Giải Toán 10 Bài 4 (Cánh diều): Nhị thức Newton

Với giải bài tập Toán lớp 10 Bài 4: Nhị thức Newton sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 Bài 4.

1 3,445 26/09/2024

Trang trước

Trang sau

Giải bài tập Toán 10 Bài 4: Nhị thức Newton

A. Các câu hỏi trong bài

Giải Toán 10 trang 18 Tập 2

Câu hỏi khởi động trang 18 Toán 10 Tập 2: Làm thế nào để khai triển các biểu thức (a + b)⁴, (a + b)⁵ một cách nhanh chóng?

Lời giải

Sau bài học này, ta sẽ biết khai triển các biểu thức (a + b)⁴, (a + b)⁵ một cách nhanh chóng bằng cách áp dụng công thức nhị thức Newton (a + b)ⁿ với n = 4; n = 5.

Khi đó ta có:

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴;

(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵.

Hoạt động trang 18 Toán 10 Tập 2:

Ta đã biết (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = 1 . a³ + 3 . a². b¹ + 3 . a¹ . b² + 1 . b³.

a) Tính $C_{3}^{0}, C_{3}^{1}, C_{3}^{2}, C_{3}^{3}$ .

b) Chọn số thích hợp cho $?$ trong khai triển sau:

(a + b)³= $C_{3}^{?} . a^{3} + C_{3}^{?} . a^{3 - ?} . b^{1} + C_{3}^{?} . a^{3 - ?} . b^{2} + C_{3}^{?} . a^{3 - ?} . b^{3}$ .

Lời giải

a) Ta tính được

$C_{3}^{0} = 1, C_{3}^{1} = 3, C_{3}^{2} = 3, C_{3}^{3} = 1$ (có thể sử dụng máy tính cầm tay).

b) Do (a + b)³= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = 1 . a³ + 3 . a². b¹ + 3 . a¹ . b² + 1 . b³

Mà theo câu a) ta có: $C_{3}^{0} = 1, C_{3}^{1} = 3, C_{3}^{2} = 3, C_{3}^{3} = 1$ .

Vậy ta điền được:

(a + b)³= $C_{3}^{0} . a^{3} + C_{3}^{1} . a^{3 - 1} . b^{1} + C_{3}^{2} . a^{3 - 2} . b^{2} + C_{3}^{3} . a^{3 - 3} . b^{3}$ .

Giải Toán 10 trang 19 Tập 2

Luyện tập 1 trang 19 Toán 10 Tập 2: Khai triển biểu thức (2 + x)⁴.

Lời giải

Ta có:

(2 + x)⁴

= 2⁴ + 4 . 2³ . x + 6 . 2² . x² + 4 . 2 . x³ + x⁴

= 16 + 32x + 24x² + 8x³ + x⁴.

Luyện tập 2 trang 19 Toán 10 Tập 2: Khai triển biểu thức (2 − 3y)⁴.

Lời giải

Ta có: (2 – 3y)⁴

= [2 + (– 3y)]⁴

= 2⁴ + 4 . 2³ . (– 3y) + 6 . 2² . (– 3y)² + 4 . 2 . (– 3y)³ + (– 3y)⁴

= 16 – 96y + 216y² – 216y³ + 81y⁴.

Luyện tập 3 trang 19 Toán 10 Tập 2: Tính:

a) $C_{4}^{0} + C_{4}^{1} + C_{4}^{2} + C_{4}^{3} + C_{4}^{4}$ ;

b) $C_{5}^{0} - C_{5}^{1} + C_{5}^{2} - C_{5}^{3} + C_{5}^{4} - C_{5}^{5}$ .

Lời giải

Ta có:

a) $C_{4}^{0} + C_{4}^{1} + C_{4}^{2} + C_{4}^{3} + C_{4}^{4}$

$= C_{4}^{0} . 1^{4} + C_{4}^{1} . 1^{3} . 1 + C_{4}^{2} {.1}^{2} {.1}^{2} + C_{4}^{3} {.1.1}^{3} + C_{4}^{4} {.1}^{4}$

= (1 + 1)⁴

= 2⁴

= 16.

b) $C_{5}^{0} - C_{5}^{1} + C_{5}^{2} - C_{5}^{3} + C_{5}^{4} - C_{5}^{5}$

= $C_{5}^{0} {.1}^{5} + C_{5}^{1} {.1}^{4} . (- 1) + C_{5}^{2} {.1}^{3} . {(- 1)}^{2} + C_{5}^{3} {.1}^{2} . {(- 1)}^{3} + C_{5}^{4} .1. {(- 1)}^{4} + C_{5}^{5} . {(- 1)}^{5}$

= [1 + (– 1)]⁵

= 0⁵

= 0.

B. Bài tập

Bài 1 trang 19 Toán 10 Tập 2: Khai triển các biểu thức sau:

a) (2x + 1)⁴;

b) (3y – 4)⁴;

c) ${(x + \frac{1}{2})}^{4}$ ;

d) ${(x - \frac{1}{3})}^{4}$ .

Lời giải

a) (2x + 1)⁴

= (2x)⁴ + 4 . (2x)³ . 1 + 6 . (2x)². 1² + 4 . (2x) . 1³ + 1⁴

= 16x⁴ + 32x³ + 24x² + 8x + 1.

b) (3y – 4)⁴

= [3y + (– 4)]⁴

= (3y)⁴ + 4 . (3y)³ . (– 4) + 6 . (3y)² . (– 4)² + 4 . (3y) . (– 4)³ + (– 4)⁴

= 81y⁴ – 432y³ + 864y² – 768y + 256.

c) ${(x + \frac{1}{2})}^{4}$

$= x^{4} + 4. x^{3} . \frac{1}{2} + 6. x^{2} . {(\frac{1}{2})}^{2} + 4. x . {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{4}$

$= x^{4} + 2 x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{16}$ .

d) ${(x - \frac{1}{3})}^{4}$

$= {[x + (- \frac{1}{3})]}^{4}$

$= x^{4} + 4. x^{3} . (- \frac{1}{3}) + 6. x^{2} . {(- \frac{1}{3})}^{2} + 4. x . {(- \frac{1}{3})}^{3} + {(- \frac{1}{3})}^{4}$

$= x^{4} - \frac{4}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{2} - \frac{4}{27} x + \frac{1}{81}$ .

Bài 2 trang 19 Toán 10 Tập 2: Khai triển các biểu thức sau:

a) (x + 1)⁵;

b) (x – 3y)⁵.

Lời giải

a) (x + 1)⁵

= x⁵+ 5 . x⁴ . 1 + 10 . x³ . 1² + 10 . x² . 1³ + 5 . x . 1⁴ + 1⁵

= x⁵+ 5x⁴+ 10x³ + 10x² + 5x + 1.

b) (x – 3y)⁵

= [x + (– 3y)]⁵

= x⁵ + 5 . x⁴ . (– 3y) + 10 . x³ . (– 3y)²+ 10 . x² . (– 3y)³+ 5 . x . (– 3y)⁴ + (– 3y)⁵

= x⁵ – 15x⁴y + 90x³y² – 270x²y³ + 405xy⁴ – 243y⁵.

Bài 3 trang 19 Toán 10 Tập 2: Xác định hệ số của x⁴ trong khai triển biểu thức (3x + 2)⁵.

Lời giải

Số hạng chứa x⁴ trong khai triển biểu thức (3x + 2)⁵ là $C_{5}^{1} . {(3 x)}^{4} .2$ .

Mà $C_{5}^{1} . {(3 x)}^{4} .2$ = 5 . 81x⁴ . 2 = (5 . 2 . 81)x⁴ = 810x⁴.

Vậy hệ số của x⁴ trong khai triển biểu thức (3x + 2)⁵ là 810.

Bài 4 trang 19 Toán 10 Tập 2: Cho

${(1 - \frac{1}{2} x)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ . Tính:

a) a₃;

b) a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅.

Lời giải

Áp dụng công thức nhị thức Newton ta có:

${(1 - \frac{1}{2} x)}^{5} = {[1 + (- \frac{1}{2} x)]}^{5}$ $= 1^{5} + {5.1}^{4} . (- \frac{1}{2} x) + {10.1}^{3} . {(- \frac{1}{2} x)}^{2} + {10.1}^{2} . {(- \frac{1}{2} x)}^{3} + 5.1. {(- \frac{1}{2} x)}^{4} + {(- \frac{1}{2} x)}^{5}$

$= 1 - \frac{5}{2} x + \frac{5}{2} x^{2} - \frac{5}{4} x^{3} + \frac{5}{16} x^{4} - \frac{1}{32} x^{5}$

$= 1 + (- \frac{5}{2}) x + \frac{5}{2} x^{2} + (- \frac{5}{4}) x^{3} + \frac{5}{16} x^{4} + (- \frac{1}{32}) x^{5}$ .

a) Ta có a₃ là hệ số của x³ trong khai triển biểu thức ${(1 - \frac{1}{2} x)}^{5}$ .

Vậy $a_{3} = - \frac{5}{4}$ .

b) Theo phân tích nhị thức Newton ở trên, ta suy ra:

$a_{0} = 1, a_{1} = - \frac{5}{2}, a_{2} = \frac{5}{2}, a_{3} = - \frac{5}{4}, a_{4} = \frac{5}{16}, a_{5} = - \frac{1}{32}$ .

Khi đó: a₀+ a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ = $1 + (- \frac{5}{2}) + \frac{5}{2} + (- \frac{5}{4}) + \frac{5}{16} + (- \frac{1}{32})$ $= \frac{1}{32}$ .

Vậy a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ $= \frac{1}{32}$ .

Bài 5 trang 19 Toán 10 Tập 2: Cho tập hợp A có 5 phần tử. Số tập hợp con của A là bao nhiêu?

Lời giải

Mỗi cách trích ra một tập con gồm n phần tử trong 5 phần tử (0 ≤ n ≤ 5) của A chính là một tổ hợp chập n của 5, do đó số tập con gồm n phần tử của A là $C_{5}^{n}$ .

Số tập hợp con có 0 phần tử của A là $C_{5}^{0}$ .

Số tập hợp con có 1 phần tử của A là $C_{5}^{1}$ .

Số tập hợp con có 2 phần tử của A là $C_{5}^{2}$ .

Số tập hợp con có 3 phần tử của A là $C_{5}^{3}$ .

Số tập hợp con có 4 phần tử của A là $C_{5}^{4}$ .

Số tập hợp con có 5 phần tử của A là $C_{5}^{5}$ .

Do đó, số tập hợp con của A là:

$C_{5}^{0} + C_{5}^{1} + C_{5}^{2} + C_{5}^{3} + C_{5}^{4} + C_{5}^{5}$

$= C_{5}^{0} {.1}^{5} + C_{5}^{1} {.1}^{4} .1 + C_{5}^{2} {.1}^{3} {.1}^{2} + C_{5}^{3} {.1}^{2} {.1}^{3} + C_{5}^{4} {.1.1}^{4} + C_{5}^{5} {.1}^{5}$

= (1 + 1)⁵= 2⁵ = 32.

Vậy tập hợp A có 32 tập hợp con.

Lý thuyết Nhị thức Newton

Công thức nhị thức Newton (a + b)ⁿ ứng với n = 4 ; n = 5 :

• (a + b)⁴ = $C_{4}^{0}$ a⁴ + $C_{4}^{1}$ a³b + $C_{4}^{2}$ a²b² + $C_{4}^{3}$ ab³ + $C_{4}^{4}$ b⁴

= a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴.

• (a + b)⁵ = $C_{5}^{0}$ a⁵ + $C_{5}^{1}$ a⁴b + $C_{5}^{2}$ a³b² + $C_{5}^{3}$ a²b³ + $C_{5}^{4}$ ab⁴ + $C_{5}^{5}$ b⁵

= a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵.

Ví dụ:

a) Khai triển (2 + x)⁴;

b) Khai triển (x – 3)⁵.

Hướng dẫn giải

a) Ta có :

(2 + x)⁴ = $C_{4}^{0}$ 2⁴ + $C_{4}^{1}$ 2³.x + $C_{4}^{2}$ 2²x² + $C_{4}^{3}$ 2.x³ + $C_{4}^{4}$ x⁴

= 2⁴ + 4.2³x + 6.2².x² + 4.2.x³ + x⁴

= 16 + 32x + 24x² + 8x³ + x⁴.

Vậy (2 + x)⁴ = 16 + 32x + 24x² + 8x³ + x⁴.

b) Ta có :

(x – 3)⁵ = $C_{5}^{0}$ x⁵ + $C_{5}^{1}$ x⁴.(–3) + $C_{5}^{2}$ x³.(–3)² + $C_{5}^{3}$ x².(–3)³ + $C_{5}^{4}$ x.(–3)⁴ + $C_{5}^{5}$ (–3)⁵

= x⁵ + 5x⁴.(–3) + 10x³.(–3)² + 10x².(–3)³ + 5x.(–3)⁴ + (–3)⁵

= x⁵ – 15x⁴ + 90x³ – 270x² + 405x – 243.

Vậy (x – 3)⁵ = x⁵ – 15x⁴ + 90x³ – 270x² + 405x – 243.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 5

Bài 1: Số gần đúng. Sai số

Bài 2: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu không ghép nhóm

Bài 3: Các số liệu đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu không ghép nhóm

Bài 4: Xác suất của biến cố trong một số trò chơi đơn giản

1 3,445 26/09/2024

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3