Lý thuyết Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai – Toán 10 Cánh diều

Lý thuyết Toán 10 Bài 5. Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai – Cánh diều

A. Lý thuyết

I. Giải phương trình có dạng $\sqrt{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}=\sqrt{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}$ (I)

(f(x) = ax² + bx + c và g(x) = mx² + nx + p với a ≠ m)

Để giải phương trình (I) ta làm như sau:

Bước 1: Bình phương hai vế của (I) dẫn đến phương trình f(x) = g(x) rồi tìm nghiệm của phương trình này

Bước 2: Thay từng nghiệm của phương trình f(x) = g(x) vào bất phương trình

f(x)  ≥ 0 hoặc g(x) ≥ 0. Nghiệm nào thoả mãn bất phương trình đó thì giữ lại, nghiệm nào không thoả mãn thì loại đi.

Bước 3: Trên cơ sở những nghiệm giữ lại ở Bước 2, ta kết luận nghiệm của phương trình (I)

Chú ý:

– Trong hai bất phương trình f(x)  ≥ 0 và g(x) ≥ 0 ta thường chọn bất phương trình dạng đơn giản để thực hiện bước 2.

– Người ta chứng minh được rằng tập hợp (số thực) giữ lại ở Bước 2 chính là tập nghiệm của phương trình (I).

Ví dụ: Giải phương trình $\sqrt{{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+2}=\sqrt{\mathrm{x}-2}$ (1)

Hướng dẫn giải

Bình phương hai vế của phương trình ta được: ${\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+2$ = x – 2 (2)

Ta có: (2) ⇔ ${\mathrm{x}}^2$– 4x + 4 = ${(\mathrm{x}-2)}^2$= 0

Do đó, phương trình (2) có nghiệm là x = 2.

Thay lần giá trị trên vào bất phương trình x – 2 ≥ 0, ta thấy x = 2 thoả mãn bất phương trình

Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 2.

II. Giải phương trình có dạng $\sqrt{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}=\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)$ (II)

(f(x) = a${\mathrm{x}}^2$+ bx + c và g(x) = dx + e với a ≠ ${\mathrm{d}}^2$)

Để giải phương trình (II), ta làm như sau:

Bước 1: Giải bất phương trình g(x)  ≥ 0 để tìm tập nghiệm của bất phương trình đó

Bước 2: Bình phương hai vế của phương trình dẫn đến phương trình f(x) = ${\left[\mathrm{g}\right(\mathrm{x}\left)\right]}^2$ rồi tìm tập nghiệm của phương trình đó.

Bước 3: Trong những nghiệm của phương trình f(x) = ${\left[\mathrm{g}\right(\mathrm{x}\left)\right]}^2$, ta chỉ giữ lại những nghiệm thuộc tập nghiệm của bất phương trình g(x) ≥ 0. Tập nghiệm giữ lại đó chính là tập nghiệm của phương trình (II).

Ví dụ: Giải phương trình $\sqrt{{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+3}$= x – 1

Hướng dẫn giải

Ta có: x – 1 ≥ 0 ⇔ x  ≥ 1

Bình phương hai vế của phương trình, ta được: ${\mathrm{x}}^2$ – 4x + 3 = ${(\mathrm{x}-1)}^2$

⇔ x² – 4x + 3 = x² – 2x + 1 ⇔ – 2x + 2 = 0.

Phương trình có hai nghiệm là x = 1, giá trị x = 1 là thoả mãn x ≥ 1

Vậy phương trình có nghiệm là x = 1.

B. Bài tập tự luyện

B.1 Bài tập tự luận

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{4{\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}-6}=\sqrt{{\mathrm{x}}^2-6}$;

b) $\sqrt{-{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}-2}=2-\mathrm{x}$.

Hướng dẫn giải

a) Bình phương hai vế của phương trình ta được: 4${\mathrm{x}}^2$– 6x – 6 = ${\mathrm{x}}^2$ – 6

⇔ 3x² – 6x = 0 ⇔ $\left[\begin{array}{l}\mathrm{x}=0\\ \mathrm{x}=2\end{array}\right.$. Thay các giá trị tìm được vào bất phương trình ${\mathrm{x}}^2$– 6 ≥ 0 thì thấy chỉ có nghiệm x = 2 thoả mãn. Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2}.

b) Ta có: 2 – x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

–x² + 4x – 2 = (2 – x)² ⇔ – x² + 4x – 2 = x² – 4x + 4 ⇔ 2x² – 8x + 6 = 0 ⇔$\left[\begin{array}{l}\mathrm{x}=1\\ \mathrm{x}=3\end{array}\right.$

Đối chiếu với điều kiện x ≤ 2, ta thấy x = 3 không thoả mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1}.

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{2-\mathrm{x}}$ + 2x = 3;

b) $\sqrt{-{\mathrm{x}}^2+7\mathrm{x}-6}+\mathrm{x}=4$.

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt{2-\mathrm{x}}$ + 2x = 3 ⇔$\sqrt{2-\mathrm{x}}$= 3 – 2x

Ta có: 3 – 2x  ≥ 0 ⇔ x ≤ $\frac{3}{2}$. Bình phương hai vế của phương trình ta được:

2 – x = ${(3-2\mathrm{x})}^2$⇔ 2 – x = 9 – 12x + 4${\mathrm{x}}^2$⇔ 4${\mathrm{x}}^2$– 11x + 7 = 0 ⇔$\left[\begin{array}{l}\mathrm{x}=1\\ \mathrm{x}=\frac{7}{4}\end{array}\right.$

Đối chiếu với điều kiện, ta thấy chỉ có giá trị x = 1 thoả mãn.

Vậy tập nghiệm S = {1}.

b)

$\sqrt{-{\mathrm{x}}^2+7\mathrm{x}-6}+\mathrm{x}=4$⇔$\sqrt{-{\mathrm{x}}^2+7\mathrm{x}-6}$= 4 – x. Ta có: 4 – x  ≥ 0 ⇔ x ≤ 4.

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

$-{\mathrm{x}}^2+7\mathrm{x}-6$ = ${(4-\mathrm{x})}^2$⇔$-{\mathrm{x}}^2+7\mathrm{x}-6$ = 16 – 8x + ${\mathrm{x}}^2$ ⇔ 2${\mathrm{x}}^2$– 15x + 22 = 0

⇔$\left[\begin{array}{l}\mathrm{x}=2\\ \mathrm{x}=\frac{11}{2}\end{array}\right.$.

Đối chiếu với điều kiện ta thấy chỉ có nghiệm x = 2 thoả mãn.

Vậy tập nghiệm S = {2}.

Bài 3. Giải phương trình $\sqrt{{\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+4}=\sqrt{-2{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+12}$.

Hướng dẫn giải

$\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+4\ge 0\\ {\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+4=-2{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+12\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left(\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}-4\right)\ge 0\\ 3{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-8=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}\mathrm{x}\le 1\\ \mathrm{x}\ge 4\end{array}\right.\\ \left[\begin{array}{l}\mathrm{x}=2\\ \mathrm{x}=\frac{-8}{6}\end{array}\right.\end{array}\right.\Rightarrow \mathrm{x}=\frac{-8}{6}$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = $\left\{\frac{-8}{6}\right\}$.

Bài 4. Giải phương trình $\sqrt{3{\mathrm{x}}^2-9\mathrm{x}+1}=\mathrm{x}-2$.

Hướng dẫn giải

$\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-2\ge 0\\ 3{\mathrm{x}}^2-9\mathrm{x}+1={\left(\mathrm{x}-2\right)}^2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\ge 2\\ 3{\mathrm{x}}^2-9\mathrm{x}+1={\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+4\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\ge 2\\ 2{\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}-3=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\ge 2\\ \left(\mathrm{x}-3\right)\left(2\mathrm{x}+1\right)=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\ge 2\\ \left[\begin{array}{l}\mathrm{x}=3\left(\mathrm{tm}\right)\\ \mathrm{x}=\frac{-1}{2}\left(\mathrm{ktm}\right)\end{array}\right.\end{array}\right.$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = {3}.

B.2 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Nghiệm của phương trình $\sqrt{3\mathrm{x}-4}=\sqrt{4-3\mathrm{x}}$ là đáp án nào trong số các đáp án sau đây?

A. x = 1;

B. x = 2;

C. x = 3;

D. x = $\frac{4}{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}3\mathrm{x}-4\ge 0\\ 4-3\mathrm{x}\ge 0\end{array}\right.$$\iff$$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\ge \frac{4}{3}\\ \mathrm{x}\le \frac{4}{3}\end{array}\right.$$\iff$x = $\frac{4}{3}$

Bình phương hai vế của phương trình ta có: 3x – 4 = 4 – 3x ⇔ 6x = 8 ⇔ x = $\frac{4}{3}$.

Đối chiếu với điều kiện bài toán và thử lại kết quả suy ra phương trình có nghiệm

x = $\frac{4}{3}$.

Câu 2. Nghiệm của phương trình $\sqrt{-10\mathrm{x}+10}=\mathrm{x}-1$ là:

A. x = – 12;        

B. x = – 6;          

C. x = 1;             

D. x = 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}-10\mathrm{x}+10\ge 0\\ \mathrm{x}-1\ge 0\end{array}\right.$$\iff$$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\le 1\\ \mathrm{x}\ge 1\end{array}\right.$$\iff$x = 1

Khi đó phương trình có thể viết lại như sau: $-10\mathrm{x}+10={(\mathrm{x}-1)}^2$

$\iff$$-10\mathrm{x}+10={\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+1$$\iff$${\mathrm{x}}^2+8\mathrm{x}-9$ = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{x}=1\\ \mathrm{x}=-9\end{array}\right.$.

Kết hợp với điều kiện bài toán và thử lại kết quả ta thấy x = 1 là nghiệm của phương trình.

Câu 3. Tổng các nghiệm của phương trình $\left(\mathrm{x}-2\right)\sqrt{2\mathrm{x}+7}={\mathrm{x}}^2-4$bằng:

A. 0;  

B. 1;  

C. 2;  

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Điều kiện xác định của phương trình $2\mathrm{x}+7\ge 0\iff \mathrm{x}\ge -\frac{7}{2}.$ 

Ta có: $\left(\mathrm{x}-2\right)\sqrt{2\mathrm{x}+7}={\mathrm{x}}^2-4\iff \left(\mathrm{x}-2\right)\sqrt{2\mathrm{x}+7}=\left(\mathrm{x}-2\right)\left(\mathrm{x}+2\right)$

$\iff \left(\mathrm{x}-2\right)\left[\sqrt{2\mathrm{x}+7}-\left(\mathrm{x}+2\right)\right]=0\iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{x}-2=0\\ \sqrt{2\mathrm{x}+7}-\left(\mathrm{x}+2\right)=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{x}=2\\ \sqrt{2\mathrm{x}+7}=\mathrm{x}+2\left(1\right)\end{array}\right.$

Giải phương trình

    $\left(1\right):\sqrt{2\mathrm{x}+7}=\mathrm{x}+2\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\ge -2\\ 2\mathrm{x}+7={\left(\mathrm{x}+2\right)}^2\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\ge -2\\ 2\mathrm{x}+7={(\mathrm{x}+2)}^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\ge -2\\ 2\mathrm{x}+7={\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}+4\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\ge -2\\ {\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}-3=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\ge -2\\ \left[\begin{array}{l}\mathrm{x}=1\\ \mathrm{x}=-3\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \mathrm{x}=1.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1, x = 2 nên tổng hai nghiệm của phương trình là 1 + 2 = 3.

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài tập cuối chương 3

Lý thuyết Bài 1. Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°. Định lí côsin và định lí sin trong tam giác

Lý thuyết Bài 2. Giải tam giác. Tính diện tích tam giác

Lý thuyết Bài 3. Khái niệm vectơ

Lý thuyết Bài 4. Tổng và hiệu của hai vectơ