Lý thuyết Bất phương trình bậc nhất hai ẩn – Toán 10 Cánh diều

Lý thuyết Toán 10 Bài 1: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn - Cánh diều

A. Lý thuyết

1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

• Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là bất phương trình có một trong các dạng sau:

ax + by < c;          ax + by > c

ax + by ≤ c;           ax + by ≥ c

trong đó:    

x, y là các ẩn,

a, b, c là các số thực cho trước với a, b không đồng thời bằng 0.

Ví dụ:

+) $\frac{5}{3}x+\sqrt{2}y<5$ có dạng bất phương trình bậc nhất hai ẩn x và y với $a=\frac{5}{3}$, $b=\sqrt{2}$ và c = 5.

+ $3x-\frac{5}{y}\ge 2$ không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn, vì không có dạng bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

• Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by < c (*).

Mỗi cặp số (x₀ ; y₀) sao cho ax₀ + by₀ < c gọi là một nghiệm của bất phương trình (*).

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tập hợp tất cả các điểm có toạ độ là nghiệm của bất phương trình (*) được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.

Nghiệm và miền nghiệm của các bất phương trình dạng ax + by > c; ax + by ≤ c và ax + by ≥ c được định nghĩa tương tự.

Ví dụ: Xét bất phương trình 2x + y ≤ 3:

+ (1 ; 1) là một nghiệm của bất phương trình vì 2 . 1 + 1 = 3 ≤ 3 là mệnh đề đúng.

+ (–2 ; 10) không là nghiệm của bất phương trình vì 2 . (–2) + 10 = 6 ≤ 3 là mệnh đề sai.

+ (2 ; –5) là nghiệm của bất phương trình vì 2 . 2 – 5 = –1 ≤ 3 là mệnh đề đúng.

2. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

• Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, đường thẳng d: ax + by = c chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Một trong hai nửa mặt phẳng (không kể d) là miền nghiệm của bất phương trình ax + by < c, nửa mặt phẳng còn lại (không kể d) là miền nghiệm của bất phương trình ax + by > c.

Chú ý: Đối với bất phương trình dạng ax + by ≤ c hoặc ax + by ≥ c thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả đường thẳng d.

Ví dụ: Đường thẳng d: 2x – 3y = 6 chia mặt phẳng Oxy thành hai nửa mặt phẳng như hình dưới. Hỏi nửa mặt không bị gạch (không kể đường thẳng d) là miền nghiệm của bất phương trình nào?

Hướng dẫn giải:

Lấy một giá trị nằm trong nửa mặt phẳng không bị gạch, ví dụ điểm M(3 ; –1). Thay toạ độ điểm M vào vế trái phương trình đường thẳng d, ta thấy:

2x_M – 3y_M = 2 . 3 – 3 . (–1) = 9 > 6

Như vậy, M là một nghiệm của bất phương trình 2x – 3y > 6, miền không bị gạch (không kể d) là miền nghiệm của bất phương trình 2x – 3y > 6.

Vậy miền không bị gạch (không kể đường thẳng d) là miền nghiệm của bất phương trình 2x – 3y > 6.

• Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

Bước 1. Vẽ đường thẳng d: ax + by = c. Đường thẳng d chia mặt phẳng toạ độ thành hai nửa mặt phẳng.

Bước 2. Lấy một điểm M(x₀; y₀) không nằm trên d (thường lấy gốc toạ độ O nếu c ≠ 0). Tính ax₀ + by₀ và so sánh với c.

Bước 3. Kết luận:

+)  Nếu ax₀ + by₀ < c thì nửa mặt phẳng chứa điểm M (không kể d) là miền nghiệm của bất phương trình ax + by < c.

+) Nếu ax₀ + by₀ > c thì nửa mặt phẳng chứa điểm M (không kể d) là miền nghiệm của bất phương trình ax + by > c.

Ví dụ: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình x + 3y < 3 và x + 3y ≤ 3.

+ Vẽ đường thẳng d: x + 3y = 3

+ Lấy điểm O(0; 0). Ta có: 0 + 3 . 0 = 0 < 3.

+ Vậy:

Miền nghiệm của bất phương trình x + 3y < 3 là nửa mặt phẳng chứa điểm O không kể đường thẳng d.

Miền nghiệm của bất phương trình x + 3y ≤ 3 là nửa mặt phẳng chứa điểm O gồm cả đường thẳng d.

B. Bài tập tự luyện

B.1 Bài tập tự luận

Bài 1. Điểm nào trong các điểm A(5 ; – 1), B(2 ; 2), C(1 ; 1) nằm trên miền nghiệm của bất phương trình 2x – y < 10?

Hướng dẫn giải:

Lần lượt thay toạ độ các điểm  A(5 ; – 1), B(2 ; 2), C(1 ; 1) vào bất phương trình, ta có:

+) 2 . 5 – (– 1) = 11 < 10 là mệnh đề sai.

Do đó điểm A không nằm trên miền nghiệm của bất phương trình 2x – y < 10.

+) 2 . 2 – 2 = 2 < 10 là mệnh đề đúng.

Do đó điểm B nằm trên miền nghiệm của bất phương trình 2x – y < 10.

+) 2 . 1 – 1 = 1 < 10 là mệnh đề đúng.

Do đó điểm C nằm trên miền nghiệm của bất phương trình 2x – y < 10.

Bài 2. Một gian hàng trưng bày bàn và ghế rộng 60 m². Diện tích để kê một chiếc ghế là 0,5 m², một chiếc bàn là 1,2 m². Gọi x là số ghế và y là số bàn được kê (x ≥ 0, y ≥ 0)

a) Viết bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y cho phần mặt sàn để kê bàn ghế.

b) Chỉ ra ba nghiệm của bất phương trình trên.

Hướng dẫn giải:

a) Diện tích kê x chiếc ghế và y chiếc bàn là 0,5x + 1,2y (m²).

Diện tích này không thể lớn hơn 60m² nên ta được bất phương trình cần tìm:

0,5x + 1,2y ≤ 60 hay 5x + 12y ≤ 600.

Vậy bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y cho phần mặt sàn để kê bàn ghế là: 5x + 12y ≤ 600.

b) Ví dụ về ba nghiệm của bất phương trình trên là các cặp giá trị (10 ; 10), (30; 15), (24; 40). Thật vậy:

Thay x = 10, y = 10, ta có: 5 . 10 + 12 . 10 = 170 ≤ 600 là mệnh đề đúng. Do đó (10; 10) là nghiệm của bất phương trình.

Thay x = 30, y = 15, ta có: 5 . 30 + 12 . 15 = 330 ≤ 600 là mệnh đề đúng. Do đó (30; 15) là nghiệm của bất phương trình.

Thay x = 24, y = 40, ta có: 5 . 24 + 12 . 40 = 600 ≤ 600 là mệnh đề đúng. Do đó (24; 40) là nghiệm của bất phương trình.

Vậy (10 ; 10), (30; 15), (24; 40) là ba nghiệm của bất phương trình 5x + 12y ≤ 600.

Bài 3. Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau:

a) $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}<-1$;                         

b) $\frac{x+y}{2}\ge \frac{2x-y+1}{3}$ 

Hướng dẫn giải:

a) Vẽ đường thẳng d₁: $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=-1$.

Thay giá trị (0 ; 0) vào bất phương trình, ta có $\frac{0}{2}+\frac{0}{3}=0<-1$ là mệnh đề sai.

Miền nghiệm là miền không chứa điểm (0 ; 0), không kể đường thẳng d.

b) $\frac{x+y}{2}\ge \frac{2x-y+1}{3}$      

⇔ 3(x + y) ≥ 2(2x – y + 1)

⇔ 3x + 3y ≥ 4x – 2y + 2

⇔ x – 5y ≤ –2

Vẽ đường thẳng d₃: x – 5y = –2.

Lấy điểm (0 ; 0). Ta có 0 – 0 = 0 ≤ –2 là mệnh đề sai.

Miền nghiệm là miền không chứa điểm (0 ; 0), kể cả đường thẳng d₃.

B.2 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cặp số nào sau đây là nghiệm của bất phương trình – 2(x – y) + y > 3?

A. (4; – 4);

B. (2; 1);

C. (– 1; – 2);

D. (4; 4).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: – 2(x – y) + y > 3 ⇔ – 2x + 3y > 3

Xét đáp án A: – 2.4 + 3.( – 4) = – 20 < 3, không thoả mãn  bất phương trình – 2x + 3y > 3, vậy cặp số (4; – 4) không là nghiệm của bất phương trình.

Đáp án B: – 2.2 + 3.1 = – 1 < 3, không thoả mãn  bất phương trình – 2x + 3y > 3, vậy cặp số (2; 1) không là nghiệm của bất phương trình.

Đáp án C: – 2.(– 1) + 3.(– 2) = – 4 < 3, không thoả mãn  bất phương trình – 2x + 3y > 3, vậy cặp số (– 1; – 2) không là nghiệm của bất phương trình.

Đáp án D: – 2.4 + 3.4 = 4 > 3, thoả mãn bất phương trình – 2x + 3y > 3, vậy cặp số (4; 4) là nghiệm của bất phương trình.

Câu 2. Miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 2 là phần tô đậm của hình vẽ nào, trong các hình vẽ sau (kể cả bờ)?

A. 

B. 

C. 

D. 

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét đường thẳng x + y = 2 đi qua 2 điểm A(2; 0) và B(0; 2). Lấy điểm O(0; 0) ta có: 0 + 0 = 0 < 2.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 2 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng x + y = 2 (đi qua 2 điểm A, B) chứa điểm (0; 0), kể cả đường thẳng đó.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 2 là phần tô đậm ở đáp án A.

Câu 3. Phần tô đậm trong hình vẽ dưới đây (kể cả đường thẳng d) biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình.

A. – 2x + y ≥ 0;

B. 2x + y ≥ 0;

C. – 2x – y ≥ 1;

D. x + 2y ≥ 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Giả sử đường thẳng (d) chia mặt phẳng tọa độ thành hai nửa mặt phẳng có dạng:

y = ax + b. Dễ dàng nhận thấy đường thẳng (d) đi qua hai điểm có tọa độ là (0; 0) và (1; 2). Ta có hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}0=a.0+b\\ 2=a.1+b\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=0\end{array}\right.$ ⇒ y = 2x.

Vậy đường thẳng có phương trình – 2x + y = 0.

Xét điểm A(0; 2) thay vào phương trình đường thẳng ta được: – 2.0 + 2 = 2 > 0.

Vì điểm A(0; 2) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy phần tô đậm biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình – 2x + y ≥ 0 (kể cả đường thẳng d).