Giải Toán 10 Bài 6 (Cánh diều): Tích vô hướng của hai vectơ

Giải bài tập Toán 10 Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

Giải Toán 10 trang 93 Tập 1

Câu hỏi khởi động trang 93 Toán lớp 10 Tập 1: Trong vật lí, nếu có một lực $\overrightarrow{F}$ tác động lên một vật tại điểm O và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường s = OM (Hình 63) thì công A của lực $\overrightarrow{F}$ được tính theo công thức $A=\left|\overrightarrow{F}\right|.\left|\overrightarrow{OM}\right|.\cos \phi$ trong đó $\left|\overrightarrow{F}\right|$ gọi là cường độ của lực $\overrightarrow{F}$ tính bằng Newton (N), $\left|\overrightarrow{OM}\right|$ là độ dài của vectơ $\overrightarrow{OM}$ tính bằng mét (m), φ là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{OM}$ và $\overrightarrow{F}$, còn công A tính bằng Jun (J).

Trong toán học, giá trị của biểu thức $A=\left|\overrightarrow{F}\right|.\left|\overrightarrow{OM}\right|.\cos \phi$ (không kể đơn vị đo) được gọi là gì?

Lời giải:

Giá trị của biểu thức $A=\left|\overrightarrow{F}\right|.\left|\overrightarrow{OM}\right|.\cos \phi$ là tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{F}$ và $\overrightarrow{OM}$.

Luyện tập 1 trang 93 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{B}=30°$, AB = 3 cm. Tính $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC};\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}$.

Lời giải:

Tam giác ABC vuông tại A nên $\cos \widehat{ABC}=\frac{BA}{BC}$.

$\Rightarrow BC=BA:\cos 30°=3:\cos 30°=2\sqrt{3}$ cm.

$\sin \widehat{ABC}=\frac{AC}{BC}$

$\Rightarrow AC=BC.\sin 30°=2\sqrt{3}.\sin 30°=\sqrt{3}$ cm.

Ta có: $\widehat{B}+\widehat{C}=90°$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau).

$\Rightarrow \widehat{C}=90°-\widehat{B}=90°-30°=60°$.

Khi đó

$$\begin{gathered} \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=\left|\overrightarrow{BA}\right|.\left|\overrightarrow{BC}\right|.\cos \left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right) \\ =3.2\sqrt{3}.\cos 30°=9 \end{gathered}$$

$\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}$ = $\left|\overrightarrow{CA}\right|.\left|\overrightarrow{CB}\right|.\cos \left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right)$

= $\sqrt{3}.2\sqrt{3}.\cos 60°$ = 6 . cos 60° = 3.

Giải Toán 10 trang 95 Tập 1

Luyện tập 2 trang 95 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC đều cạnh a, AH là đường cao. Tính:

a) $\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{BA}$;

b) $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}$.

Lời giải:

a) Do tam giác ABC đều nên $\widehat{BAC}=\widehat{ABC}=60°$ và AB = BC = CA = a.

Khi đó

$$\begin{gathered} \overrightarrow{CB}.\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BA} \\ =-\left|\overrightarrow{BC}\right|.\left|\overrightarrow{BA}\right|.\cos \left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}\right) \end{gathered}$$

= -a.a.cos 60^o = $-\frac{a^2}{2}$.

Vậy $\overrightarrow{CB }. \overrightarrow{BA}=\frac{-a^2}{2}$

b) Do AH là đường cao của tam giác ABC nên $AH\perp BC$.

Do đó $\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BC}$ nên $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0$.

Giải Toán 10 trang 96 Tập 1

Luyện tập 3 trang 96 Toán lớp 10 Tập 1: Chứng minh rằng với hai vectơ bất kì $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$, ta có:

${\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)}^2={\overrightarrow{a}}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$;

${\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)}^2={\overrightarrow{a}}^2-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$;

$\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right).\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)={\overrightarrow{a}}^2-{\overrightarrow{b}}^2$.

Lời giải:

Ta có: ${\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)}^2=\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right).\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)$

$=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{b}$

$={\overrightarrow{a}}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$

+) Ta có: ${\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)}^2=\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right).\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)$

$=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{b}$

$={\overrightarrow{a}}^2-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$

+) Ta có: $\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right).\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}.\overrightarrow{b}$

$={\overrightarrow{a}}^2-{\overrightarrow{b}}^2$

Luyện tập 4 trang 96 Toán lớp 10 Tập 1: Sử dụng tích vô hướng, chứng minh minh định lí Pythagore: Tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi BC² = AB² + AC².

Lời giải:

Phần thuận: Tam giác ABC vuông tại A thì BC² = AB² + AC².

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC:

BC² = AB² + AC² - 2.AB.AC.cos $\widehat{A}$

$\Rightarrow$ BC² = AB² + AC² - 2.AB.AC.cos 90^o

$\Rightarrow$ BC² = AB² + AC² - 2.AB.AC.0

$\Rightarrow$ BC² = AB² + AC²

Phần đảo: Tam giác ABC có BC² = AB² + AC² thì tam giác ABC vuông tại A.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC:

BC² = AB² + AC² - 2.AB.AC.cos $\widehat{A}$

Mà BC² = AB² + AC² nên -2.AB.AC.cos $\widehat{A}$ = 0.

Do AB và AC là độ dài các cạnh của tam giác nên cos $\widehat{A}$ = 0.

Do đó $\widehat{A}=90°$.

Vậy tam giác ABC vuông tại A.

Bài tập

Giải Toán 10 trang 97 Tập 1

Bài 1 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Nếu hai điểm M, N thỏa mãn $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{NM}=-4$ thì độ dài đoạn thẳng MN bằng bao nhiêu?

A. MN = 4;

B. MN = 2;

C. MN = 16;

D. MN = 256.

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{MN}.-\overrightarrow{MN}=-{\overrightarrow{MN}}^2=-M{N}^2$.

Do đó -MN² = -4 nên MN² = 4.

Mà MN > 0 (độ dài đoạn thẳng) nên MN = 2.

Vậy đáp án đúng là đáp án B.

Giải Toán 10 trang 98 Tập 1

Bài 2 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1: Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$ và $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)<90°$ thì $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}<0;$

B. Nếu $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$ và $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)>90°$ thì $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}>0;$

C. Nếu $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$ và $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)<90°$ thì $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}>0;$

D. Nếu $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$ và $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)\ne 90°$ thì $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}<0.$

Lời giải:

Nếu $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$ và $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)<90°$ thì $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)>0$.

Do đó $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)>0$.

Vậy đáp án đúng là đáp án C.

Bài 3 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1: Tính $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\left|\overrightarrow{a}\right|=3,\left|\overrightarrow{b}\right|=4,\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=30°$;

b) $\left|\overrightarrow{a}\right|=5,\left|\overrightarrow{b}\right|=6,\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=120°$;

c) $\left|\overrightarrow{a}\right|=2,\left|\overrightarrow{b}\right|=3,$$\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng;

d) $\left|\overrightarrow{a}\right|=2,\left|\overrightarrow{b}\right|=3,$$\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng.

Lời giải:

a) $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$

= 3 . 4 . cos 30^o = $6\sqrt{3}$.

b) $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$

= 5 . 6 . cos 120^o = -15.

c) Do $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng nên $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|$ = 2 . 3 = 6.

d) Do $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng nên $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|$ = -2 . 3 = -6.

Bài 4 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính các tích vô hướng sau:

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$;

b) $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}$.

Lời giải:

a) Do ABCD là hình vuông nên $\widehat{BAC}=45°$.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B:

AC² = AB² + BC² = a² + a² = 2a².

$\Rightarrow$ AC = $\sqrt{2}$a.

Khi đó:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$

= a . $\sqrt{2}$a . cos $\widehat{BAC}$ = a . $\sqrt{2}$a . cos 45^o = a².

b) ABCD là hình vuông nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.

Do đó $\overrightarrow{AC}\perp \overrightarrow{BD}$ nên $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=0$.

Bài 5 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh:

$A{B}^2+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CA}=0$.

Lời giải:

$A{B}^2+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CA}={\overrightarrow{AB}}^2+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CA}$

$=\overrightarrow{AB}.\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\right)$

$=\overrightarrow{AB}.\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}\right)$

$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AA}$

$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{0}$

= 0.

Vậy $A{B}^2+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CA}=0$.

Bài 6 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác nhọn ABC, kẻ đường cao AH. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AH}$;

b) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{BC}$.

Lời giải:

a) Do AH là đường cao của tam giác ABC nên AH $\perp$ BC.

Do đó $\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BC}$ nên $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}$.

Ta có $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AH}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right).\overrightarrow{AH}$

$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AH}$

$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}$

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AH}$.

b) Ta có $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\left(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HB}\right).\overrightarrow{BC}$

$=\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{BC}$

$=\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{BC}$

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{BC}$.

Bài 7 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1: Một máy bay đang bay từ hướng đông sang hướng tây với tốc độ 700 km/h thì gặp luồng gió thổi từ hướng đông bắc sang hướng tây nam với tốc độ 40 km/h (Hình 69). Máy bay bị thay đổi vận tốc sau khi gặp gió thổi. Tìm tốc độ mới của máy bay (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm theo đơn vị km/h).

Lời giải:

Gọi vận tốc của máy bay theo hướng từ đông sang tây là $\overrightarrow{BA}$, vận tốc gió thổi từ hướng đông bắc sang tây nam là $\overrightarrow{BC}$, khi đó vận tốc mới của máy bay là $\overrightarrow{B\text{D}}$.

Ta có $\left|\overrightarrow{AB}\right|$ = 700, $\left|\overrightarrow{BC}\right|$ = 40.

Do ABCD là hình bình hành nên AB = CD = 700 và $\widehat{ABC}+\widehat{BC\text{D}}=180°$.

Do đó $\widehat{BC\text{D}}=180°-\widehat{ABC}=180°-45°=135°$.

Áp dụng định lí côsin vào tam giác BCD:

BD² = BC² + CD² - 2.BC.CD.cos $\widehat{BC\text{D}}$.

$\Rightarrow$ BD² = 40² + 700² - 2.40.700.cos 135^o.

$\Rightarrow$ BD² ≈ 531 197,98.

$\Rightarrow$ BD ≈ 728,83 km.

Vậy vận tốc mới của máy bay sau khi gặp gió thổi khoảng 728,83 km/h.

Bài 8 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, $\widehat{BAC}=60°$. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Điểm D thỏa mãn $\overrightarrow{AD}=\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$.

a) Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$.

b) Biểu diễn $\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BD}$ theo $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$.

c) Chứng minh AM ⊥ BD.

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$

= 2 . 3 . cos 60^o = 3.

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ = 3.

b) Do M là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.

Ta có $\overrightarrow{B\text{D}}=\overrightarrow{A\text{D}}-\overrightarrow{AB}=\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$.

c) Ta có $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BD}=\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right).\left(\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)$

$=\frac{7}{24}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^2+\frac{7}{24}{\overrightarrow{AC}}^2-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$

$=\frac{7}{24}.3-\frac{1}{2}{.2}^2+\frac{7}{24}{.3}^2-\frac{1}{2}.3$

= 0.

Do đó AM ⊥ BD.

Lý thuyết Toán 10 Bài 6. Tích vô hướng của hai vectơ – Cánh diều

1. Định nghĩa

1.1. Tích vô hướng của hai vectơ có cùng điểm đầu

– Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$, $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ là góc giữa hai tia OA, OB và được kí hiệu là $\left(\overrightarrow{\mathrm{OA}},\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right)$

– Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ là một số thực, kí hiệu là $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$.$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$, được xác định bởi công thức: $\overrightarrow{\mathrm{OA}}.\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|.\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|.\cos \left(\overrightarrow{\mathrm{OA}},\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right)$.

Ví dụ: Cho tam giác ABC đều cạnh 2a có đường cao AH. Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}}$.

Hướng dẫn giải:

Vì tam giác ABC đều nên $\widehat{\mathrm{BAC}}$ = 60°

⇒ $\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)$ = $\widehat{\mathrm{BAC}}$ = 60°

Ta có:

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = $\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|.\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|.\cos \left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)$

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = AB.AC.cos$\widehat{\mathrm{BAC}}$ = AB.AC.cos60° = 2a.2a.$\frac{1}{2}$ = 2a².

1.2. Tích vô hướng của hai vectơ tùy ý

Định nghĩa:

Cho hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ khác $\overrightarrow{0}.$ Lấy một điểm O và vẽ vectơ $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{\mathrm{a}},\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{b}}$ (Hình vẽ).

+ Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, $\overrightarrow{\mathrm{b}}$, kí hiệu $\left(\overrightarrow{\mathrm{a}},\overrightarrow{\mathrm{b}}\right)$, là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$, $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$.

+ Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{b}}$, kí hiệu $\overrightarrow{\mathrm{a}}$.$\overrightarrow{\mathrm{b}}$ là tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$. Như vậy, tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ là một số thực được xác định bởi công thức: $\overrightarrow{\mathrm{a}}$.$\overrightarrow{\mathrm{b}}$ = $\left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|.\left|\overrightarrow{\mathrm{b}}\right|.\cos \left(\overrightarrow{\mathrm{a}},\overrightarrow{\mathrm{b}}\right)$.

Quy ước: Tích vô hướng của một vectơ bất kì với vectơ $\overrightarrow{0}$ là số 0.

Chú ý:

+) $\left(\overrightarrow{\mathrm{a}},\overrightarrow{\mathrm{b}}\right)$ = $\left(\overrightarrow{\mathrm{b}},\overrightarrow{\mathrm{a}}\right)$

+) Nếu $\left(\overrightarrow{\mathrm{a}},\overrightarrow{\mathrm{b}}\right)$ = 90° thì ta nói hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ vuông góc với nhau, kí hiệu $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ ⊥ $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ hoặc $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ ⊥ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$. Khi đó $\overrightarrow{\mathrm{a}}$.$\overrightarrow{\mathrm{b}}$ = $\left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|.\left|\overrightarrow{\mathrm{b}}\right|.\cos 90°$= 0.

+) Tích vô hướng của hai vectơ cùng hướng bằng tích hai độ dài của chúng.

+) Tích vô hướng của hai vectơ ngược hướng bằng số đối của tích hai độ dài của chúng.

Ví dụ: Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a. Tính các tích vô hướng $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}}$,$\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{CB}}$.

Hướng dẫn giải:

+ Vì tam giác ABC vuông cân, mà AB = AC

⇒ Tam giác ABC vuông cân tại A.

⇒ AB ⊥ AC

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = $\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|.\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|.\cos 90°$ = $\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|.\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|.0$ = 0

+ Ta có: BC = $\sqrt{{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2}$ = $\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{a}}^2}$ = a$\sqrt{2}$.

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{CB}}$ = $\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|.\left|\overrightarrow{\mathrm{CB}}\right|.\cos \left(\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{CB}}\right)$ = a. a$\sqrt{2}$.cos135° = a. a$\sqrt{2}$.$\left(\frac{-\sqrt{2}}{2}\right)$ = –a².

2. Tính chất

Với hai vectơ bất kì $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ và số thực k tùy ý, ta có:

+) $\overrightarrow{\mathrm{a}}$.$\overrightarrow{\mathrm{b}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{b}}$.$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ (tính chất giao hoán);

+) $\overrightarrow{\mathrm{a}}.\left(\overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{c}}\right)=\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{c}}$ (tính chất phân phối);

+) $\left(\mathrm{k}\overrightarrow{\mathrm{a}}\right)\overrightarrow{\mathrm{b}}=\mathrm{k}\left(\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}}\right)=\overrightarrow{\mathrm{a}}.\left(\mathrm{k}\overrightarrow{\mathrm{b}}\right)$;

+) ${\overrightarrow{\mathrm{a}}}^2$ ≥ 0, ${\overrightarrow{\mathrm{a}}}^2$ = 0 ⟺ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = $\overrightarrow{0}$.

Trong đó, kí hiệu $\overrightarrow{\mathrm{a}}$.$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = ${\overrightarrow{\mathrm{a}}}^2$ và biểu thức này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$.

Ví dụ: Cho 4 điểm A, B, C, D bất kì. Chứng minh: $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{CD}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{BD}}=0$.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\left(\overrightarrow{\mathrm{CA}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)$ = $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{CA}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ (tính chất phân phối)

$\overrightarrow{\mathrm{BC}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\left(\overrightarrow{\mathrm{BA}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right).\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BA}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $-\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ (tính chất phân phối)

$\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{BD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\left(\overrightarrow{\mathrm{BA}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)$ = $\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{BA}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $-\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ (tính chất phân phối)

$\Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{CD}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{BD}}$

$=\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{CA}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}-\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}$

= $\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{CA}}-\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right)+\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)+\left(\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)$ (tính chất giao hoán và kết hợp)

= 0

⟺ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{CD}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{BD}}=0$ (đpcm).

3. Một số ứng dụng

3.1. Tính độ dài của đoạn thẳng

Nhận xét:

Với hai điểm A, B phân biệt, ta có: ${\overrightarrow{\mathrm{AB}}}^2={\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|}^2$.

Do đó độ dài đoạn thẳng AB được tính như sau: AB = $\sqrt{{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}^2}$

3.2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Nhận xét:

+ Cho hai vectơ bất kì $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ khác vectơ $\overrightarrow{0}$. Ta có: $\overrightarrow{\mathrm{a}}$.$\overrightarrow{\mathrm{b}}$ = 0 ⟺ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ ⊥ $\overrightarrow{\mathrm{b}}$.

Hai đường thẳng AB và CD vuông góc với nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{CD}}=0.$+ Hai đường thẳng a và b vuông góc khi và chỉ khi $\overrightarrow{\mathrm{u}}.\overrightarrow{\mathrm{v}}=0$, trong đó $\overrightarrow{\mathrm{u}}$ ≠ 0, $\overrightarrow{\mathrm{v}}$ ≠ 0, giá của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{u}}$ song song hoặc trùng với đường thẳng a và giá của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{v}}$ song song hoặc trùng với đường thẳng b.

Ví dụ: Cho hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ vuông góc với nhau và $\left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|=1$, $\left|\overrightarrow{\mathrm{b}}\right|=\sqrt{2}$. Chứng minh hai vectơ 2$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ – $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải:

Vì $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ vuông góc với nhau ⟺ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$.$\overrightarrow{\mathrm{b}}$ = 0

Ta có:

$\left(2 \overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{b}}\right)\left(\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}\right)$ = $2{\overrightarrow{\mathrm{a}}}^2+2\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}}-\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}}-{\overrightarrow{\mathrm{b}}}^2$ = $2{\overrightarrow{\mathrm{a}}}^2+\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}}-{\overrightarrow{\mathrm{b}}}^2$ = $2{\left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|}^2+\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}}-{\left|\overrightarrow{\mathrm{b}}\right|}^2$

= 2.1² + 0 – ${\left(\sqrt{2}\right)}^2$ = 0

Vì tích của hai vectơ 2$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ – $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ bằng 0 nên chúng vuông góc với nhau.