Lý thuyết Tích vô hướng của hai vectơ – Toán 10 Cánh diều

Lý thuyết Toán 10 Bài 6. Tích vô hướng của hai vectơ – Cánh diều

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa

1.1. Tích vô hướng của hai vectơ có cùng điểm đầu

– Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$, $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ là góc giữa hai tia OA, OB và được kí hiệu là $\left(\overrightarrow{\mathrm{OA}},\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right)$

– Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ là một số thực, kí hiệu là $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$.$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$, được xác định bởi công thức: $\overrightarrow{\mathrm{OA}}.\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|.\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|.\cos \left(\overrightarrow{\mathrm{OA}},\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right)$.

Ví dụ: Cho tam giác ABC đều cạnh 2a có đường cao AH. Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}}$.

Hướng dẫn giải:

Vì tam giác ABC đều nên $\widehat{\mathrm{BAC}}$ = 60°

⇒ $\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)$ = $\widehat{\mathrm{BAC}}$ = 60°

Ta có:

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = $\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|.\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|.\cos \left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)$

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = AB.AC.cos$\widehat{\mathrm{BAC}}$ = AB.AC.cos60° = 2a.2a.$\frac{1}{2}$ = 2a².

1.2. Tích vô hướng của hai vectơ tùy ý

Định nghĩa:

Cho hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ khác $\overrightarrow{0}.$ Lấy một điểm O và vẽ vectơ $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{\mathrm{a}},\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{b}}$ (Hình vẽ).

+ Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, $\overrightarrow{\mathrm{b}}$, kí hiệu $\left(\overrightarrow{\mathrm{a}},\overrightarrow{\mathrm{b}}\right)$, là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$, $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$.

+ Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{b}}$, kí hiệu $\overrightarrow{\mathrm{a}}$.$\overrightarrow{\mathrm{b}}$ là tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$. Như vậy, tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ là một số thực được xác định bởi công thức: $\overrightarrow{\mathrm{a}}$.$\overrightarrow{\mathrm{b}}$ = $\left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|.\left|\overrightarrow{\mathrm{b}}\right|.\cos \left(\overrightarrow{\mathrm{a}},\overrightarrow{\mathrm{b}}\right)$.

Quy ước: Tích vô hướng của một vectơ bất kì với vectơ $\overrightarrow{0}$ là số 0.

Chú ý:

+) $\left(\overrightarrow{\mathrm{a}},\overrightarrow{\mathrm{b}}\right)$ = $\left(\overrightarrow{\mathrm{b}},\overrightarrow{\mathrm{a}}\right)$

+) Nếu $\left(\overrightarrow{\mathrm{a}},\overrightarrow{\mathrm{b}}\right)$ = 90° thì ta nói hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ vuông góc với nhau, kí hiệu $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ ⊥ $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ hoặc $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ ⊥ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$. Khi đó $\overrightarrow{\mathrm{a}}$.$\overrightarrow{\mathrm{b}}$ = $\left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|.\left|\overrightarrow{\mathrm{b}}\right|.\cos 90°$= 0.

+) Tích vô hướng của hai vectơ cùng hướng bằng tích hai độ dài của chúng.

+) Tích vô hướng của hai vectơ ngược hướng bằng số đối của tích hai độ dài của chúng.

Ví dụ: Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a. Tính các tích vô hướng $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}}$,$\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{CB}}$.

Hướng dẫn giải:

+ Vì tam giác ABC vuông cân, mà AB = AC

⇒ Tam giác ABC vuông cân tại A.

⇒ AB ⊥ AC

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = $\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|.\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|.\cos 90°$ = $\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|.\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|.0$ = 0

+ Ta có: BC = $\sqrt{{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2}$ = $\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{a}}^2}$ = a$\sqrt{2}$.

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{CB}}$ = $\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|.\left|\overrightarrow{\mathrm{CB}}\right|.\cos \left(\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{CB}}\right)$ = a. a$\sqrt{2}$.cos135° = a. a$\sqrt{2}$.$\left(\frac{-\sqrt{2}}{2}\right)$ = –a².

2. Tính chất

Với hai vectơ bất kì $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ và số thực k tùy ý, ta có:

+) $\overrightarrow{\mathrm{a}}$.$\overrightarrow{\mathrm{b}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{b}}$.$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ (tính chất giao hoán);

+) $\overrightarrow{\mathrm{a}}.\left(\overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{c}}\right)=\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{c}}$ (tính chất phân phối);

+) $\left(\mathrm{k}\overrightarrow{\mathrm{a}}\right)\overrightarrow{\mathrm{b}}=\mathrm{k}\left(\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}}\right)=\overrightarrow{\mathrm{a}}.\left(\mathrm{k}\overrightarrow{\mathrm{b}}\right)$;

+) ${\overrightarrow{\mathrm{a}}}^2$ ≥ 0, ${\overrightarrow{\mathrm{a}}}^2$ = 0 ⟺ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = $\overrightarrow{0}$.

Trong đó, kí hiệu $\overrightarrow{\mathrm{a}}$.$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = ${\overrightarrow{\mathrm{a}}}^2$ và biểu thức này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$.

Ví dụ: Cho 4 điểm A, B, C, D bất kì. Chứng minh: $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{CD}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{BD}}=0$.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\left(\overrightarrow{\mathrm{CA}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)$ = $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{CA}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ (tính chất phân phối)

$\overrightarrow{\mathrm{BC}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\left(\overrightarrow{\mathrm{BA}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right).\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BA}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $-\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ (tính chất phân phối)

$\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{BD}}$  = $\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\left(\overrightarrow{\mathrm{BA}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)$ = $\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{BA}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $-\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ (tính chất phân phối)

$\Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{CD}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{BD}}$

$=\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{CA}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}-\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}$

= $\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{CA}}-\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right)+\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)+\left(\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)$ (tính chất giao hoán và kết hợp)

= 0

⟺ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{CD}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{BD}}=0$ (đpcm).

3. Một số ứng dụng

3.1. Tính độ dài của đoạn thẳng

Nhận xét:

Với hai điểm A, B phân biệt, ta có: ${\overrightarrow{\mathrm{AB}}}^2={\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|}^2$.

Do đó độ dài đoạn thẳng AB được tính như sau: AB = $\sqrt{{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}^2}$

3.2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Nhận xét:

+ Cho hai vectơ bất kì $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ khác vectơ $\overrightarrow{0}$. Ta có: $\overrightarrow{\mathrm{a}}$.$\overrightarrow{\mathrm{b}}$ = 0  ⟺ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ ⊥ $\overrightarrow{\mathrm{b}}$.

Hai đường thẳng AB và CD vuông góc với nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{CD}}=0.$+ Hai đường thẳng a và b vuông góc khi và chỉ khi $\overrightarrow{\mathrm{u}}.\overrightarrow{\mathrm{v}}=0$, trong đó $\overrightarrow{\mathrm{u}}$ ≠ 0, $\overrightarrow{\mathrm{v}}$ ≠ 0, giá của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{u}}$ song song hoặc trùng với đường thẳng a và giá của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{v}}$ song song hoặc trùng với đường thẳng b.

Ví dụ: Cho hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ vuông góc với nhau và $\left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|=1$, $\left|\overrightarrow{\mathrm{b}}\right|=\sqrt{2}$. Chứng minh hai vectơ 2$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ – $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải:

Vì $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ vuông góc với nhau ⟺ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$.$\overrightarrow{\mathrm{b}}$ = 0

Ta có:

$\left(2 \overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{b}}\right)\left(\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}\right)$ = $2{\overrightarrow{\mathrm{a}}}^2+2\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}}-\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}}-{\overrightarrow{\mathrm{b}}}^2$ = $2{\overrightarrow{\mathrm{a}}}^2+\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}}-{\overrightarrow{\mathrm{b}}}^2$ = $2{\left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|}^2+\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}}-{\left|\overrightarrow{\mathrm{b}}\right|}^2$

= 2.1² + 0 – ${\left(\sqrt{2}\right)}^2$ = 0

Vì tích của hai vectơ 2$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ – $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ bằng 0 nên chúng vuông góc với nhau.

B. Bài tập tự luyện

B.1 Bài tập tự luận

Bài 1. Cho đoạn thẳng AB có trung điểm O, điểm M tùy ý khác O, A, B và không thuộc AB, biết 4OM² = AB². Sử dụng các kiến thức về vectơ, chứng minh MA ⊥ MB.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

4OM² = AB² ⟺ (2OM)² = AB²

⇔ ${\left(2\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right)}^2={\overrightarrow{\mathrm{AB}}}^2$

⇔ ${\left(\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}\right)}^2={\left(\overrightarrow{\mathrm{AM}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}\right)}^2$ 

⇔ ${\overrightarrow{\mathrm{MA}}}^2+2\overrightarrow{\mathrm{MA}}.\overrightarrow{\mathrm{MB}}+{\overrightarrow{\mathrm{MB}}}^2={\overrightarrow{\mathrm{AM}}}^2+2\overrightarrow{\mathrm{AM}}.\overrightarrow{\mathrm{MB}}+{\overrightarrow{\mathrm{MB}}}^2$

⇔ ${\left|\overrightarrow{\mathrm{MA}}\right|}^2+2\overrightarrow{\mathrm{MA}}.\overrightarrow{\mathrm{MB}}+{\left|\overrightarrow{\mathrm{MB}}\right|}^2={\left|\overrightarrow{\mathrm{AM}}\right|}^2+2\overrightarrow{\mathrm{AM}}.\overrightarrow{\mathrm{MB}}+{\left|\overrightarrow{\mathrm{MB}}\right|}^2$

⇔ ${\mathrm{MA}}^2+2\overrightarrow{\mathrm{MA}}.\overrightarrow{\mathrm{MB}}+{\mathrm{MB}}^2={\mathrm{AM}}^2+2\overrightarrow{\mathrm{AM}}.\overrightarrow{\mathrm{MB}}+{\mathrm{MB}}^2$

⇔ ${\mathrm{MA}}^2+2\overrightarrow{\mathrm{MA}}.\overrightarrow{\mathrm{MB}}+{\mathrm{MB}}^2={\mathrm{AM}}^2-2\overrightarrow{\mathrm{MA}}.\overrightarrow{\mathrm{MB}}+{\mathrm{MB}}^2$

⇔ $4\overrightarrow{\mathrm{MA}}.\overrightarrow{\mathrm{MB}}=0$

⇔ $\overrightarrow{\mathrm{MA}}.\overrightarrow{\mathrm{MB}}=0$

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{MA}}\perp \overrightarrow{\mathrm{MB}}$ ⇒ MA ⊥ MB (đpcm).

Bài 2. Cho tam giác ABC bất kì có I là trung điểm của AB. Chứng minh đẳng thức:

CA² + CB² = 2CI² + $\frac{{\mathrm{AB}}^2}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

VP = 2CI² + $\frac{{\mathrm{AB}}^2}{2}$

⇔ 2VP = 4CI² + AB²

⇔ 2VP= (2CI)² + AB²

⇔ 2VP =  ${\left(2\overrightarrow{\mathrm{CI}}\right)}^2+{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}^2$

⇔ 2VP = ${\left(\overrightarrow{\mathrm{CA}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}\right)}^2$  

⇔ 2VP = ${\overrightarrow{\mathrm{CA}}}^2+2\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{CB}}+{\overrightarrow{\mathrm{CB}}}^2+{\overrightarrow{\mathrm{AC}}}^2+2\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{CB}}+{\overrightarrow{\mathrm{CB}}}^2$

⇔ 2VP = ${\overrightarrow{\mathrm{CA}}}^2+2\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{CB}}+{\overrightarrow{\mathrm{CB}}}^2+{\overrightarrow{\mathrm{AC}}}^2-2\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{CB}}+{\overrightarrow{\mathrm{CB}}}^2$

⇔ 2VP = $2{\overrightarrow{\mathrm{CA}}}^2+2{\overrightarrow{\mathrm{CB}}}^2$

⇔ 2VP = $2{\mathrm{CA}}^2+2{\mathrm{CB}}^2$= VT

⇒ CA² + CB² = 2CI² + $\frac{{\mathrm{AB}}^2}{2}$(đpcm).

Bài 3. Cho tam giác ABC, biết AB = a, AC = 2a, $\widehat{\mathrm{A}}$= 60°. Sử dụng các kiến thức về vectơ, tính độ dài cạnh BC.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng quy tắc hiệu hai vectơ ta có:

$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}$

⇒ ${\overrightarrow{\mathrm{BC}}}^2={\left(\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right)}^2$= ${\overrightarrow{\mathrm{AC}}}^2-2\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}^2$

Ta có:

${\overrightarrow{\mathrm{AC}}}^2={\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|}^2$= AC² = (2a)² = 4a²

${\overrightarrow{\mathrm{AB}}}^2={\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|}^2$= AB² = a²

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = $\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|.\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|.\cos \left(\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right)$ = AC.AB.cos$\widehat{\mathrm{BAC}}$ = 2a.a.cos60° = 2.a.a.$\frac{1}{2}$ = a²

⇒ ${\overrightarrow{\mathrm{BC}}}^2$= 4a² – 2a² + a² = 3a²

⇒ BC² = ${\left|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right|}^2$ = ${\overrightarrow{\mathrm{BC}}}^2$= 3a²

⇒ BC = $\sqrt{3{\mathrm{a}}^2}$= $\mathrm{a}\sqrt{3}$.

B.2 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ khác vectơ $\overrightarrow{0}$. Xác định góc $\mathrm{\alpha }$ giữa hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ khi $\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}}=-\left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|.\left|\overrightarrow{\mathrm{b}}\right|.$

A. $\mathrm{\alpha }=180°;$       

B. $\mathrm{\alpha }=0°;$           

C. $\mathrm{\alpha }=90°;$         

D. $\mathrm{\alpha }=45°.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}}=\left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|.\left|\overrightarrow{\mathrm{b}}\right|.\cos \left(\overrightarrow{\mathrm{a}},\overrightarrow{\mathrm{b}}\right)$.

Mà theo giả thiết $\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}}=-\left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|.\left|\overrightarrow{\mathrm{b}}\right|$, suy ra $\cos \left(\overrightarrow{\mathrm{a}},\overrightarrow{\mathrm{b}}\right)=-1\Rightarrow \left(\overrightarrow{\mathrm{a}},\overrightarrow{\mathrm{b}}\right)=180°.$ 

Câu 2. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}}.$

A. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}}=2{\mathrm{a}}^2;$

B. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}}=-\frac{{\mathrm{a}}^2\sqrt{3}}{2};$ 

C. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}}=-\frac{{\mathrm{a}}^2}{2};$                          

D. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\frac{{\mathrm{a}}^2}{2}.$ 

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xác định được góc $\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)$ là góc $\widehat{\mathrm{A}}$ nên $\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)=60°$ (do tam giác ABC đều)

Do đó $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\mathrm{AB}.\mathrm{AC}.\cos \left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)=\mathrm{a}.\mathrm{a}.\cos 60°=\frac{{\mathrm{a}}^2}{2}.$ 

Câu 3. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi M là trung điểm cạnh BC Tính $\overrightarrow{\mathrm{AM}}.\overrightarrow{\mathrm{BC}}.$

A. $\overrightarrow{\mathrm{AM}}.\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\frac{{\mathrm{b}}^2-{\mathrm{c}}^2}{2};$                    

B. $\overrightarrow{\mathrm{AM}}.\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\frac{{\mathrm{c}}^2+{\mathrm{b}}^2}{2};$                    

C. $\overrightarrow{\mathrm{AM}}.\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\frac{{\mathrm{c}}^2+{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{a}}^2}{3};$            

D. $\overrightarrow{\mathrm{AM}}.\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\frac{{\mathrm{c}}^2+{\mathrm{b}}^2-{\mathrm{a}}^2}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì M là trung điểm của BC suy ra $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}=2\overrightarrow{\mathrm{AM}}.$

Khi đó $\overrightarrow{\mathrm{AM}}.\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right).\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right).\left(\overrightarrow{\mathrm{BA}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)$ 

$=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right).\left(\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right)=\frac{1}{2}\left({\overrightarrow{\mathrm{AC}}}^2-{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}^2\right)=\frac{1}{2}\left({\mathrm{AC}}^2-{\mathrm{AB}}^2\right)=\frac{{\mathrm{b}}^2-{\mathrm{c}}^2}{2}.$

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài tập cuối chương 4

Lý thuyết Bài 2. Giải tam giác. Tính diện tích tam giác

Lý thuyết Bài 3. Khái niệm vectơ

Lý thuyết Bài 4. Tổng và hiệu của hai vectơ

Lý thuyết Bài 5. Tích của một số với một vectơ