Lý thuyết Nhị thức Newton chi tiết – Toán lớp 10 Cánh diều

Lý thuyết Toán 10 Bài 4: Nhị thức Newton - Cánh diều

A. Lý thuyết

Công thức nhị thức Newton (a + b)ⁿ ứng với n = 4 ; n = 5 :

• (a + b)⁴ = $C_4^0$a⁴ + $C_4^1$a³b + $C_4^2$a²b² + $C_4^3$ab³ + $C_4^4$b⁴

     = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴.

• (a + b)⁵ = $C_5^0$a⁵ + $C_5^1$a⁴b + $C_5^2$a³b² + $C_5^3$a²b³ + $C_5^4$ab⁴ + $C_5^5$b⁵

 = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵.

Ví dụ:

a) Khai triển (2 + x)⁴ ;

b) Khai triển (x – 3)⁵.

Hướng dẫn giải

a) Ta có :

(2 + x)⁴ = $C_4^0$2⁴ + $C_4^1$2³.x + $C_4^2$2²x² + $C_4^3$2.x³ + $C_4^4$x⁴

= 2⁴ + 4.2³x + 6.2².x² + 4.2.x³ + x⁴

= 16 + 32x + 24x² + 8x³ + x⁴.

Vậy (2 + x)⁴ = 16 + 32x + 24x² + 8x³ + x⁴.

b) Ta có : 

(x – 3)⁵ = $C_5^0$x⁵ + $C_5^1$x⁴.(–3) + $C_5^2$x³.(–3)² + $C_5^3$x².(–3)³ + $C_5^4$x.(–3)⁴ + $C_5^5$(–3)⁵

= x⁵ + 5x⁴.(–3) + 10x³.(–3)² + 10x².(–3)³ + 5x.(–3)⁴ + (–3)⁵

= x⁵ – 15x⁴ + 90x³ – 270x² + 405x – 243.

Vậy (x – 3)⁵ = x⁵ – 15x⁴ + 90x³ – 270x² + 405x – 243.

B. Bài tập tự luyện

B.1 Bài tập tự luận

Bài 1. Cho tập hợp E có 4 phần tử. Tính số tập con của E.

Hướng dẫn giải

Số tập hợp con của E có 0 phần tử là: $C_4^0$;

Số tập hợp con của E có 1 phần tử là: $C_4^1$;

Số tập hợp con của E có 2 phần tử là: $C_4^2$;

Số tập hợp con của E có 2 phần tử là: $C_4^3$;

Số tập hợp con của E có 6 phần tử là: $C_4^4$.

Khi đó số tập hợp con của E là : $C_4^0$ + $C_4^1$ + $C_4^2$ + $C_4^3$ + $C_4^4$.

Mặt khác, ta có:  (1 + 1)⁴ =  $C_4^0$ + $C_4^1$ + $C_4^2$ + $C_4^3$ + $C_4^4$

⇒ = 2⁴ = 16.

Vậy tập hợp E có 16 tập con.

Bài 2. Khai triển các đa thức sau :

a) (2x – 3)⁴ ;

b) (x + 5)⁵ + (x – 5)⁵.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: (2x – 3)⁴ 

= (2x)⁴ + 4(2x)³.(–3) + 6(2x)².(–3)² + 4.2x.(–3)³ + (–3)⁴.

= 16x⁴ – 96x³ + 216x² – 216x + 81.

Vậy: (2x – 3)⁴ = 16x⁴ – 96x³ + 216x² – 216x + 81.

b) Ta có:

(x + 5)⁵ + (x – 5)⁵

= [x⁵ + 5x⁴.5 + 10.x³.5² + 10.x².5³ + 5.x.5⁴ + 5⁵] + [x⁵ + 5x⁴.(–5) + 10.x³.(–5)² + 10.x².(–5)³ + 5.x.(–5)⁴ + (–5)⁵]

= [x⁵ + 25x⁴ + 250x³ + 1250x² + 3125x + 3125] + [x⁵ – 25x⁴ + 250x³ – 1250x² + 3125x – 3125]

= x⁵ + 25x⁴ + 250x³ + 1250x² + 3125x + 3125 + x⁵ – 25x⁴ + 250x³ – 1250x² + 3125x – 3125

= 2x⁵ + 500x³ + 6250x.

Vậy (x + 5)⁵ + (x – 5)⁵ = 2x⁵ + 500x³ + 6250x.

Bài 3. Xác định hệ số của x³ trong khai triển của biểu thức (3x – 2)⁴.

Hướng dẫn giải

Áp dụng hệ thức Newton ta có :

(3x – 2)⁴ = $C_4^0$(3x)⁴ + $C_4^1$(3x)³.(–2) + $C_4^2$(3x)².(–2)² + $C_4^3$(3x).(–2)³ + $C_4^4$(–2)⁴

= (3x)⁴ + 4(3x)³(–2) + 6(3x)²(–2)² + 4(3x)(–2)³ + (–2)⁴

= 3⁴x⁴ + 4.3³x³.(–2) + 6.3².x².(–2)² + 4.3x.(–2)³ + (–2)⁴

⇒ Hệ số của x³ là 4.3³.(–2) =  – 216.

Vậy hệ số của x³ trong khai triển (3x – 2)⁴  là  – 216.

B.2 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Tổng hệ số của x³ và x² trong khai triển (1 + 2x)⁴ là :

A. 24;

B. 44;

C. 20;

D. 54.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 5a²b² + 4ab³ + b⁴.

Do đó (1 + 2x)⁴ = 1⁴ + 4.1³.(2x) + 5.1².(2x)² + 4.1.(2x)³ + (2x)⁴

= 1 + 8x + 20x² + 24x³ + 16x⁴

Suy ra hệ số của x³ là 24 và hệ số của x² là 20.

Khi đó ta có tổng hai hệ số bằng 24  + 20 = 44.

Câu 2. Hệ số của x² trong khai triển (2 – 3x)³ là k. Nhận xét nào sau đây đúng về k ? 

A. k là một số tự nhiên;

B. k là một số nguyên âm;

C. k là một số nguyên dương;

D. k = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: (2x – 3)³

= (2x)³ + 2.(2x)².(– 3) + 2.(2x).(– 3)² + (– 3)³

= 8x³ – 24x² + 36x – 27.

Hệ số của x² là k = – 24.

Vậy k là một số nguyên âm.

Câu 3. Tính giá trị biểu thức $T=C_4^0+\frac{1}{2}{C}_4^1+\frac{1}{4}{C}_4^2+\frac{1}{8}{C}_4^3+\frac{1}{16}{C}_4^4$.

A. $\frac{3}{2}$;

B. $\frac{9}{16}$;

C. $\frac{81}{16}$;

D. $\frac{27}{16}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$T=C_4^0+\frac{1}{2}{C}_4^1+\frac{1}{4}{C}_4^2+\frac{1}{8}{C}_4^3+\frac{1}{16}{C}_4^4$

$=C_4^0{.1}^4.{\left(\frac{1}{2}\right)}^0+C_4^1{.1}^3.{\left(\frac{1}{2}\right)}^1+C_4^2{.1}^2.{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+C_4^3\mathrm{.1.}{\left(\frac{1}{2}\right)}^3+C_4^4.{\left(\frac{1}{2}\right)}^4$

$={\left(1+\frac{1}{2}\right)}^4=\frac{81}{16}$