Giải Toán 10 (Cánh diều) Bài tập cuối chương 1 trang 19

Giải bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 1 trang 19

Video giải bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 1 trang 19

Giải Toán 10 trang 19 Tập 1

Bài 1 trang 19 Toán lớp 10 Tập 1: Phát biểu nào sau đây là một mệnh đề toán học?

a) Tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3.

b) Nếu $\widehat{AMB}=90°$ thì M nằm trên đường tròn đường kính AB.

c) Ngày 2 tháng 9 là ngày Quốc Khánh của nước Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Việt Nam.

Lời giải:

Trong các phát biểu đã cho, có phát biểu a, b, d là các mệnh đề toán học vì cả ba phát biểu đều là khẳng định một sự kiện trong toán học.

Phát biểu ở câu c không phải mệnh đề toán học.

Bài 2 trang 19 Toán lớp 10 Tập 1: Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và nhận xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó.

A: “Đồ thị hàm số y = x là một đường thẳng”.

B: “Đồ thị hàm số y = x² đi qua điểm A(3; 9)”.

Lời giải:

+ A: “Đồ thị hàm số y = x là một đường thẳng”

Mệnh đề phủ định của mệnh đề A là mệnh đề $\overline{A}$: “Đồ thị hàm số y = x không phải là một đường thẳng”.

Đồ thị của hàm số y = x là đường thẳng đi qua gốc tọa độ. Suy ra mệnh đề A là mệnh đề đúng. Do đó mệnh đề phủ định $\overline{A}$ là mệnh đề sai.

+ B: “Đồ thị hàm số y = x² đi qua điểm A(3; 9)”

Mệnh đề phủ định của mệnh đề B là mệnh đề $\overline{B}$: “Đồ thị của hàm số y = x² không đi qua điểm A(3; 9)”.

Thay x = 3 và y = 9 vào y = x², ta được:

9 = 3² hay 9 = 9 (luôn đúng)

Do đó điểm A thuộc vào đồ thị hàm số y = x² hay đồ thị của hàm số y = x² đi qua điểm A(3; 9).

Suy ra mệnh đề B là mệnh đề sai và mệnh đề $\overline{B}$ là mệnh đề đúng.

Bài 3 trang 19 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Lập mệnh đề P ⇒ Q và xét tính đúng sai của mệnh đề đó với:

a) P: “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật”, Q: “Tứ giác ABCD là hình bình hành”;

b) P: “Tứ giác ABCD là hình thoi”, Q: “Tứ giác ABCD là hình vuông”.

Lời giải:

a) Mệnh đề P ⇒ Q: “Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD là hình bình hành”.

Ta có tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì AB // CD và AB = CD

Suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành (theo một số yếu tố cơ bản của hình bình hành).

Do đó mệnh đề P ⇒ Q đúng.

b) Mệnh đề P ⇒ Q: “Nếu tứ giác ABCD là hình thoi thì tứ giác ABCD là hình vuông”.

Ta có tứ giác ABCD là hình thoi nên tứ giác ABCD có bốn cạnh bằng nhau nhưng bốn góc của tứ giác ABCD không bằng nhau. Suy ra tứ giác ABCD không phải là hình vuông.

Do đó mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề sai.

Bài 4 trang 19 Toán lớp 10 Tập 1: Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau:

A: “ $\forall x\in ℝ$, |x| ≥ x”;

B: “$\forall x\in ℝ$ ,$x+\frac{1}{x}\ge 2$ ”;

C: “ $\exists x\in \mathbb{Z},$2x² + 3x – 2 = 0”;

D: “ $\exists x\in \mathbb{Z},$x² < x”.

Lời giải:

+ Mệnh đề phủ định của mệnh đề A là mệnh đề $\overline{A}$: “$\exists x\in ℝ,$|x| < x”.

+ Mệnh đề phủ định của mệnh đề B là mệnh đề $\overline{B}$: “$\exists x\in ℝ,x+\frac{1}{x}<2$”.

+ Mệnh đề phủ định của mệnh đề C là mệnh đề $\overline{C}$: “$\forall x\in \mathbb{Z}$, 2x² + 3x – 2 ≠ 0”.

+ Mệnh đề phủ định của mệnh đề D là mệnh đề $\overline{D}$: “$\forall x\in \mathbb{Z}$, x² ≥ x”.

Bài 5 trang 19 Toán lớp 10 Tập 1: Dùng kí hiệu để viết mỗi tập hợp sau và biểu diễn mỗi tập hợp đó trên trục số.

a) A = {x$\in ℝ$ | – 2 < x < – 1};

b) B = {x$\in ℝ$ | – 3 ≤ x ≤ 0};

c) C = {x$\in ℝ$ | x ≤ 1};

d) D = {x $\in ℝ$| x > – 2}.

Lời giải:

a) Biểu diễn tập hợp A bằng kí hiệu ta được: A = {x $\in ℝ$| – 2 < x < – 1} = (–2 ; – 1)

Biểu diễn tập hợp A trên trục số là phần màu đỏ:

b) Biểu diễn tập hợp B bằng kí hiệu ta được: B = {x $\in ℝ$| – 3 ≤ x ≤ 0} = [– 3; 0]

Biểu diễn tập hợp B trên trục số là phần màu đỏ:

c) Biểu diễn tập hợp C bằng kí hiệu ta được: C = {x $\in ℝ$| x ≤ 1} = (– ∞; 1]

Biểu diễn tập hợp C trên trục số là phần màu đỏ:

d) Biểu diễn tập hợp D bằng kí hiệu ta được: D = {x $\in ℝ$| x > – 2} = (– 2; +∞)

Biểu diễn tập hợp D trên trục số là phần màu đỏ:

Bài 6 trang 19 Toán lớp 10 Tập 1: Giải Bóng đá vô địch thế giới World Cup 2018 được tổ chức ở Liên bang Nga gồm 32 đội. Sau vòng thi đấu bảng, Ban tổ chức chọn ra 16 đội chia làm 8 cặp đấu loại trực tiếp. Sau vòng đấu loại trực tiếp đó, Ban tổ chức tiếp tục chọn ra 8 đội chia làm 4 cặp đấu loại trực tiếp ở vòng tứ kết. Gọi A là tập hợp 32 đội tham gia World Cup năm 2018, B là tập hợp 16 đội sau vòng thi đấu bảng, C là tập hợp 8 đội thi đấu vòng tứ kết.

a) Sắp xếp các tập hợp A, B, C theo quan hệ “⊂”.

b) So sánh hai tập hợp A ∩ C và B ∩ C.

c) Tập hợp A \ B gồm những đội bóng bị loại sau vòng đấu nào?

Lời giải:

a) Ta thấy 8 đội ở vòng đấu tứ kết được chọn từ 16 đội ở vòng đấu loại trực tiếp và 16 đội ở vòng loại trực tiếp được chọn từ 32 đội tham gia World Cup năm 2018.

Do đó các phần tử thuộc tập hợp C đều thuộc tập hợp B và các phần tử của tập hợp B đều thuộc tập hợp A. Vì vậy các phần tử của tập hợp C cũng thuộc tập hợp A.

Suy ra C là tập con của B và B là tập con của A hay C ⊂ B ⊂ A.

Vậy C ⊂ B ⊂ A.

b) Vì C ⊂ A nên A ∩ C = C

Vì C ⊂ B nên B ∩ C = C

Suy ra A ∩ C = B ∩ C = C.

Vậy A ∩ C = B ∩ C.

c) Tập hợp A \ B là tập hợp các đội bóng thuộc A nhưng không thuộc B.

Mà A là tập hợp 32 đội tham gia World Cup năm 2018, B là tập hợp 16 đội ở vòng đấu loại trực tiếp.

Điều này có nghĩa là tập hợp A \ B gồm những đội bóng bị loại ở vòng thi đấu bảng.

Bài 7 trang 19 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai tập hợp: A = [0; 3], B = (2; + ∞).

Xác định A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A, $ℝ$\ B.

Lời giải:

+ Ta có: A = [0; 3] = {x $\in ℝ$| 0 ≤ x ≤ 3} và B = (2; + ∞) = {x $\in ℝ$| x > 2}.

Suy ra A ∩ B = {x $\in ℝ$| 2 < x ≤ 3} = (2; 3].

Vậy A ∩ B = [0; 3] ∩ (2; + ∞) = (2; 3].

+ Ta có: A = [0; 3] = {x $\in ℝ$| 0 ≤ x ≤ 3} và B = (2; + ∞) = {x $\in ℝ$| x > 2}.

Suy ra A ∪ B = {x $\in ℝ$| x ≥ 0} = [0; + ∞).

Vậy A ∪ B = [0; 3] ∪ (2; + ∞) = [0; + ∞).

+ Ta có: A = [0; 3] = {x $\in ℝ$| 0 ≤ x ≤ 3} và B = (2; + ∞) = {x $\in ℝ$| x > 2}.

Suy ra A \ B = {x $\in ℝ$| 0 ≤ x ≤ 2} = [0; 2].

Vậy A \ B = [0; 3] \ (2; + ∞) = [0; 2].

+ Ta có: A = [0; 3] = {x $\in ℝ$| 0 ≤ x ≤ 3} và B = (2; + ∞) = {x $\in ℝ$| x > 2}.

Suy ra B \ A = {x $\in ℝ$| x > 3} = (3; + ∞).

Vậy B \ A = (2; + ∞) \ [0; 3] = (3; + ∞).

+ Tập hợp $ℝ$\ B là tập hợp các số thực không thuộc tập hợp B

Vậy $ℝ$\ B = $ℝ$ \ (2; + ∞) = (– ∞; 2].

Bài 8 trang 19 Toán lớp 10 Tập 1: Gọi E là tập nghiệm của phương trình x² – 2x – 3 = 0, G là tập nghiệm của phương trình (x + 1)(2x – 3) = 0.

Tìm P = E ∩ G.

Lời giải:

+ Xét phương trình x² – 2x – 3 = 0

⇔ x² + x – 3x – 3 = 0

⇔ x(x + 1) – 3(x +1) = 0

⇔ (x + 1)(x – 3) = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}x+1=0\\ x-3=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=3\end{array}\right.$.

Suy ra phương trình trên có hai nghiệm là 3 và – 1.

Do đó E = {– 1; 3}.

+ Ta có: (x + 1)(2x – 3) = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}x+1=0\\ 2x-3=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=\frac{3}{2}\end{array}\right.$

Do đó G = $\left\{-1;\frac{3}{2}\right\}$

Ta có P = E ∩ G hay P là giao của hai tập hợp E và G, gồm các phần tử vừa thuộc E vừa thuộc G.

Vậy P = E ∩ G = {– 1; 3}$\cap \left\{-1;\frac{3}{2}\right\}$ = {– 1}.

Lý thuyết Tổng hợp cuối chương 1

1. Mệnh đề toán học

1.1. Mệnh đề, mệnh đề chứa biến

• Mệnh đề toán học là mệnh đề khẳng định một sự kiện trong toán học. Mỗi mệnh đề toán học phải đúng hoặc sai, không thể vừa đúng, vừa sai.

− Khi mệnh đề toán học là đúng, ta gọi mệnh đề đó là một mệnh đề đúng.

− Khi mệnh đề toán học là sai, ta gọi mệnh đề đó là một mệnh đề sai.

• Ở mệnh đề chứa biến, ta chưa thể khẳng định ngay tính đúng/sai. Với mỗi giá trị cụ thể của biến số, ta có thể khẳng định tính đúng/sai của mệnh đề.

Kí hiệu mệnh đề chứa biến n là P(n), mệnh đề chứa biến x, y là P(x, y), …

1.2. Mệnh đề phủ định

• Cho mệnh đề P. Mệnh đề “Không phải P” được gọi là mệnh đề phủ định của mệnh đề P và kí hiệu là $\overline{P}$.

Mệnh đề $\overline{P}$ đúng khi P sai, và ngược lại.

Chú ý: Để phủ định một mệnh đề, ta chỉ cần thêm (hoặc bớt) từ “không” (hoặc “không phải”) vào trước vị ngữ của mệnh đề đó.

1.3. Mệnh đề kéo theo

• Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo, được kí hiệu là P ⇒ Q.

Mệnh đề P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng Q sai, và đúng trong tất cả các trường hợp còn lại.

Nhận xét: Các định lí toán học thường phát biểu ở dạng mệnh đề kéo theo P ⇒ Q.

Khi đó ta nói:

− P là giả thiết, Q là kết luận của định lí, hoặc

− P là điều kiện đủ để có Q, hoặc Q là điều kiện cần để có P.

1.4. Mệnh đề đảo. Mệnh đề tương đương

• Mệnh đề Q ⇒ P là mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q.

Nếu cả hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng, P và Q là hai mệnh đề tương đương và kí hiệu P ⇔ Q.

Nhận xét: Mệnh đề P ⇔ Q có thể phát biểu ở những dạng như sau:

+ “P tương đương Q”;

+ “P là điều kiện cần và đủ để có Q”;

+ “P khi và chỉ khi Q”;

+ “P nếu và chỉ nếu Q”.

1.5. Kí hiệu ∀ và ∃

• Kí hiệu ∀ đọc là “với mọi”.

• Kí hiệu ∃ đọc là “tồn tại”, hoặc “có một” (tồn tại một), hoặc “có ít nhất một” (tồn tại ít nhất một).

• Phủ định của mệnh đề “$\forall x\in X,P\left(x\right)$” là mệnh đề “$\exists x\in X,\overline{P\left(x\right)}$”.

• Phủ định của mệnh đề “$\exists x\in X,P\left(x\right)$” là mệnh đề “$\forall x\in X,\overline{P\left(x\right)}$”.

2. Tập hợp và các phép toán trên tập hợp

2.1. Tập hợp

• Tập hợp (còn gọi là tập) là một khái niệm cơ bản trong toán học.

Để chỉ x là một phần tử của tập hợp A, ta viết x ∈ A (đọc là x thuộc A)

Để chỉ x không phải một phần tử của tập hợp A, ta viết x ∉ A (đọc là x không thuộc A)

• Biểu diễn tập hợp bằng một trong 2 cách:

+ Liệt kê các phần tử của tập hợp.

+ Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.

• Minh hoạ tập hợp bằng biểu đồ Ven. Mỗi phần tử thuộc tập hợp được biểu diễn bởi một chấm bên trong vòng kín, còn phần tử không thuộc tập hợp được biểu diễn bởi một chấm bên ngoài vòng kín.

Ở hình dưới, các phần tử thuộc tập hợp A là a, b, d; phần tử không thuộc tập hợp A là c.

• Một tập hợp có thể không có phần tử nào, có một phần tử, có nhiều phần tử, có vô số phần tử. Tập hợp không chứa phần tử nào được gọi là tập hợp rỗng, kí hiệu là $\varnothing$.

Chú ý: Khi C là tập hợp rỗng, ta viết C =$\varnothing$, không được viết $C=\text{{}\varnothing \text{}}$.

2.2. Tập hợp con và tập hợp bằng nhau

• Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì ta nói A là một tập con của tập B, kí hiệu là A ⊂ B. Ta còn đọc là A chứa trong B.

Quy ước: Tập hợp rỗng $\varnothing$ là tập con của mọi tập hợp.

Chú ý:

+ A ⊂ B ⇔ (∀x, x ∈ A ⇒ x ∈ B).

+ Khi A ⊂ B, ta cũng viết B ⊃ A, đọc là B chứa A.

+ Nếu A không phải tập con của B, ta viết A ⊄ B.

Tính chất:

+ A ⊂ A với mọi tập hợp A.

+ Nếu A ⊂ B và B ⊂ C thì A ⊂ C.

• Khi A ⊂ B và B ⊂ A thì ta nói hai tập hợp A và B bằng nhau, viết là A = B.

2.3. Giao của hai tập hợp

• Tập hợp gồm tất cả các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B được gọi là giao của A và B, kí hiệu A ∩ B.

Vậy A ∩ B = {x | x ∈ A và x ∈ B}.

Tập hợp A ∩ B được minh hoạ bởi phần gạch chéo trong hình dưới.

2.4. Hợp của hai tập hợp

• Tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc A hoặc thuộc B được gọi là hợp của A và B, kí hiệu A ∪ B.

Vậy A ∪ B = {x | x ∈ A và x ∈ B}.

Tập hợp A ∩ B được minh hoạ bởi phần gạch chéo trong hình dưới.

2.5. Phần bù và hiệu của hai tập hợp

• Cho A ⊂ B. Tập hợp những phần tử của B mà không phải phần tử của A được gọi là phần bù của A trong B, kí hiệu C_BA.

Vậy, khi A ⊂ B ta có C_BA = {x | x ∉ A và x ∈ B}.

Tập hợp C_BA được mô tả bằng phần gạch chéo trong hình dưới.

• Tập hợp gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B được gọi là hiệu của A và B, kí hiệu A \ B.

Vậy A \ B = {x | x ∈ A và x ∉ B}.

Tập hợp A \ B được minh hoạ bởi phần gạch chéo trong hình dưới.

2.6. Các tập hợp số

• Các tập hợp ℕ, ℤ, ℚ, ℝ lần lượt là tập hợp số tự nhiên, tập hợp số nguyên, tập hợp số hữu tỉ, tập hợp số thực.

Ta có quan hệ sau: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

• Một số tập con thường dùng của tập số thực:

Kí hiệu −∞ đọc là âm vô cực (âm vô cùng), kí hiệu +∞ đọc là dương vô cực (dương vô cùng), a và b là các đầu mút của các đoạn, khoảng, nửa khoảng.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 1: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài tập cuối chương 2

Bài 1: Hàm số và đồ thị

Bài 2: Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng

Xem thêm tài liệu Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài tập cuối chương 1