Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Lý thuyết Tổ hợp chi tiết – Toán lớp 10 Cánh diều

    Với lý thuyết Toán lớp 10 Bài 3: Tổ hợp chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Cánh diều sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 10.

    1 2,106 28/10/2022
    Tải về
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Lý thuyết Toán 10 Bài 3: Tổ hợp - Cánh diều

    A. Lý thuyết

    1. Định nghĩa

    Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n.

    Mỗi tập con gồm k phần tử được lấy ra từ n phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đó.

    Ví dụ: Bạn Mai có 4 chiếc váy màu hồng, màu đỏ, màu trắng, màu tím. Mai muốn chọn 3 trong 4 chiếc váy để mang đi du lịch. Hãy viết các tổ hợp 3 của 4 chiếc áo váy đó.

    Hướng dẫn giải

    Các tổ hợp chập 3 của 4 chiếc váy là :

    Hồng – đỏ – trắng ; Hồng – đỏ – tím ; Đỏ – trắng – tím ; Hồng – trắng – tím.

    Vậy ta có 4 tổ hợp chập 3 của 4 chiếc váy là : Hồng – đỏ – trắng ; Hồng – đỏ – tím ; Đỏ – trắng – tím ; Hồng – trắng – tím.

    2. Số các tổ hợp

    Nhận xét : Một tổ hợp chập k của n phần tử nhiều gấp k! lần số tổ hợp chập k của n phần tử đó.

    Kí hiệu là Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử với (1 ≤ k ≤ n). Ta có : Cnk=Ankk!

    Quy ước 0! = 1 ; Cn0=1.

    Với những quy ước trên, ta có công thức sau: Cnk=n!(n−k)!k! (với 0 ≤ k ≤ n).

    Ví dụ: Một tổ có 8 người, bạn tổ trưởng muốn cử ra 4 bạn đi tập văn nghệ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

    Hướng dẫn giải

    Mỗi cách chọn 4 bạn trong 8 bạn đi trực nhật là một tổ hợp chập 4 của 8.

    Ta có C84=8!(8−4)!4!=70.

    Vậy có 70 cách chọn 4 trong 8 bạn đi tập văn nghệ.

    3. Tính chất của các số Cnk 

    Ta có hai đẳng thức sau : Cnk=Cnn−k (0 ≤ k ≤ n) và Cn−1k−1+Cn−1k=Cnk (1 ≤ k < n).

    Ví dụ: Ta có : C106=C1010−6=210 ; C10−16−1+C10−16=C106=210.

    B. Bài tập tự luyện

    B.1 Bài tập tự luận

    Bài 1. Một túi có 7 quả bóng xanh, 3 quả bóng vàng và 14 quả bóng đỏ. Lấy ngẫu nhiên ba quả bóng trong túi. Hỏi có bao nhiêu cách để lấy 3 quả bóng từ trong túi sao cho 3 quả bóng cùng màu.

    Hướng dẫn giải

    Để lấy 3 quả bóng cùng màu thì ta thực hiện một trong ba hành động sau:

     –  Lấy 3 quả bóng màu xanh trong 7 quả bóng xanh, ta có C73 = 35 cách lấy.

     –  Lấy 3 quả bóng màu vàng trong 3 quả bóng vàng, ta có C33 = 1 cách lấy.

     –  Lấy 3 quả bóng màu đỏ trong 14 quả bóng đỏ, ta có C143 = 364 cách lấy.

    Theo quy tắc cộng, ta có 35 + 1 + 364 = 400 cách để lấy được 3 quả bóng cùng màu.

    Vậy có 400 cách để lấy được 3 quả bóng cùng màu.

    Bài 2. Tính C3019+C3020−C3120 .

    Hướng dẫn giải

    Ta có C3019+C3020=C3120 nên C3019+C3020−C3120 = C3120−C3120 = 0.

    Bài 3. Bác Dũng có 8 người bạn. Bác Dũng muốn mời 4 trong 8 người bạn đó đi câu cá vào cuối tuần. Nhưng trong 8 người bạn đó, có 2 người bạn không thích câu cá nên không đi. Vậy số cách chọn nhóm 4 người để đi câu cùng bác Dũng là bao nhiêu?

    Hướng dẫn giải

    Bác Dũng có 8 người bạn nhưng có hai người không đi nên số người có thể đi câu cùng bác Dũng là 8 – 2 = 6 người.

    Khi đó, bác Dũng chọn 4 người trong 6 người để đi câu cùng thì số cách chọn là tổ hợp chập 4 của 6 người bạn.

    Ta có C64 = 15.

    ⇒ Bác Dũng có 15 cách để lựa chọn 4 người bạn trong 6 người bạn đi câu cá cùng.

    Vậy bác Dũng có 15 cách để lựa chọn 4 người bạn đi câu cá cùng.

    B.2 Bài tập trắc nghiệm 

    Câu 1. Từ 6 điểm phân biệt thuộc đường thẳng ∆ và một điểm không thuộc đường thẳng ∆ ta có thể tạo được tất cả bao nhiêu tam giác?

    A. 210;

    B. 30;

    C. 15;

    D. 35;

    Hướng dẫn giải

    Đáp án đúng là: C

    Ta lấy 2 điểm trong 6 điểm trên đường thẳng ∆ kết hợp với 1 điểm không thuộc ∆ tạo ra một tam giác, có C62=15 cách lấy ra 2 điểm thuộc ∆

    Vậy số tam giác được lập theo yêu cầu bài toán là: 15 tam giác.

    Câu 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của n thỏa mãn An2−3Cn2=15−5n.

    A. 0;

    B. 1;

    C. 2;

    D. 3.

    Hướng dẫn giải

    Đáp án đúng là: C

    Điều kiện n ≥ 2; n ∈ ℕ.

    An2−3Cn2=15−5n⇔n!n−2!−3.n!n−2!2!=15−5n 

    ⇔n−1n−3n−1n2=15−5n

    ⇔ – n2 + 11n – 30 = 0

    ⇔ n = 5 hoặc n = 6.

    Vậy có 2 giá trị của n thoả mãn.

    Câu 3. Trong hộp có 5 quả cầu đỏ và 7 quả cầu xanh kích thước giống nhau. Lấy ngẫu nhiên 5 quả cầu từ hộp. Hỏi có bao nhiêu khả năng lấy được số quả cầu đỏ nhiều hơn số quả cầu xanh.

    A. 245;

    B. 3 480;

    C. 246;

    D. 3 360.

    Hướng dẫn giải

    Đáp án đúng là: C

    Vì lấy quả cầu đỏ nhiều hơn quả cầu xanh nên ta có các trường hợp sau

    Trường hợp 1. Lấy được 3 quả cầu đỏ, 2 quả cầu xanh: số cách lấy là C53.C72 = 210

    Trường hợp 2. Lấy được 4 quả cầu đỏ, 1 quả cầu xanh: số cách lấy làC54.C71 = 35

    Trường hợp 3. Lấy được 5 quả cầu đỏ, 0 quả cầu xanh: số cách lấy là C55.C70 = 1

    Áp dụng quy tắc cộng ta có số cách lấy là: 210 + 35 + 1 = 246.

    Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

    Tham khảo các loạt bài Toán 10 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 2,106 28/10/2022
    Tải về
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: