi bán được Q sản phẩm là 170Q (nghìn đồng)

Tổng chi phí để sản xuất Q sản phẩm là T = Q² + 30Q + 3 300 (nghìn đồng).

Để đảm bảo không bị lỗ thì số tiền thu được phải lớn hơn hoặc bằng chi phí sản xuất nên 170Q ≥ T hay T ≤ 170Q.

⇔ Q² + 30Q + 3 300 ≤ 170Q

⇔ Q² – 140Q + 3 300 ≤ 0

Vế trái của bất phương trình trên là một tam thức bậc hai ẩn Q có:

∆’ = 70² – 1.3 300 = 1 600 > 0 nên tam thức có hai nghiệm là Q₁ = 30, Q₂ = 110

Ta lại có hệ số a = 1 > 0.

Ta có bảng xét dấu:

Suy ra Q² – 1400Q + 3 300 ≤ 0 khi Q ∈ [30; 110].

Vậy số sản phẩm được sản xuất trong khoảng từ 30 đến không quá 110 sản phẩm thì sẽ không bị lỗ.

Bài tập

Giải Toán 10 trang 54 Tập 1

Bài 1 trang 54 Toán lớp 10 Tập 1: Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc hai một ẩn? Vì sao?

a) – 2x + 2 < 0;

b) $\frac{1}{2}{y}^2-\sqrt{2}\left(y+1\right)\le 0$;

c) y² + x² – 2x ≥ 0.

Lời giải:

a) Bất phương trình – 2x + 2 < 0 bất phương trình bậc nhất một ẩn nên không là bất phương trình bậc hai một ẩn.

b) Ta có: $\frac{1}{2}{y}^2-\sqrt{2}\left(y+1\right)\le 0\iff \frac{1}{2}{y}^2-\sqrt{2}y-\sqrt{2}\le 0$ là bất phương trình bậc hai một ẩn với $a=\frac{1}{2}\ne 0,b=c=-\sqrt{2}$.

c) Bất phương trình y² + x² – 2x ≥ 0 có hai ẩn x và y nên đây không là bất phương trình bậc hai một ẩn.

Bài 2 trang 54 Toán lớp 10 Tập 1: Dựa vào đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) trong mỗi Hình 30a, 30b, 30c, hãy viết tập nghiệm của mỗi bất phương trình sau: f(x) > 0, f(x) < 0; f(x) ≥ 0; f(x) ≤ 0.

Lời giải:

a)

+) Với x < 1 hoặc x > 4 thì phần parabol y = f(x) nằm phía trên trục hoành.

Do đó f(x) > 0 khi x < 1 hoặc x > 4.

Suy ra tập nghiệm của bất phương trình f(x) > 0 là (– ∞; 1) ∪ (4; + ∞).

+) f(x) cắt trục hoành tại hai điểm x = 1 và x = 4 hay f(x) = 0 khi x = 1 hoặc x = 4.

Mà f(x) > 0 khi x < 1 hoặc x > 4.

Do đó tập nghiệm của bất phương trình f(x) ≥ 0 là (– ∞; 1] ∪ [4; + ∞).

+) Với 1 < x < 4 thì phần parabol y = f(x) nằm phía dưới trục hoành.

Do đó f(x) < 0 khi 1 < x < 4.

Suy ra tập nghiệm của bất phương trình f(x) < 0 là (1; 4).

+) f(x) cắt trục hoành tại hai điểm x = 1 và x = 4 hay f(x) = 0 khi x = 1 hoặc x = 4.

Mà f(x) < 0 khi 1 < x < 4

Do đó tập nghiệm của bất phương trình f(x) ≤ 0 là [1; 4].

Vậy:

Tập nghiệm của bất phương trình f(x) > 0 là (– ∞; 1) ∪ (4; + ∞).

Tập nghiệm của bất phương trình f(x) f(x) ≥ 0 là (– ∞; 1] ∪ [4; + ∞).

Tập nghiệm của bất phương trình f(x) < 0 là (1; 4).

Tập nghiệm của bất phương trình f(x) ≤ 0 là [1; 4].

b)

+) Với mọi x ≠ 2 thì phần parabol f(x) nằm hoàn toàn phía trên trục hoành.

Do đó f(x) > 0 với mọi x ≠ 2.

Suy ra tập nghiệm của bất phương trình f(x) > 0 là $ℝ\backslash \left\{2\right\}$.

+) Tại x = 2 thì f(x) = 0.

Mà f(x) > 0 với mọi x ≠ 2.

Do đó tập nghiệm của bất phương trình f(x) ≥ 0 là $ℝ$.

+) f(x) < 0 biểu diễn phần parabol y = f(x) nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành, mà phần đồ thị ở hình 30b nằm phía trên trục hoành.

Do đó bất phương trình f(x) < 0 vô nghiệm.

+) Tại x = 2 thì f(x) = 0 và không tồn tại x để f(x) < 0 nên nghiệm của bất phương trình f(x) ≤ 0 là x = 2.

Do đó tập nghiệm của bất phương trình f(x) ≤ 0 là {2}.

Vậy:

Tập nghiệm của bất phương trình f(x) > 0 là $ℝ\backslash \left\{2\right\}$.

Tập nghiệm của bất phương trình f(x) ≥ 0 là $ℝ$.

Tập nghiệm của bất phương trình f(x) < 0 là $\varnothing$.

Tập nghiệm của bất phương trình f(x) ≤ 0 là {2}.

c)

+) Với mọi $x\in ℝ$ parabol nằm hoàn toàn phía trên trục hoành.

Do đó f(x) > 0 với mọi $x\in ℝ$ hay f(x) ≥ 0 với mọi $x\in ℝ$.

+) Các bất phương trình f(x) < 0, f(x) ≤ 0 đều vô nghiệm.

Vậy:

Tập nghiệm của bất phương trình f(x) > 0 là $ℝ$.

Tập nghiệm của bất phương trình f(x) ≥ 0 là $ℝ$.

Tập nghiệm của bất phương trình f(x) < 0 là $\varnothing$.

Tập nghiệm của bất phương trình f(x) ≤ 0 là $\varnothing$.

Bài 3 trang 54 Toán lớp 10 Tập 1: Giải các bất phương trình sau:

a) 2x² – 5x + 3 > 0;

b) – x² – 2x + 8 ≤ 0;

c) 4x² – 12x + 9 < 0;

d) – 3x² + 7x – 4 ≥ 0.

Lời giải:

a) Tam thức bậc hai 2x² – 5x + 3 có:

∆ = (-5)² – 4.2.3 = 25 – 24 = 1 > 0

Do đó tam thức có hai nghiệm x₁ = 1, x₂ = $\frac{3}{2}$ và có hệ số a = 2 > 0.

Khi đó ta có bảng xét dấu:

Tam thức 2x² – 5x + 3 mang dấu “+” khi x < 1 hoặc x > $\frac{3}{2}$.

Hay 2x² – 5x + 3 > 0 khi x < 1 hoặc x > $\frac{3}{2}$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình 2x² – 5x + 3 > 0 là $\left(-\infty ;1\right)\cup \left(\frac{3}{2};+\infty \right).$

b)

Tam thức bậc hai – x² – 2x + 8 có:

∆’ = (-1)² – (-1).8 = 1 + 8 = 9 > 0

Suy ra tam thức có hai nghiệm là x₁ = – 4, x₂ = 2 và hệ số a = – 1 < 0.

Khi đó ta có bảng xét dấu:

Tam thức – x² – 2x + 8 không dương khi x ≤ – 4 hoặc x ≥ 2.

Hay – x² – 2x + 8 ≤ 0 khi x ≤ – 4 hoặc x ≥ 2.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình – x² – 2x + 8 là (– ∞; – 4] ∪ [2; + ∞).

c)

Tam thức bậc hai 4x² – 12x + 9 có ∆’ = (– 6)² – 4 . 9 = 0.

Do đó tam thức trên có nghiệm kép là x = $\frac{3}{2}$.

Ta có hệ số a = 4 > 0.

Khi đó ta có bảng xét dấu:

Tam thức 4x² – 12x + 9 > 0 với mọi $x\in ℝ\backslash \left\{\frac{3}{2}\right\}$ và 4x² – 12x + 9 = 0 tại x = $\frac{3}{2}$.

Do đó không tồn tại giá trị nào của x để 4x² – 12x + 9 < 0

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.

d)

Tam thức bậc hai – 3x² + 7x – 4 có:

∆ = 7² – 4.(-3).(-4) = 49 – 48 == 1 > 0

Suy ra tam thức có hai nghiệm x₁ = 1, x₂ = $\frac{4}{3}$ và hệ số a = – 3 < 0.

Khi đó ta có bảng xét dấu:

Tam thức – 3x² + 7x – 4 không âm khi $1\le x\le \frac{4}{3}$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình – 3x² + 7x – 4 ≥ 0 là $\left[1;\frac{4}{3}\right]$.

Bài 4 trang 54 Toán lớp 10 Tập 1: Tìm m để phương trình 2x² + (m + 1)x + m – 8 = 0 có nghiệm.

Lời giải:

Phương trình 2x² + (m + 1)x + m – 8 = 0 (1) là phương trình bậc hai một ẩn có: a = 2, b = m + 1, c = m – 8 (m là tham số)

∆ = (m + 1)² – 4 . 2 . (m – 8) = m² + 2m + 1 – 8m + 64 = m² – 6m + 65.

Để phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi ∆ ≥ 0 ⇔ m² – 6m + 65 ≥ 0

Xét tam thức bậc hai m² – 6m + 65 có:

∆_m = (– 6)² – 4 . 1 . 65 = – 224 < 0 và hệ số a_m = 1 > 0.

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, tam thức m² – 6m + 65 mang dấu dương với mọi $m\in ℝ$.

Do đó m² – 6m + 65 > 0 với mọi số thực m.

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị thực của m.

Bài 5 trang 54 Toán lớp 10 Tập 1: Xét hệ tọa độ Oth trên mặt phẳng, trong đó trục Ot biểu thị thời gian t (tính bằng giây) và trục Oh biểu thị độ cao h (tính bằng mét). Một quả bóng được đá lên từ điểm A(0; 0,2) và chuyển động theo quỹ đạo là một cung parabol. Quả bóng đạt độ cao 8,5 m sau 1 giây và đạt độ cao 6 m sau 2 giây.

a) Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị quỹ đạo chuyển động của quả bóng.

b) Trong khoảng thời gian nào thì quả bóng vẫn chưa chạm đất?

Lời giải:

a) Chuyển động của quả bóng theo quỹ đạo parabol và với mỗi thời gian t ta có được duy nhất một chiều cao h tương ứng nên ta có h = at² + bt + c với a, b, c là các hệ số và a ≠ 0.

Quả bóng được đá lên từ điểm A(0; 0,2) nên thay t = 0 và h = 0,2 vào hàm số ta được: 0,2 = a.0² + b.0 + c ⇔ c = 0,2 (1)

Quả bóng đạt độ cao 8,5 m sau 1 giây nên thay t = 1 và h = 8,5 vào hàm số ta được:

8,5 = a.1² + b.1 + c ⇔ a + b + c = 8,5 (2)

Quả bóng đạt độ cao 6 m sau 2 giây nên thay t = 2 và h = 6 vào hàm số ta được:

6 = a.2² + b.2 + c ⇔ 4a + 2b + c = 6 (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}a+b+c=8,5\\ 4a+2b+c=6\\ c=0,2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a+b+0,2=8,5\\ 4a+2b+0,2=6\\ c=0,2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a+b=8,3\\ 4a+2b=5,8\\ c=0,2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=-5,4\\ b=13,7\\ c=0,2\end{array}\right. \end{gathered}$$

⇒ h = -5,4t² + 13,7t + 0,2.

Vậy hàm số bậc hai biểu thị quỹ đạo chuyển động của quả bóng là: h = – 5,4t² + 13,7t + 0,2.

b) Bóng chạm đất nếu khi độ cao h = 0, vậy bóng chưa chạm đất khi độ cao h > 0 hay – 5,4t² + 13,7t + 0,2 > 0

Xét tam thức bậc hai – 5,4t² + 13,7t + 0,2 có:

∆ = 13,7² – 4.(-5,4).0,2 = 192,01 > 0

Suy ra tam thức có hai nghiệm t₁ = $\frac{137}{108}-\frac{\sqrt{19201}}{108}$, $t_2=\frac{137}{108}+\frac{\sqrt{19201}}{108}$.

Ta lại có a = -5,4 < 0

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai ta có – 5,4t² + 13,7t + 0,2 > 0

$\iff \frac{137}{108}-\frac{\sqrt{19201}}{108}<t<\frac{137}{108}+\frac{\sqrt{19201}}{108}$

Lại có: thời gian t > 0

Do đó: $0<t<\frac{137}{108}+\frac{\sqrt{19201}}{108}$ mà $\frac{137}{108}+\frac{\sqrt{19201}}{108}\approx 2,55$ hay 0 < t < 2,55.

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 2,55 giây thì bóng vẫn chưa chạm đất.

Bài 6 trang 54 Toán lớp 10 Tập 1: Công ty An Bình thông báo giá tiền cho chuyến đi tham quan của một nhóm khách du lịch như sau:

10 khách đầu tiên có giá vé là 800 000 đồng/người. Nếu có nhiều hơn 10 người đăng kí thì cứ có thêm 1 người, giá vẽ sẽ giảm 10 000 đồng/người cho toàn bộ hành khách.

a) Gọi x là số lượng khách từ người thứ 11 trở lên của nhóm. Biểu thị doanh thu theo x.

b) Số người của nhóm khách du lịch nhiều nhất là bao nhiêu thì công ty không bị lỗ? Biết rằng chi phí thực sự cho chuyến đi là 700 000 đồng/người.

Lời giải:

a) x là số lượng khách từ người thứ 11 trở lên của nhóm. ($x\in {\mathbb{N}}^{*}$)

Tổng số khách là: 10 + x (người)

Nếu có nhiều hơn 10 người đăng kí thì cứ thêm 1 người, giá vé của mỗi người được giảm là: 10 000x (đồng).

Do đó giá vé cho một người là: 800 000 – 10 000x (đồng)

Giá tiền toàn bộ hành khách phải trả là: (800 000 – 10 000x)(10 + x)

= 8 000 000 + 800 000x – 100 000x – 10 000x²

= – 10 000x² + 700 000x + 8 000 000 (đồng).

Vậy biểu thức tính doanh thu của công ty theo x là: – 10 000x² + 700 000x + 8 000 000.

b) Chi phí thực sự cho chuyến đi là 700 000 đồng/người nên tổng chi phí cho 10 + x người tham gia là 700 000(10 + x) = 7 000 000 + 700 000x(đồng).

Để công ty không bị lỗ thì doanh thu phải lớn hơn hoặc bằng tổng chi phí.

Do đó – 10 000x² + 700 000x + 8 000 000 ≥ 7 000 000 + 700 000x

⇔ – 10 000x² + 1 000 000 ≥ 0

⇔ x² – 100 ≤ 0

Áp dụng định lý dấu của tam thức bậc hai, ta giải được bất phương trình trên.

Ta có: x² – 100 ≤ 0 ⇔ – 10 ≤ x ≤ 10,

Mà x là số tự nhiên nên 0 ≤ x ≤ 10.

Do đó thêm nhiều nhất là 10 người nữa thì công ty không bị lỗ hay số người của nhóm khách du lịch lúc này là 10 + 10 = 20 người.

Vậy số người có nhóm du lịch nhiều nhất 20 người thì công ty không bị lỗ.

Lý thuyết Bất phương trình bậc hai một ẩn

1. Bất phương trình bậc hai một ẩn

– Bất phương trình bậc hai một ẩn x là bất phương trình có một trong các dạng sau: ax² + bx + c < 0; ax² + bx + c ≤ 0; ax² + bx + c > 0; ax² + bx + c ≥ 0, trong đó a, b, c là các số thực đã cho, a ≠ 0.

– Đối với bất phương trình bậc hai có dạng ax² + bx + c < 0, mỗi số x₀ ∈ ℝ sao cho ${{\mathrm{ax}}_0}^2+{\mathrm{bx}}_0+\mathrm{c}<0$ được gọi là một nghiệm của bất phương trình đó.

Tập hợp các nghiệm x như thế còn được gọi là tập nghiệm của bất phương trình bậc hai đã cho.

Nghiệm và tập nghiệm của các dạng bất phương trình bậc hai ẩn x còn lại được định nghĩa tương tự.

Ví dụ: Cho bất phương trình bậc hai một ẩn ${\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+2\le 0$ (1). Trong các giá trị sau đây của x, giá trị nào là nghiệm của bất phương trình (1)?

a) x = 2;

b) x = 0;

c) x = 3.

Hướng dẫn giải

a) Với x = 2, ta có: 2² – 3.2 + 2 = 0. Vậy x = 2 là nghiệm của bất phương trình (1).

b) Với x = 0, ta có: 0² – 3.0 + 2 = 2 > 0.Vậy x = 0 không phải là nghiệm của bất phương trình (1).

c) Với x = 3, ta có: 3² – 3.3 + 3 > 0. Vậy x = 3 không phải là nghiệm của bất phương trình (1).

Chú ý: Giải bất phương trình bậc hai ẩn x là đi tìm tập nghiệm của bất phương trình đó.

2. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

2.1. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn bằng cách xét dấu của tam thức bậc hai

Nhận xét: Để giải bất phương trình bậc hai (một ẩn) có dạng:

f(x) > 0 (f(x) = ax² + bx + c), ta chuyển việc giải bất phương trình đó về việc tìm tập hợp những giá trị của x sao cho f(x) mang dấu “+”. Cụ thể, ta làm như sau:

Bước 1. Xác định dấu của hệ số a và tìm nghiệm của f(x) (nếu có).

Bước 2. Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để tìm tập hợp những giá trị của x sao cho f(x) mang dấu “+”.

Chú ý: Các bất phương trình bậc hai có dạng f(x) < 0, f(x) ≥ 0, f(x) ≤ 0 được giải bằng cách tương tự.

Ví dụ: Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) ${\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+4>0$;

b) $-{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+4>0$.

Hướng dẫn giải

a) Tam thức bậc hai ${\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+4>0$ có hai nghiệm phân biệt ${\mathrm{x}}_1=1$, ${\mathrm{x}}_2=4$ và có hệ số a = 1 > 0. Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho tam thức ${\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+4>0$ mang dấu “+” là $(-\infty ;1)\cup (4;+\infty ).$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình ${\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+4>0$ là $(-\infty ;1)\cup (4;+\infty ).$

b) Tam thức bậc hai $-{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+4>0$ có hai nghiệm ${\mathrm{x}}_1=-4$,${\mathrm{x}}_2=1$ và có hệ số $\mathrm{a}=-1<0$.

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho tam thức $-{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+4>0$ mang dấu “+” là (– 4; 1).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình – x² – 3x + 4 > 0 là ($-$4; 1).

2.2. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn bằng cách sử dụng đồ thị

– Giải bất phương trình bậc hai ax² + bx + c > 0 là tìm tập hợp những giá trị của x ứng với phần parabol y = ax² + bx + c nằm phía trên trục hoành.

– Tương tự, giải bất phương trình bậc hai ax² + bx + c < 0 là tìm tập hợp những giá trị của x ứng với phần parabol y = ax² + bx + c nằm phía dưới trục hoành.

Như vậy, để giải bất phương trình bậc hai (một ẩn) có dạng:

f(x) > 0 (f(x) = ax² + bx + c) bằng cách sử dụng đồ thị, ta có thể làm như sau: Dựa vào parabol y = ax² + bx + c, ta tìm tập hợp những giá trị của x ứng với phần parabol đó nằm phía trên trục hoành. Đối vổi các bất phương trình bậc hai có dạng f(x) < 0, f(x) ≥ 0, ,f(x) ≤ 0, ta cũng làm tương tự.

Ví dụ: Quan sát đồ thị và giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) ${\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+2<0$

b) $-{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}$ > 0

Đồ thị y =${\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+2$ Đồ thị y =$-{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}$

Hướng dẫn giải

a) Quan sát đồ thị, ta thấy${\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+2<0$ biểu diễn phần parabol y =${\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+2$ nằm phía dưới trục hoành, tương ứng với 1 < x < 2.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình ${\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+2<0$ là khoảng (1; 2).

b) Quan sát đồ thị, ta thấy $-{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}$ > 0 biểu diễn phần parabol y =$-{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}$ nằm phía trên trục hoành, tương ứng với 0 < x < 2.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $-{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}$ > 0 là khoảng (0 ; 2).

2.3. Ứng dụng của bất phương trình bậc hai một ẩn

Bất phương trình bậc hai một ẩn có nhiều ứng dụng, chẳng hạn: giải một số hệ bất phương trình; ứng dụng vào tính toán lợi nhuận trong kinh doanh; tính toán điểm rơi trong pháo binh;...

Chúng ta sẽ làm quen với những ứng dụng đó qua một số ví dụ sau đây.

Ví dụ 4: Tìm giao các tập nghiệm của hai bất phương trình sau:

${\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}-3<0$ (3) và ${\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+3<0$ (4)

Hướng dẫn giải

Ta có: $\left(3\right) \iff -3<\text{x}<1.$ Tập nghiệm của bất phương trình (3) là S₃= (−3 ; 1);

$\left(4\right) \iff 1<\text{x}<3.$ Tập nghiệm của bất phương trình (4) là S₄= (1 ; 3).

Giao các tập nghiệm của hai bất phương trình trên là:

$\mathrm{S}={\mathrm{S}}_3\cap {\mathrm{S}}_4=\left(-3;1\right)\cap \left(1;3\right)=\varnothing$.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 2: Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng

Bài 3: Dấu của tam thức bậc hai

Bài 5: Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài tập cuối chương 3

Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ. Định lý côsin và định lý sin trong tam giác

Xem thêm tài liệu Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 4. Bất phương trình bậc hai một ẩn