Lý thuyết Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ chi tiết – Toán lớp 10 Cánh diều

Lý thuyết Toán 10 Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ - Cánh diều

A. Lý thuyết

I. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ

Nếu $\overrightarrow{u}$ = (x₁ ; y₁) và $\overrightarrow{v}$ = (x₂ ; y₂) thì

$\overrightarrow{u}$ + $\overrightarrow{v}$ = ( x₁ + x₂ ; y₁ + y₂);

$\overrightarrow{u}$ – $\overrightarrow{v}$ = ( x₁ – x₂ ; y₁ – y₂);

k$\overrightarrow{u}$ = (kx₁; ky₁) với k ∈ ℝ.

Ví dụ: Cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ = (– 5 ; 1) và $\overrightarrow{v}$ = (2 ; –3). Tìm tọa độ của mỗi vectơ sau:

a) $\overrightarrow{u}$ + $\overrightarrow{v}$;

b) $\overrightarrow{u}$ – $\overrightarrow{v}$;

c) –2$\overrightarrow{v}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\overrightarrow{u}$ + $\overrightarrow{v}$ = (–5 + 2 ; 1 + (–3)) = (–3 ; –2).

Vậy $\overrightarrow{u}$ + $\overrightarrow{v}$ = (–3 ; –2).

b) Ta có $\overrightarrow{u}$ – $\overrightarrow{v}$ = (–5 – 2 ; 1 – (–3)) = (–7 ; 4).

Vậy $\overrightarrow{u}$ – $\overrightarrow{v}$ = (–7 ; 4).

c) Ta có –2$\overrightarrow{v}$= (–2.2 ; –2.(–3)) = (–4 ; 6).

Vậy –2$\overrightarrow{v}$= (–4 ; 6).

Nhận xét: Hai vectơ $\overrightarrow{u}$ = (x₁ ; y₁), $\overrightarrow{v}$ = (x₂ ; y₂) ($\overrightarrow{u}$ ≠ $\overrightarrow{v}$) cùng phương khi và chỉ khi có một số thực k sao cho x₁ = kx₂ và y₁ = ky₂.

Ví dụ: Hai vectơ $\overrightarrow{u}$= (–1 ; 2) và $\overrightarrow{v}$ = (4 ; –8) có cùng phương hay không?

Hướng dẫn giải

Ta thấy 4 = –4.(–1) và –8 = –4.2

Do đó hai vectơ $\overrightarrow{u}$ = (–1 ; 2) và $\overrightarrow{v}$ = (4 ; –8) cùng phương với nhau.

Vậy hai vectơ $\overrightarrow{u}$ = (–1 ; 2) và $\overrightarrow{v}$ = (4 ; –8) cùng phương.

II. Tọa độ trung điểm đoạn thẳng và tọa độ trọng tâm tam giác

– Cho hai điểm A(x_A; y_A) và B(x_B; y_B). Nếu M(x_M; y_M) là trung điểm của đoạn thẳng AB thì

$x_M=\frac{x_A+x_B}{2}$ ; $y_M=\frac{y_A+y_B}{2}$.

– Cho tam giác ABC có A(x_A ; y_A), B(x_B ; y_B), C(x_C ; y_C). Nếu G(x_G ; y_G) là trọng tâm của tam giác ABC thì

$x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}$; $y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}$.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có A(0 ; 3), B(–1 ; –4), C(4 ; –2). Hãy tìm tọa độ trung điểm I của cạnh BC và trọng tâm G của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Gọi tọa độ trung điểm I của cạnh BC và trọng tâm G của tam giác ABC lần lượt là  (x_I ; y_I) và (x_G ; y_G).

Khi đó, vì I là trung điểm của BC nên ta có:

$x_I=\frac{x_B+x_C}{2}=\frac{-1+4}{2}=\frac{3}{2}$; $y_I=\frac{y_B+y_C}{2}=\frac{(-4)+(-2)}{2}=-3$.

Suy ra $I\left(\frac{3}{2};-3\right)$.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

$x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{0+(-1)+4}{3}=1$; $y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{3+(-4)+(-2)}{3}=-1$.

Suy ra G(1 ; –1).

Vậy $I\left(\frac{3}{2};-3\right)$ và G(1 ; –1).

III. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Nếu $\overrightarrow{u}$ = (x₁; y₁) và $\overrightarrow{u}$ = (x₂; y₂) thì $\overrightarrow{u}$.$\overrightarrow{v}$= x₁x₂ + y₁y₂.

Nhận xét:

a) Nếu $\overrightarrow{a}$ = (x; y) thì $\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}}=\sqrt{x^2+y^2}$.

b) Nếu A(x₁; y₁) và B(x₂; y₂) thì AB = $\left|\overrightarrow{AB}\right|$ = $\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$.

c) Với hai vectơ $\overrightarrow{u}$ = (x₁; y₁) và $\overrightarrow{v}$ = (x₂; y₂) đều khác $\overrightarrow{0}$, ta có:

+  $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi x₁x₂ + y₁y₂ = 0.

+ cos($\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$) = $\frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|}$ = $\frac{x_1.x_2+y_1{y}_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}.\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$.

Ví dụ: Cho hai vectơ  = (3 ; –5) và  = (5 ; 3).

a) Tính ;

b) Tính .;

c) Tính góc giữa hai vectơ  và

Hướng dẫn giải

a) Ta có  =   = .

Vậy  = .

b) Ta có .= 3.5 + (–5).3 = 0.

Vậy . = 0.

c) Ta có cos(, ) =  =  =  = 0.

Suy ra (, ) = 90°.

Vậy  và  vuông góc với nhau.

B. Bài tập tự luyện

B.1 Bài tập tự luận

Bài 1.  = (2 ; –2) và  = (3 ; 5)

a) Tìm tọa độ của vectơ  =  + .

b) Tìm tọa độ của vectơ  = –3  – .

Hướng dẫn giải

a) Ta có  =  + = (2 + 3; –2 + 5) = (5 ; 3).

Vậy  =  + = (5; 3).

b) Ta có  = –3  –  = (–3.2 – 3; –3.(–2) – 5) = (–9; 1).

Vậy  = –3  – = (–9; 1).

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(0; 4), B(–1; 3), C(–5; 2).

a) Tìm tọa độ trung điểm I của đọan thẳng AB.

b) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

 a) Gọi tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là  (x_I; y_I).

Khi đó, vì I là trung điểm của AB nên ta có:

; .

Suy ra .

Vậy .

b) Để chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng ta chứng minh  và  không cùng phương.

Ta có  = (–1 – 0 ; 3 – 4) = (–1 ; –1)

= (–5 – 0 ; 2 – 4) = (–5 ; –2)

Ta thấy  nên  và  không cùng phương

Suy ra ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

c) Gọi tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC lần lượt là (x_G ; y_G).

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

; .

Suy ra G(–2 ; 3).

Vậy G(–2 ; 3).

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; –3), C(0; 4).

a) Tính . 

b) Giải tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

a) Ta có  = (–2 – 1 ; –3 – 2) = (–3 ; –5)

 = (0 – 1 ; 4 – 2) = (–1 ; 2)

Khi đó . = –3.(–1) + (–5). 2 = –7.

Vậy . = –7.

b) Ta có  = (–3; –5) ⇒ AB =  =  = .

 = (–1; 2) ⇒ AC =  =  = .

 = (0 – (–2) ; 4 – (–3)) = (2; 7) ⇒ BC =  =  = .

cos(.) = = =

Suy ra (.) ≈  122°28’

⇒  ≈ 122°28’.

Ta có  = (1 – (–2) ; 2 – (–3)) = (3; 5).

cos(, ) = =  =

Suy ra (, ) ≈ 15°1’

⇒  ≈ 15°1’.

Mặt khác  = 180° – (+) = 42°31’.

Vậy tam giác ABC có AB = ; AC = ; BC = ;  ≈ 122°28’;  ≈ 15°1’;  = 42°31’.

B.2 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho = (– 1; 2),  =  (5; – 7).  Tìm tọa độ của vectơ .

A. (4; – 5);          

B. (3; – 3);          

C. (6; 9) ;

D. (– 5; – 14).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là : B

Ta có: 2= 2(–1; 2) = (–2; 4)

2 = (– 2 + 5); 4 – 7) = (3; – 3).

Câu 2. Trong hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A (2; –3), I(4; 7). Biết I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tìm tọa độ điểm B.

A. I (6; 4);          

B. I (2; 10);         

C. I (6; 17);         

D. I (8; – 21).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là : C

Gọi điểm B có tọa độ (x_B ; y_B)

Vì I là trung điểm của AB nên ta có :

  ⇒ B(6; 17).

Câu 3. Trong hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A (– 2 + x ; 2), B (3 ; 5 + 2y), C(x ; 3 – y). Tìm tổng 2x + y với x, y để O(0 ; 0) là trọng tâm tam giác ABC?

A. – 7;

B. – 2 ;

C. – 11; 

D. .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì O là trọng tâm tam giác ABC nên, ta có:

  

.