Giải Toán 10 trang 98 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 10 trang 98 Tập 1

Bài 2 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1: Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$ và $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)<90°$ thì $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}<0;$

B. Nếu $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$ và $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)>90°$ thì $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}>0;$

C. Nếu $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$ và $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)<90°$ thì $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}>0;$

D. Nếu $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$ và $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)\ne 90°$ thì $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}<0.$

Lời giải:

Nếu $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$ và $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)<90°$ thì $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)>0$.

Do đó $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)>0$.

Vậy đáp án đúng là đáp án C.

Bài 3 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1: Tính $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\left|\overrightarrow{a}\right|=3,\left|\overrightarrow{b}\right|=4,\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=30°$;

b) $\left|\overrightarrow{a}\right|=5,\left|\overrightarrow{b}\right|=6,\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=120°$;

c) $\left|\overrightarrow{a}\right|=2,\left|\overrightarrow{b}\right|=3,$$\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng;

d) $\left|\overrightarrow{a}\right|=2,\left|\overrightarrow{b}\right|=3,$$\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng.

Lời giải:

a) $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$ 

= 3 . 4 . cos 30^o = $6\sqrt{3}$.

b) $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$ 

= 5 . 6 . cos 120^o = -15.

c) Do $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng nên $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|$ = 2 . 3 = 6.

d) Do $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng nên $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|$ = -2 . 3 = -6.

Bài 4 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính các tích vô hướng sau:

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$;

b) $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}$.

Lời giải:

a) Do ABCD là hình vuông nên $\widehat{BAC}=45°$.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B:

AC² = AB² + BC² = a² + a² = 2a².

$\Rightarrow$ AC = $\sqrt{2}$a.

Khi đó:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$ 

= a . $\sqrt{2}$a . cos $\widehat{BAC}$ = a . $\sqrt{2}$a . cos 45^o = a².

b) ABCD là hình vuông nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.

Do đó $\overrightarrow{AC}\perp \overrightarrow{BD}$ nên $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=0$.

Bài 5 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh:

$A{B}^2+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CA}=0$.

Lời giải:

$A{B}^2+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CA}={\overrightarrow{AB}}^2+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CA}$

$=\overrightarrow{AB}.\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\right)$

$=\overrightarrow{AB}.\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}\right)$

$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AA}$

$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{0}$

= 0.

Vậy $A{B}^2+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CA}=0$.

Bài 6 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác nhọn ABC, kẻ đường cao AH. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AH}$;

b) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{BC}$.

Lời giải:

a) Do AH là đường cao của tam giác ABC nên AH $\perp$ BC.

Do đó $\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BC}$ nên $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}$.

Ta có $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AH}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right).\overrightarrow{AH}$

$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AH}$

$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}$

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AH}$.

b) Ta có $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\left(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HB}\right).\overrightarrow{BC}$

$=\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{BC}$

$=\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{BC}$

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{BC}$.

Bài 7 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1: Một máy bay đang bay từ hướng đông sang hướng tây với tốc độ 700 km/h thì gặp luồng gió thổi từ hướng đông bắc sang hướng tây nam với tốc độ 40 km/h (Hình 69). Máy bay bị thay đổi vận tốc sau khi gặp gió thổi. Tìm tốc độ mới của máy bay (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm theo đơn vị km/h).

Lời giải:

Gọi vận tốc của máy bay theo hướng từ đông sang tây là $\overrightarrow{BA}$, vận tốc gió thổi từ hướng đông bắc sang tây nam là $\overrightarrow{BC}$, khi đó vận tốc mới của máy bay là $\overrightarrow{B\text{D}}$.

Ta có $\left|\overrightarrow{AB}\right|$ = 700, $\left|\overrightarrow{BC}\right|$ = 40.

Do ABCD là hình bình hành nên AB = CD = 700 và $\widehat{ABC}+\widehat{BC\text{D}}=180°$.

Do đó $\widehat{BC\text{D}}=180°-\widehat{ABC}=180°-45°=135°$.

Áp dụng định lí côsin vào tam giác BCD:

BD² = BC² + CD² - 2.BC.CD.cos $\widehat{BC\text{D}}$.

$\Rightarrow$ BD² = 40² + 700² - 2.40.700.cos 135^o.

$\Rightarrow$ BD² ≈ 531 197,98.

$\Rightarrow$ BD ≈ 728,83 km.

Vậy vận tốc mới của máy bay sau khi gặp gió thổi khoảng 728,83 km/h.

Bài 8 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, $\widehat{BAC}=60°$. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Điểm D thỏa mãn $\overrightarrow{AD}=\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$.

a) Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$.

b) Biểu diễn $\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BD}$ theo $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$.

c) Chứng minh AM ⊥ BD.

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$

= 2 . 3 . cos 60^o = 3.

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ = 3.

b) Do M là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.

Ta có $\overrightarrow{B\text{D}}=\overrightarrow{A\text{D}}-\overrightarrow{AB}=\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$.

c) Ta có $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BD}=\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right).\left(\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)$

$=\frac{7}{24}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^2+\frac{7}{24}{\overrightarrow{AC}}^2-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$

$=\frac{7}{24}.3-\frac{1}{2}{.2}^2+\frac{7}{24}{.3}^2-\frac{1}{2}.3$

= 0.

Do đó AM ⊥ BD.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Giải Toán 10 trang 93 Tập 1

Giải Toán 10 trang 95 Tập 1

Giải Toán 10 trang 96 Tập 1

Giải Toán 10 trang 97 Tập 1

Giải Toán 10 trang 98 Tập 1

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Bài tập cuối chương 4

Chủ đề 1: Đo góc

Bài 1: Mệnh đề toán học

Bài 2: Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp

Bài tập cuối chương 1